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比根号2更“无理”的数

无理数,π,圆周率,“代数数”(algebraic number),“超越数”(transcendental number),柳维尔数(Liouville number)可计算数与不可计算数,可定义数与不可定义数

matrix67 发表于  2011-03-09 13:25

大家中学时就学过,根号 2 是一个无理数,它不能表示成两个整数之比,是一个看上去毫无规律的无限不循环小数。早在古希腊时代,人们就发现了这种奇怪的数,这推翻了古希腊数学中的基本假设,直接导致了第一次数学危机。

事实上,根号 2 只是最普通的无理数。在无理数大家庭中,还有很多比根号 2 更诡异的数。

(注:从历史角度来看,把“无理数”理解成“无理的数”其实是一种错误的做法。中国最初对 irrational number 的翻译是不对的,irrational 这个单词本应该取“不可比的”之义)

代数数与超越数

根号 2 虽然是无理数,不过也不是那么没规律了。它是方程 x 2 - 2 = 0 的其中一个解。如果某个数能成为一个整系数多项式方程(a n · x n + … + a 1 · x + a 0 = 0)的解,我们就把它叫做“代数数”(algebraic number)。那些用根号表示出来的无理数,全都是代数数。

不是代数数的实数统统被称为“超越数”(transcendental number),它不满足任何一个整系数多项式方程。超越数无疑是更“怪”的数,是否存在这样的数在数学史上早有争论。1844 年,法国数学家柳维尔(Joseph Liouville)构造了第一个超越数——柳维尔数(Liouville number)。这个数是 0.110001000000000000000001… ,其中小数点后面第 1,2,6,24,120,... 位是 1,其余位都是 0。柳维尔证明了这个数是一个超越数,它不满足任何整系数多项式方程。

1873 年,法国数学家夏尔·埃尔米特(Charles Hermite)证明了自然底数 e 是一个超越数。1882 年,德国数学家林德曼(Ferdinand von Lindemann)证明了圆周率 π 是一个超越数。

但是,人们对超越数的了解还是太少。至今数学家们仍然不知道,π + e、π - e、π·e、π/e 是否是超越数。虽然如此,大家还是普遍相信它们都是超越数,毕竟它们不大可能恰好满足一个各项系数都是整数的多项式方程。

可计算数与不可计算数

圆周率的小数展开看上去似乎是完全随机的,但毕竟是有办法算出来的。如果你想知道 π 的小数点后第一亿位是多少,我总能在有限的时间里算出答案来。

1975 年,计算机科学家格里高里·蔡廷(Gregory Chaitin)研究了一个很有趣的问题:任意指定一种编程语言中,随机输入一段代码,这段代码能成功运行并且会在有限时间里终止(不会无限运行下去)的概率是多大。他把这个概率值命名为了“蔡廷常数”(Chaitin's constant)。

这听起来有点不可思议,但事实上确实如此——蔡廷常数是一个不可计算数(uncomputable number)。也就是说,虽然蔡廷常数是一个确定的数字,但现已在理论上证明了,你是永远无法求出它来的。

可定义数与不可定义数

尽管蔡廷常数算不出来,不过我们却知道蔡廷常数是什么。它有一个明确的定义。但是,并不是所有的数都能够用有限的文字描述出来的。原因很简单,因为长度有限的文字段落是可以逐一枚举的(虽然有无穷多),而全体实数是不能枚举的,因此总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做不可定义数(undefinable number)。

自然数也好,有理数也好,根号 2 也好,圆周率也好,蔡廷常数也好,它们都有明确的定义,都属于可定义数的范畴。事实上,整个人类历史上所有文献提到过的所有实数都是可定义的,因为它们都已经被我们描述出来了。但是,由于可定义数与全体实数的数量根本不在一个级别上,不可定义的数远远多于可定义的数。

那么,谁发现了第一个不可定义数呢?答案是,从没有人发现过不可定义的数,以后也不会有人找到不可定义的数。因为不可定义数是无法用语言描述的,我们只能用非构造的方式证明不可定义数的存在性,但却永远没法找出一个具体例子来。

好在,虽然有那么多数是没有办法描述的,但数学家们也不会损失什么。每一个值得研究的数一定都有着优雅漂亮的性质,这些性质就已经让它成为了能够被定义出来的数。

热门评论

  • 2011-03-09 17:04 kkkkkkkkkkkkkkkkk
    引用 大逃 的回应:不可定义数这怎么听起来像是悖论啊?不可定义数是指不能被语言描述定义的数,可“不可定义”这个4个四字已经算作是对这种数的定义了。既然可以被定意义,就不能称作不可定义数

    不是悖论,定义的性质之一是本质性,把不可定义数只是定义为“不可定义数”,这样的定义是不符合本质性原则的,因为没有揭示不可定义数的性质,不是一个合格的定义。你不能无端就判定所有不可定义数的性质都是相同的。就像你不能无端就判断你没学过的东西都是相同的一样。

    [22] 评论
  • 2011-03-09 13:51 youmiss

    这真说不清楚,不可定义数是不能描述出来,这是不是跟悟道一样,悟到了就是的,没悟到就没悟到,反正说不出来,真是不可道啊!

    [10] 评论

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全部评论(123)
  • 1楼
    2011-03-09 13:51 youmiss

    这真说不清楚,不可定义数是不能描述出来,这是不是跟悟道一样,悟到了就是的,没悟到就没悟到,反正说不出来,真是不可道啊!

    [10] 评论
  • 2楼
    2011-03-09 13:51 Unic豆

    这...一个比一个狗血
    弱弱的问一句 不可计算数 和 不可定义数 还属于实数吗?

    [0] 评论
  • 3楼
    2011-03-09 13:59 littleLungfish

    超越数与有理数加减乘(除0外)除后应该还是超越数吧?

    [0] 评论
  • 4楼
    2011-03-09 14:01 Ekoms 数学/化学爱好者

    是不是可以说,不可定义数给了数学直觉主义致命一击?

    [1] 评论
  • 5楼
    2011-03-09 14:07 littleLungfish

    因此总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做不可定义数(undefinable number)。


    ——可不可以理解为所有的不可定义数就叫做“不可定义数”呢?

    [0] 评论
  • 6楼
    2011-03-09 14:19 Sheldon 理论物理博士,科学松鼠会成员

    编成应该是编程吧

    [0] 评论
  • 7楼
    2011-03-09 14:25 smarturf

    我们还没有发现不可定义数
    因为不可定义数不能用语言描述出来
    如果发现了,就描述出来了
    也就没有不可定义数了

    是不是这个概念?

    [1] 评论
  • 8楼
    2011-03-09 14:36 Zagoo

    “从没有人发现过不可定义的数,以后也不会有人找到不可定义的数。因为不可定义数是无法用语言描述的,我们只能用非构造的方式证明不可定义数的存在性,但却永远没法找出一个具体例子来。”
    让我想到克苏鲁神话,物理规律以外的东西

    [2] 评论
  • 9楼
    2011-03-09 14:38 行空天牛。

    “圆周率的小数展开看上去似乎是完全随机的”,这里用“随机”是否不合适呢?毕竟它不是随机的,只是无序的

    [0] 评论
  • 10楼
    2011-03-09 15:20 大逃

    不可定义数这怎么听起来像是悖论啊?
    不可定义数是指不能被语言描述定义的数,可“不可定义”这个4个四字已经算作是对这种数的定义了。既然可以被定意义,就不能称作不可定义数

    [1] 评论
  • 11楼
    2011-03-09 16:12 aapde

    头晕中.......

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  • 12楼
    2011-03-09 16:25 永远的昼雨

    数学家们直需要知道存在有这个东西就可以了,并不需要知道他是什么。。。很多东西是说不清的!~

    [1] 评论
  • 13楼
    2011-03-09 16:43 csalexcs

    真是复杂啊,一个比一个复杂

    [0] 评论
  • 14楼
    2011-03-09 16:47 Ponder

    偶尔掉书袋

    [0] 评论
  • 15楼
    2011-03-09 17:04 kkkkkkkkkkkkkkkkk
    引用 大逃 的回应:不可定义数这怎么听起来像是悖论啊?不可定义数是指不能被语言描述定义的数,可“不可定义”这个4个四字已经算作是对这种数的定义了。既然可以被定意义,就不能称作不可定义数

    不是悖论,定义的性质之一是本质性,把不可定义数只是定义为“不可定义数”,这样的定义是不符合本质性原则的,因为没有揭示不可定义数的性质,不是一个合格的定义。你不能无端就判定所有不可定义数的性质都是相同的。就像你不能无端就判断你没学过的东西都是相同的一样。

    [22] 评论
  • 16楼
    2011-03-09 17:08 toxic

    到现在为止我们还不是到欧拉常数到底是无理数还是有理数,这不是更加无厘头的数吗?而且欧拉常数还有很多美丽的地方我们也可以关心

    [0] 评论
  • 17楼
    2011-03-09 17:08 Mem
    引用 Unic豆 的回应:这...一个比一个狗血
    弱弱的问一句 不可计算数 和 不可定义数 还属于实数吗?


    属于吧

    [1] 评论
  • 18楼
    2011-03-09 17:11 cxren

    好神奇

    [0] 评论
  • 19楼
    2011-03-09 17:23 fee0315

    这个结论很奇怪,按照文章的言外之意,不可定义数(undefinable number) 必然也是实数的一种,但就其本身定义而言,显然有很多虚数依旧符合不可定义数(undefinable number) 的概念,那么不可定义数(undefinable number) 为什么一定要限制在实数范围之内呢?不可计算数也有类似感觉
    另,求证虚数一定不是超越数

    [0] 评论
  • 20楼
    2011-03-09 18:07 土小

    科普了。。。

    [0] 评论
  • 21楼
    2011-03-09 18:28 StarryNight

    很有趣。

    [0] 评论
  • 22楼
    2011-03-09 18:42 艺茗 发展心理学硕士生

    哇!

    [0] 评论
  • 23楼
    2011-03-09 20:34 最无聊

    每次看google reader上的标题就能知道哪一篇是M67牛写的。。

    [0] 评论
  • 24楼
    2011-03-09 21:27 河洛

    诡异啊。

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  • 25楼
    2011-03-09 22:08 babelfish

    "因为不可定义数是无法用语言描述的,我们只能用非构造的方式证明不可定义数的存在性,但却永远没法找出一个具体例子来。"

    我想知道,是怎么用非构造的方式来证明其存在的。

    [1] 评论
  • 26楼
    2011-03-10 00:54 fu-80 DIYER,摄影师,电容技术顾问

    数学太可怕了···或者,是我们的世界太可怕了

    [0] 评论
  • 27楼
    2011-03-10 01:03 fog415

    总感觉这牵扯到了不可知论

    [0] 评论
  • 28楼
    2011-03-10 05:13 方程 应用数学专业

    强悍的不可计算数!

    [0] 评论
  • 29楼
    2011-03-10 11:08 地精宅殆
    引用 大逃 的回应:不可定义数这怎么听起来像是悖论啊?
    不可定义数是指不能被语言描述定义的数,可“不可定义”这个4个四字已经算作是对这种数的定义了。既然可以被定意义,就不能称作不可定义数

    “不可定义”是一个否定定义,所以其实不算一个定义,这个“定义”只有外延而没有内涵。

    [0] 评论
  • 30楼
    2011-03-10 11:24 LiaWind

    求问可定义数的集合是可数的吗?

    [0] 评论

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