大家中学时就学过，根号 2 是一个无理数，它不能表示成两个整数之比，是一个看上去毫无规律的无限不循环小数。早在古希腊时代，人们就发现了这种奇怪的数，这推翻了古希腊数学中的基本假设，直接导致了第一次数学危机。
事实上，根号 2 只是最普通的无理数。在无理数大家庭中，还有很多比根号 2 更诡异的数。
（注：从历史角度来看，把“无理数”理解成“无理的数”其实是一种错误的做法。中国最初对 irrational number 的翻译是不对的，irrational 这个单词本应该取“不可比的”之义）
代数数与超越数
根号 2 虽然是无理数，不过也不是那么没规律了。它是方程 x 2 - 2 = 0 的其中一个解。如果某个数能成为一个整系数多项式方程（a n · x n + … + a 1 · x + a 0 = 0）的解，我们就把它叫做“代数数”（algebraic number）。那些用根号表示出来的无理数，全都是代数数。
不是代数数的实数统统被称为“超越数”（transcendental number），它不满足任何一个整系数多项式方程。超越数无疑是更“怪”的数，是否存在这样的数在数学史上早有争论。1844 年，法国数学家柳维尔（Joseph Liouville）构造了第一个超越数——柳维尔数（Liouville number）。这个数是 0.110001000000000000000001… ，其中小数点后面第 1，2，6，24，120，... 位是 1，其余位都是 0。柳维尔证明了这个数是一个超越数，它不满足任何整系数多项式方程。
1873 年，法国数学家夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）证明了自然底数 e 是一个超越数。1882 年，德国数学家林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明了圆周率 π 是一个超越数。
但是，人们对超越数的了解还是太少。至今数学家们仍然不知道，π + e、π - e、π·e、π/e 是否是超越数。虽然如此，大家还是普遍相信它们都是超越数，毕竟它们不大可能恰好满足一个各项系数都是整数的多项式方程。
可计算数与不可计算数
圆周率的小数展开看上去似乎是完全随机的，但毕竟是有办法算出来的。如果你想知道 π 的小数点后第一亿位是多少，我总能在有限的时间里算出答案来。
1975 年，计算机科学家格里高里·蔡廷（Gregory Chaitin）研究了一个很有趣的问题：任意指定一种编程语言中，随机输入一段代码，这段代码能成功运行并且会在有限时间里终止（不会无限运行下去）的概率是多大。他把这个概率值命名为了“蔡廷常数”（Chaitin's constant）。
这听起来有点不可思议，但事实上确实如此——蔡廷常数是一个不可计算数（uncomputable number）。也就是说，虽然蔡廷常数是一个确定的数字，但现已在理论上证明了，你是永远无法求出它来的。
可定义数与不可定义数
尽管蔡廷常数算不出来，不过我们却知道蔡廷常数是什么。它有一个明确的定义。但是，并不是所有的数都能够用有限的文字描述出来的。原因很简单，因为长度有限的文字段落是可以逐一枚举的（虽然有无穷多），而全体实数是不能枚举的，因此总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做不可定义数（undefinable number）。
自然数也好，有理数也好，根号 2 也好，圆周率也好，蔡廷常数也好，它们都有明确的定义，都属于可定义数的范畴。事实上，整个人类历史上所有文献提到过的所有实数都是可定义的，因为它们都已经被我们描述出来了。但是，由于可定义数与全体实数的数量根本不在一个级别上，不可定义的数远远多于可定义的数。
那么，谁发现了第一个不可定义数呢？答案是，从没有人发现过不可定义的数，以后也不会有人找到不可定义的数。因为不可定义数是无法用语言描述的，我们只能用非构造的方式证明不可定义数的存在性，但却永远没法找出一个具体例子来。
好在，虽然有那么多数是没有办法描述的，但数学家们也不会损失什么。每一个值得研究的数一定都有着优雅漂亮的性质，这些性质就已经让它成为了能够被定义出来的数。