数学

圆周率日特献:π究竟牛B在哪里?

π是怎么诞生的?圆周率日是哪天?

matrix67 发表于  2011-03-14 03:14

今天是 3 月 14 日。而圆周率 π 就约等于 3.14,因此这一天被设为了圆周率日。世界各地的数学家和数学爱好者们欢聚一堂,歌颂赞美这个数学世界中的奇迹。

大家或许会好奇,π 究竟哪点吸引人了,能够让数学家们对它痴迷到如此地步?其实,π 本身的存在就是一个奇迹:不管一个圆有多大,它的周长和直径之比总是一个固定的数,它就是 3.141592653589793 … ,是一个无限不循环小数。我们把这个数就叫做圆周率,用希腊字母 π 来表示。在几何问题中,圆周率扮演着非常重要的角色;然而更神奇的是,它也驰骋于几何以外的其它数学领域。

布丰投针实验

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在地板上画一系列间距为 2 厘米的平行线,然后把一根长度为 1 厘米的针扔在地板上。那么,这根针与地板上的线条相交的概率是多少呢?1733 年,法国博物学家布丰(Comte de Buffon)第一次提出了这个问题。1777 年,布丰自己解决了这个问题——这个概率值是 1/π 。

这个问题可以用微积分直接求解,也能利用期望值的性质得到一个异常精妙的解答。即使我们现在已经能轻易求出它的答案,结论依然相当令人吃惊——在这个概率问题上,竟然也有 π 的踪影。有人甚至利用投针法,求出过 π 的近似值来。

斯特林近似公式

我们把从 1 开始一直连乘到 n 的结果称作“n 的阶乘”,在数学中用 n! 来表示。也就是说:

/gkimage/8p/mm/bg/8pmmbg.png

1733 年,数学家亚伯拉罕·棣莫弗(Abraham de Moivre)发现,当 n 很大的时候,有:

/gkimage/ej/v3/lc/ejv3lc.png

其中 c 是某个固定常数。不过棣莫弗本人并没有求出这个常数的准确值。几年后,数学家詹姆斯·斯特林(James Stirling)指出,这个常数 c 等于 2π 的平方根。也就是说:

/gkimage/b3/dt/ve/b3dtve.png

这个公式就被称作斯特林近似公式。

伽马函数

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阶乘运算本来是定义在正整数上的,但我们可以很自然地把它扩展到所有的正数上——只需要寻找一条经过所有形如 (n, n!) 的整格点的曲线就可以了。由此定义出来的函数就叫做伽马函数,用希腊字母 Г 来表示。好了,神奇的事情出现了。我们有这样一个结论:

/gkimage/so/of/hp/soofhp.png

π 再次出现在了与几何毫无关系的场合中!

平方数的倒数和的极限

1 的平方分之一,加上 2 的平方分之一,加上 3 的平方分之一,这样一直加下去,结果会怎样呢?这是一个非常吸引人的问题。

/gkimage/va/1k/lj/va1klj.png

从上表中可以看到,越往后加,得数变化幅度就越小。可以预料,如果无穷地加下去,得数将会无限接近于某一个固定的数。这个数是多少呢?

1735 年,大数学家欧拉(Euler)非常漂亮地解决了这一问题。神奇的是,这个问题的答案里竟然包含有 π:

/gkimage/yr/6m/eo/yr6meo.png

两个整数互质的概率

如果两个整数的最大公约数为 1,我们就说这两个数是互质的。例如,9 和 14 就是互质的,除了 1 以外它们没有其它的公共约数;9 和 15 就不互质,因为它们有公共的约数 3。可以证明这样一个令人吃惊的结论:任取两个整数,它们互质的概率是 6 / π 2 ,恰好是上面一个问题的答案的倒数。在一个纯数论领域的问题中出现了圆周率,无疑给小小的希腊字母 π 更添加了几分神秘。

欧拉恒等式

这是整个数学领域中最伟大,最神奇的公式:

/gkimage/0s/ls/6z/0sls6z.png

这个公式用加法、乘法、乘方这三个最基础的运算,把数学中最神奇的三个常数(圆周率 π、自然底数 e、虚数单位 i)以及最根本的两个数(0 和 1)联系在了一起,没有任何杂质,没有任何冗余,漂亮到了令人敬畏的地步。这个等式也是由大数学家欧拉发现的,它就是传说中的欧拉恒等式(Euler's identity)。《数学情报》杂志(The Mathematical Intelligencer)曾举办过一次读者投票活动,欧拉恒等式被评选为“史上最美的公式”。

然而,这些也都只是数学这个奇妙大世界的其中一角罢了。

热门评论

  • 2011-03-14 05:42 GordonZen

    matrix 你这个日志发表的时间很精确啊 哈哈!

    [15] 评论
  • 2011-03-14 10:05 李.白

    为什么要先认定π属于几何中的圆周率,然后再为它也出现于其它地方而感到惊讶?
    为什么不反过来,或者说把π看的平淡一些:π就是一个无限不循环小数,它既可以出现在这儿,又可以出现在那儿,没什么好奇怪的。

    [5] 评论

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全部评论(150)
  • 1楼
    2011-03-14 05:42 GordonZen

    matrix 你这个日志发表的时间很精确啊 哈哈!

    [15] 评论
  • 2楼
    2011-03-14 06:40 物理学怎么啦

    原创???
    多一些这样的东西多好!

    [1] 评论
  • 3楼
    2011-03-14 06:56 和稀泥

    matrix67发表于2011-03-14 03:14:16
    亮點

    [2] 评论
  • 4楼
    2011-03-14 07:38 Maigo-_- 语言爱好者ψ
    引用 和稀泥 的回应:matrix67发表于2011-03-14 03:14:16
    亮點


    真亮!M牛故意熬夜的吧

    [0] 评论
  • 5楼
    2011-03-14 08:10 Ekoms 数学/化学爱好者ψ
    引用 Maigo 的回应:引用 和稀泥 的回应:matrix67发表于2011-03-14 03:14:16
    亮點

    真亮!M牛故意熬夜的吧


    M67大大应该在米国吧。。

    [0] 评论
  • 6楼
    2011-03-14 08:30 capricornuspp

    这个日志时间....不愧是死理性派...

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  • 7楼
    2011-03-14 08:43 Du雪城

    看到公式就头疼的飘过~~~~

    [0] 评论
  • 8楼
    2011-03-14 08:55 littleLungfish
    引用 GordonZen 的回应:matrix 你这个日志发表的时间很精确啊 哈哈!


    肯定是后台管理员设置好的=。=~

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  • 9楼
    2011-03-14 09:16 撮桑

    这到底是派巧合的出现还是它真有更大的秘密待发掘?

    [0] 评论
  • 10楼
    2011-03-14 09:46 解甲将军

    数学真神奇~可惜有那么多人没兴趣~

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  • 11楼
    2011-03-14 09:54 xiaoA

    发布时间太亮了 - -

    [0] 评论
  • 12楼
    2011-03-14 10:05 李.白

    为什么要先认定π属于几何中的圆周率,然后再为它也出现于其它地方而感到惊讶?
    为什么不反过来,或者说把π看的平淡一些:π就是一个无限不循环小数,它既可以出现在这儿,又可以出现在那儿,没什么好奇怪的。

    [5] 评论
  • 13楼
    2011-03-14 10:44 pondering [0] 评论
  • 14楼
    2011-03-14 10:52 二哥爱二妹

    恩 是的歪…

    [0] 评论
  • 15楼
    2011-03-14 10:59 Suho

    死理性派表示确实很神奇...

    不过想问第一个投针试验的意义何在..
    预设间距为2cm 得出概率为π,
    那是否改变间距, 就能得到任意数,
    这样看也没什么特别的?

    [0] 评论
  • 16楼
    2011-03-14 11:30 疏桐_

    MIT在3月14日9点26分 出decision!!!

    3.14159265358
    15=class of 2015
    5358=today’s winning lottery numbers
    其他一目了然啦~
    lol

    [0] 评论
  • 17楼
    2011-03-14 11:33 祢瞬

    真的好神奇~~~死理性派连日志时间也....XDDD

    对π好感剧增.....

    [0] 评论
  • 18楼
    2011-03-14 11:40 小乐 手工达人ψ

    e PI i +1 = 0 无敌~ 我去唬人~

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  • 19楼
    2011-03-14 11:41 小乐 手工达人ψ
    引用 祢瞬 的回应:真的好神奇~~~死理性派连日志时间也....XDDD

    对π好感剧增.....


    天~~~ 这个时间是修改出来的吗?

    [0] 评论
  • 20楼
    2011-03-14 12:17 LiaWind

    提到 pi,第一个想到的就是欧拉恒等式

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  • 21楼
    2011-03-14 12:21 三三

    每次看到各种公式,立刻就感觉,好高级的文啊,,,可惜我看不懂.......

    [0] 评论
  • 22楼
    2011-03-14 12:25 libby

    大部分内容没看懂,只是很崇拜数学很好的人哈哈

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  • 23楼
    2011-03-14 12:31 Lei.

    另外,今天还是爱因斯坦的生日。
    不管对于数学系的还是物理系的,今天都是个值得我们理科生庆祝的日子。

    [1] 评论
  • 24楼
    2011-03-14 12:48 driversetc

    从果壳追踪到M牛的博客……是的就是这样

    [0] 评论
  • 25楼
    2011-03-14 12:53 sqybi 计算机科学与工程专业本科生,口琴控,动漫迷ψ

    哈,一会儿考复变,刚看了Gamma函数……

    [0] 评论
  • 26楼
    2011-03-14 13:03 君子去仁

    看了之后感觉挺有意思的!

    [0] 评论
  • 27楼
    2011-03-14 13:07 地精宅殆
    引用 Suho 的回应:死理性派表示确实很神奇...

    不过想问第一个投针试验的意义何在..
    预设间距为2cm 得出概率为π,
    那是否改变间距, 就能得到任意数,
    这样看也没什么特别的?


    不,改变间距后得到的概率中 还是有π,只不过系数改变了(比方说扩大到间距为3CM,则相交概率应该为3/(4π)),这里出现π的原因其实是针可以看做一个圆的直径,针线相交的问题转化为一个圆和直线相交的弧的弧度问题。只要自己用微积分计算一下这个问题,就会明白π从哪里来的了。

    [0] 评论
  • 28楼
    2011-03-14 13:19 李子李子短信 国际关系硕士生ψ

    这个神奇的派 啊

    [0] 评论
  • 29楼
    2011-03-14 13:25 watchingsky

    这时间。。。。。

    [0] 评论
  • 30楼
    2011-03-14 13:40 白左 压力容器初级工程师ψ

    咦?M牛什么时候也入住果壳啦?

    [0] 评论

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