不定义距离，就想不清直线

什么是直线？或者更加准确的问法是如何定义直线？不知道你有没有思考过这个问题。尽管我们实际生活中都有对直线概念的直观理解，但是细想后我们就会发现，直线好像也不这么简单。

欧几里得的《几何原本》上是这么定义直线的：“直线是它上面的点一样地平放着的线”，其中线的定义是“线只有长度而没有宽度”。显然这样的定义是极其不严格的，“一样地平放着”只是一个日常生活中的直观概念。也就是说《几何原本》相当于没有对直线给出定义，尽管直线是几何学最基本的基本概念之一。

可能很多人会认为直线被定义成“两点间最短的线”（在这里就不去区分线段和直线了），就觉得在逻辑上已经定义清楚了。但是这里还有一个问题：什么叫做短？要有短的概念就要先有距离的概念，而仅仅在几何学内考虑这个问题的话，要丈量距离就必须先有尺，而尺的形状又是直的，因此距离的概念其实是建立在直线的概念之上的。这就成了循环定义了。

所以在数学上，我们就不能单从几何的角度去定义距离了。为了定义距离，我们需要在空间的每一个无穷小的区域上建立一个笛卡尔坐标系，在每一个小的笛卡尔坐标系内可以用解析几何的方法定义出距离，然后在整个路径上对每一个小段上的距离进行叠加，从而定义出两点间连线的距离。

之所以能在无穷小区域上建立笛卡尔坐标系，是因为一条曲线在无穷小区域上，我们可以把它近似为一小段直线（就是我们直观认识的直线），这其实就是微积分的思想。至于为什么不能直接在大区域上直接建立笛卡尔坐标系来定义距离，原因很简单，坐标轴要画成直线啊，在没有直线概念的时候又哪里来的坐标轴呢...

一个简单的例子是在球面上定义最短线，如果直接建立笛卡尔坐标，其中的坐标轴就用我们直观感受的那种直线的话，那么最短线必须要经过球面之外的空间。但是在球的表面的每一个无穷小区域上建立微小笛卡尔坐标系，就可以很好的沿着球表面定义出一条最短线。

猜不透的欧几里得第五公设

至此，我们基本上可以把直线就定义成两点间距离最短的线了。但是，这样并没有定义出唯一的直线。显然在一个球面上定义出的最短线，在我们看来其实是圆弧；在马鞍面上画出的最短线，在我们看来也是弯弯曲曲的线。

那么怎么定义才能保证刚才定义出来的直线就是我们通常直观上的直线呢？其实很简单，只要再加上一个公理，即传说中的欧几里得第五公设：

同一平面内一条线段和另外两条线段相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两线段经充分延长后在这一侧相交。

顺带提一句，因为第五公设看起来太绕了，一点都不明显，有数学家提出了与第五公设不同的假设，这就是非欧几何。

至此，我们终于可以引入 Hilbert 大神对直线的理解了：点和直线不可定义，真正需要的是点和直线之间的关系！而点和直线之间的最基本关系，Hilbert用公理来确定：几何学就是给直线一个定义，只要给出一个直线的定义，就有一套几何学！

现实里的直线在哪里？找不着

以上都是数学上对直线定义的讨论。但是现实世界中，我们总得给出对直线的唯一一种定义，然后我才能说从宿舍到食堂到底有多远，以及天文里面一颗恒星距离我们到底有多远。那到底哪一种几何学是“真”的呢？什么是现实世界中的客观的直线呢？

通过上面的讨论我们知道了，对于直线的定义其实是随意的。但是基于一些的物理上的信仰，我们仍然对现实中直线的定义作出几条限制：

1. 不能依赖于主观参考系
2. 该定义对于长距离一定也要有效。

现代物理学认为自然界中只有4种相互作用力，其中只有电磁力和引力是长程作用力，于是对应着只有光子和引力子满足上述两条要求（在量子场论中，光子是传递电磁力的粒子，引力子是传递引力的粒子）。鉴于现在引力子仍然没有被观测到，因此我们只剩下了唯一一种选择：定义直线为光子走过的路径！于是相对应的，现实世界也就只有唯一的几何学了。

（引力子的性质和光子不同，如果也用引力子走过的路径定义直线，于是现实中就会有两种不同的几何学。如果将来观测到引力子，那这两种几何学必须要统一起来。由此可见理论物理学的核心问题之一——统一引力和其他三种作用力是多么重要！）

有意思的是，天文学的观测表明，光经过大质量物体时会发生偏折，也就是说我们真实的宇宙中三角形的内角和并不等于180°！于是，非欧几何不仅仅在逻辑上是存在的，它更是真实世界的几何学！到头来我们才发现，原来我们一直以为很显然的初中学的欧几里得几何学，充其量只是数学家头脑中凭空构造出来的玩具而已……

最后再补充一点，鉴于在物理上我们定义直线为光走过的路径，而在小尺度上光子因为量子效应不再具有很好的粒子性，不再具有通常意义上的轨迹，因此，在小尺度上（小到量子效应很明显），几何学根本就是不存在的！这也就是为什么量子力学中就再也没有轨迹这种几何学概念了。

至此，总算是把直线的定义给说清楚了。想不清猜不透又找不着，直线你真的伤不起啊。

本文基本观点来自北京大学数学科学学院范后宏教授“古今数学思想”课。