金角银边草肚皮

首先不难看出，点击某个方块出现一片安全区域的条件是这个方块的周边没有地雷。假设我们第一次点击的方块处在盘面中间的位置，那么就需要它周围的 8 个方块都没有雷；如果方块在盘面的 4 条边上，则是 5 个方块；在角上是 3 个方块。

假如我们第一次点击的方块在盘面中间，那么出现安全区域的概率就等于它周围 8 个方块都没有雷的概率（暂且不论这个安全区域可以有多大）。如下图所示，令 N 表示盘面上格子的总数， M 表示地雷的个数，前面说过因为第一次点击的一定不是雷，所以这时候场上还剩 N-1 个格子和 M 个地雷，于是图中右下角那个格子不是雷的概率就是 (N-M-1)/(N-1)。

类似地，当前场上还剩 N-2 个格子和 M 个雷，所以下一个格子依然不是雷的概率是 (N-M-2)/(N-2)。

依此类推，最后可以发现，第一次点击的格子，其周围没有雷的概率是:

对于边和角的情况，推导的过程完全类似，只是上述乘积的项数不一样——边上只有 5 项，角上只有 3 项。

根据游戏的设置，将 N 和 M 的取值代入这个表达式中，最终可以得到三种难度下三种策略各自出现安全区的可能性大小：

所以得出的结论是，“从角上开局”！

安全区有大有小

当然，看到这里你可能有个疑问，虽然说第一步点击角出现安全区的概率最大，但安全区域的面积也有大有小。一个直观的想法是，虽然角上出现安全区域的可能性最大，但其能扩展出的面积也最受限制。而在中间的位置，虽然安全区出现的可能性最小，但是一旦出现，这个区域可以向四周发散，能扩展出的面积也随之增大。这两个因素相互制约，究竟谁能最终胜出？

我们转而考虑另一个指标，也就是某一个方块被点击后出现的安全区域的平均面积，这个指标在概率论和统计学中称为期望值。但因为安全区域面积的期望大小很难从理论上推导出来，所以在这里我们利用了蒙特卡罗模拟的办法来对它进行计算。其主要流程就是在电脑中模拟很多次扫雷的过程（比如 10 万次），然后把每一次的结果记录下来，最后做一次平均。

下图是初级模式下游戏开始第一步，点击每个格子出现安全区域的期望面积，可以看出，颜色越浅的地方安全区域面积倾向于越大，在图中即为四个角的位置，平均下来一次可以击出约 16 个格子。最“差”的地方则是从外向里第二圈的四个顶点，仅为 10 个格子左右。这其实也符合记录，初级扫雷的世界纪录是 1 秒，世界上很多人达到了这一点。在1秒的时间里完成初级扫雷其实属于碰运气，最可能的方法就是直接点击 4 个角的方块。

类似地，中级和高级的图如下所示：

其中颜色最浅的地方都指向了四条边的中心。

所以，如果考虑的是连击区域的大小，那么在初级模式下还是应该优先选择四个角的位置；而对于中级和高级模式，则是边的中心其大小的期望值最大。

模拟结果存在不足

然而上面用蒙特卡罗方法得出的结果却并不就是我们想要的答案。计算机模拟的只是第一步点击哪里出现安全区域的期望面积最大。但实际上，第一次点击出现的安全区域面积越大，下一次点击未知区域出现安全区域的概率也就越小，区域面积也会越小。如果只是贪图第一步捡一个大便宜，而让之后的操作寸步难行，那未免得不偿失。

另一方面，并非每一个扫雷局都是有解的，有时候根据现有的局面，并不能够判断最后剩下的几个方块哪个是雷哪个不是，例如下图这种情况，剩下两个方块各自有雷的概率都是 50%。

出现这种情况，除了因为地雷布局的原因，还和游戏者的操作有关。试想辛辛苦苦大半天，最后却只能“谋事在人成事在天”，未免太亏。而如果第一步就点击角落，自然就降低这种局面出现的概率。

对于扫雷游戏来说，首要目的是要排出全部地雷，其次是尽量缩短游戏时间。而根据前面的推算，我们知道，首先点击角无疑会让这个游戏变得更为简单和容易，并且也不会为之后的操作带来什么麻烦，作为一名技术流高手，第一步首先点击角落的方块，无疑是最保险和高效的。

为了理论结合实践，众编辑纷纷亲赴雷区，不幸的是，某人不小心用力过猛把机器戳爆了…

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参考资料： Classic Minesweeper