如何比较两只并未交手的球队

首先看两支进入决赛的队伍，他们都进行过 6 场比赛：

西班牙 6 场比赛：

西班牙 1-1 意大利
西班牙 4-0 爱尔兰
西班牙1-0 克罗地亚
西班牙 2-0 法国
西班牙 0-0 葡萄牙（点球4：2）
西班牙 4-0 意大利

意大利 6 场比赛：

意大利 1-1 西班牙
意大利 1-1 克罗地亚
意大利 2-0 爱尔兰
意大利 0-0 英格兰（点球4：2）
意大利 2-1 德国
意大利 0-4 西班牙

小组赛的时候西班牙和意大利在同一小组，最后西班牙小组第一，意大利是小组第二。在各自进行的 6 场比赛里，西班牙平了一场，意大利平了两场还输了一场。进球数和净胜球数方面，西班牙也占上风。据此这样简单地看，在这次欧洲杯上，西班牙的小组赛和淘汰战绩加一起还是好于意大利。

不过欧洲杯这样的淘汰赛不同于各国联赛的循环赛制，球队不是两两都会相遇。按照胜一场得 3 分，平一场得 1 分以及净胜球的方式决定排行榜的位置并不公平。

举个例子， A 组的一支队一胜两负淘汰出局，B组也有一支队伍也是一胜两负淘汰出局，对于这两个队，我们如何判断谁强谁弱？——这就要看 A 组和 B 组里其它球队在这次欧洲杯的表现了，如果 A 组的其它球队闯进四强或者决赛，这说明 A 组是死亡之组；如果 B 组其它球队表现比较差，出线后就立刻就被其它队淘汰，这说明 B 组整体实力平庸。很容易看到，在 A 组赢一场比赛的难度和在 B 组赢一场比赛的难度不一样， 可以认为 A 组被淘汰的队伍表现要好于 B 组那支。

用特征向量来评分

也就是说，我们要保证与强队交手和与弱队交手区分对待。有一种最大特征向量的方法可以做到这一点：我们让一支球队在击败强队的时候获得的加分多，击败弱队的时候获得的加分少。比如某一支球队如果大比分赢过西班牙（或者至少输的比分少），在排名中就会获得更多加分，而即使它大胜爱尔兰，在排行榜中的加分也不会很多。这样尽管欧洲杯的 16 支球队每支队伍的对手不同，我们还是可以根据各个队最后得到的总分数得到一个大排名。

首先把 16 支队编上号 1-16 号，计算出一个 16×16 的“得分”矩阵 A，矩阵里第 i 行，第 j 列的元素为：

r _ij 代表比赛的两队对阵时占的优势各是多少。假设 2 号队是希腊，4 号队是捷克，两队之间的比赛是捷克2：1希腊，当 i=2，j=4 的时候， S _ij = 1, S _ji = 2,最后算出来 r _ij = 0.4，反过来， r _ji 就会是0.6（ r _ij + r _ji = 1）。在一场比赛中，一个队比分的优势越大，对应的 r 也就越大（0≤r≤1），如果是平局 r = 0.5，当然，两队加一起一定是 1。为了公平起见，点球大战出现的比赛可以把一个点球按照 0.2 或者 0.4 个球算。

对于那些没有交过手的球队，矩阵里对应的格子都设成是一个比较小的正数（比如0.15）。把所有进行过的比赛的结果的数值都填到矩阵里之后，矩阵 A 就会是这样：

（大图点 这里 ）

接下来，Ax = Kx，x 是一个长度为16的“特征向量”，分别代表着每支球队的“分量大小”，K为特征值，通过计算我们可以找到最大的特征值对应的特征向量。在最大特征向量里，一支球队对应的数值越大，代表着对手击败它可以捞到更多的加分，自然也意味着这个队在整个欧洲杯比赛中表现的越好。

按照本届欧洲队各队比赛结果，就能算出各队的得分：

可以看得出，西班牙总的表现就是确实好过意大利。不仅如此，德国在半决赛里虽然输给意大利，但是如果包括了小组赛和 1/4 决赛，德国总体的表现也好过意大利队，甚至葡萄牙的分数都高过意大利。这个结果多少有点令人吃惊。

这个排名并不完美

其实这种排名规则也是谷歌网页搜索结果的排序的原理， Google 排序的依据是网页之间互相链接的数量，而不是看网页被点击的数量。如果一个网页被很多本身就很热门的网页链接，它也会被放到搜索结果的前列（就像一支队如果在跟多支强队交手中表现都很好一样）。当你在搜索一个词汇的时候，网站强大的服务器会迅速计算出一个“得分”矩阵，标示着所有网页两两之间的链接强度，找出特征量，以此为依据列出网页热门程度的排名。

不过，这个球队排名并没有那么完美。在这里每一场比赛都被视为同样重要。事实上越往后的比赛越重要，这样的比赛更能反映出一支球队的水平。没有对小组赛和淘汰赛划分权重，是这个排名方法的最大不足之处。

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参考资料： Mathematical analyses of 2010 FIFA world cup. Shigeru Furuichi and Hideitsu Hino