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酷炫动图(三):数学篇

三角函数 正十七边形 高斯 正弦 余弦 极坐标 直角坐标

Ent 发表于  2014-06-05 13:41

在两期化学实验动图之后,我们决定换换口味,做一期数学相关的动图。

本文依然会耗费一点流量,但是不管怎么说数学比化学省钱多了……

你真的以为你懂三角函数吗?

请听题:三角函数既然是函数,那它的自变量和因变量都是什么?

circle.gif图片作者:LucasVB(1ucasvb)

从这张图里可以很明显看到,所谓正弦函数,其实就是圆上任意一点的y坐标(红)和弧长(蓝)之间的关联。左图的蓝色弧长和右图的蓝线完全一样。

而弧长又和弧度是完全对应的。为什么高中老师不肯用经典的360度角而一定要教你奇怪的“弧度”?就是因为这个对应。1弧度就是长度为1个半径的弧所对应的角,π弧度就是正好半个圆——相应的,之所以 sinπ=0,正是因为当蓝线走了一个π(一个半圆)的时候,正好也走回到了 y = 0 的地方。

Circle_radians LucasVB.gif图片作者:又是LucasVB(1ucasvb)

那余弦函数呢?留给读者作为练习——

lucas math3.gif图片作者:还是LucasVB(1ucasvb)

——别打了,我说还不行吗……余弦函数就是圆上任意一点的x坐标弧长之间的关联,只不过在画函数的时候,把圆上点的x坐标打了个弯,对应成了函数曲线上的y坐标,就像这张图里的蓝线那样。

为了体现余弦函数的这个对应,我们也可以直接把函数本身竖过来,就成了这样:

math1.gif图片来源未知,但画得这么丑,肯定不是LucasVB

当然,这种对应也可以用在其它几何图形上,只不过就不如圆那么美丽了,比如下面这个丑陋的心形。

heart lucas.gif图片作者:当然是LucasVB(1ucasvb)

要不为什么说圆是最完美的身材!(并不是)

极坐标的魔法

如何把直角坐标变成极坐标?看我的:

lucas polar to lineal.gif图片作者:依然是LucasVB(1ucasvb)……

这是什么黑魔法……

别急,听我解释,事情就是你看到的那样:

首先我们需要把函数沿直线 y = x 翻转。之所以要有这一步,是因为极坐标里我们很武断地把0度定义在了朝右。如果0度是(更自然的)朝上,那就不需要这一步了。

然后,我们把Y轴折弯过来,直到它缩成一个点。成功!

思路是这样的:直线在几何上可以认为是具有无限直径、无限曲率半径的一个圆,永远不向自身弯折。但如果我们逐渐降低曲率半径,从无限一直降到零,就等于是把Y轴变成一个逐渐缩小的圆、最后变成一个点。而原来直角坐标的“Y轴”所承载的信息,在转换中就逐渐移交给了极坐标的“角度”。

注意,这个转换体现的是极坐标和直角坐标之间不同的对应方式,是把一种对应变成了另一种对应,而不是说把同一个曲线从直角坐标表达式换成极坐标表达式。前后两个是不同的曲线。

正十七边形尺规作图

Regular_Heptadecagon_Inscribed_in_a_Circle.gif图片作者:Aldoaldoz

正十七边形可以用尺规作出来,这是高斯1796年19岁时证明的。这是正多边形尺规作图两千年来头一次有所突破——换句话说,上一次人们发现新的正多边形尺规作图法还是在古希腊。

但是,高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格(Johannes Erchinger)给出,而上面的这个方法——“卡莱尔圆法”则要更晚。(猜猜这个卡莱尔是谁?托马斯·卡莱尔。对,就是那个《法国大革命史》和《论英雄、英雄崇拜与历史上的英雄业绩》的作者。)

那高斯怎么就知道正十七边形是可以做出来的呢?因为他懂数学。他已经知道,如果一个正多边形内角的三角函数能用加减乘除和开平方表达出来,那就意味着这个正多边形能用尺规做出来。(尺规等价于只使用圆和直线的交点作图,直线的表达式是二元一次方程,圆的表达式是二元二次方程,所以只用到了加减乘除和开平方。)而他又证明了,只要正多边形的边数n是费马素数,那么就能这么表达。当时人们已经知道前五个费马素数是3、5、17、257和65537,所以高斯等于一举证明了这五种正多边形都是尺规可做的。

不过,正三边形(好吧,正三角形)和正五边形人们早知道了,而正257边形什么的做起来又太麻烦,所以最后正十七边形成了最出名的。

那么正十七边形的对应三角函数应该怎么表达?高斯的《算术研究》给出了结果:

gauss.png

 

参考资料

好吧你们可能发现了我是这位LucasVB的粉丝……他的网站见此 1ucasvb.tumblr.com。下期还会有他的动图出场。

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死理性派

热门评论

  • 2014-06-05 14:07 wuou 果壳网副主编

    给尺规17等分法跪了!

    [66] 评论
  • 2014-06-05 15:01 胡琦璇
    引用@狐钰钰 的话:。。。。。。。。。没觉得像,也不觉得性感。。。

    真的不像么。。。。。

    [40] 评论
  • 2014-06-05 13:53 wuou 果壳网副主编

    数学太完美啦!作者太流弊啦!

    [23] 评论

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全部评论(126)
  • 1楼
    2014-06-05 13:53 wuou 果壳网副主编

    数学太完美啦!作者太流弊啦!

    [23] 评论
  • 2楼
    2014-06-05 13:56 酥酥 果壳网新媒体编辑

    数学弱鸡拜倒……_(:з」∠)_

    [5] 评论
  • 3楼
    2014-06-05 14:00 飞鱼BH1JSS 飞行爱好者,航模控

    为什么我看到了汽缸和曲轴

    [4] 评论
  • 4楼
    2014-06-05 14:05 叫我电气小混混

    介个太和谐了,数学原来可以酱样子玩

    [0] 评论
  • 5楼
    2014-06-05 14:07 wuou 果壳网副主编

    给尺规17等分法跪了!

    [66] 评论
  • 6楼
    2014-06-05 14:07 qjj2857

    跪倒在各位先贤和ent大大的石榴裙下

    [2] 评论
  • 7楼
    2014-06-05 14:08 狐钰钰

    那个心形很美啊!!!


    [0] 评论
  • 8楼
    2014-06-05 14:20 wuou 果壳网副主编
    引用@狐钰钰 的话:那个心形很美啊!!!

    Ent大大说,圆形是最美的。

    [1] 评论
  • 9楼
    2014-06-05 14:25 狐钰钰
    引用@wuou 的话:Ent大大说,圆形是最美的。

    直男没审美,233

    [2] 评论
  • 10楼
    2014-06-05 14:35 willeychen

    “但是,高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格(Johannes Erchinger)给出”,但是从这个公式:

    不是已经可以做出正十七边形了?求解。

    [3] 评论
  • 11楼
    2014-06-05 14:35 starsnow

    数学好美~

    [0] 评论
  • 12楼
    2014-06-05 14:41 Ent 古生物学博士生,科学松鼠会成员
    引用@willeychen 的话:“但是,高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格(Johannes Erchinger)给出”,但是从这个公式:不是已经可以做出正十七边形了...

    尺规作图啊,没有刻度没有量角器。

    [0] 评论
  • 13楼
    2014-06-05 14:51 胡琦璇

    给正十七边形跪了

    引用@狐钰钰 的话:直男没审美,233

    有木有觉得心形的那个像女人的上半片嘴唇?很性感有木有?

    确定他是直男么?

    [0] 评论
  • 14楼
    2014-06-05 14:55 狐钰钰
    引用@胡琦璇 的话:给正十七边形跪了有木有觉得心形的那个像女人的上半片嘴唇?很性感有木有?确定他是直男么?

    。。。。。。。。。没觉得像,也不觉得性感。。。

    [0] 评论
  • 15楼
    2014-06-05 15:01 胡琦璇
    引用@狐钰钰 的话:。。。。。。。。。没觉得像,也不觉得性感。。。

    真的不像么。。。。。

    [40] 评论
  • 16楼
    2014-06-05 15:23 夜游神四号 营养与食品安全硕士

    完全,停,不下来……

    [1] 评论
  • 17楼
    2014-06-05 15:25 飞着来的

    数学本身就是美的

    [0] 评论
  • 18楼
    2014-06-05 15:25 willeychen
    引用@Ent 的话:尺规作图啊,没有刻度没有量角器。

    这个式子本身就是用尺规做出cos(2pi/17)的方法啊。

    [0] 评论
  • 19楼
    2014-06-05 15:25 素食者
    引用@wuou 的话:Ent大大说,圆形是最美的。

    圆形是最完美的。
    心形是最诱惑的。
    一个理性,一个感性。不容易调和,大凡理性出众的多死板,感性出众的多愚昧。

    要寻找理性和感性俱备的人,可以从娶了漂亮老婆的科学家集合入手。

    [4] 评论
  • 20楼
    2014-06-05 15:31 Ent 古生物学博士生,科学松鼠会成员
    引用@willeychen 的话:这个式子本身就是用尺规做出cos(2pi/17)的方法啊。

    这个式子和尺规法等价,但高斯没有往那个方向考虑过啊,更没有发表过具体的尺规做法……以尺规而言,等价和真的做出来还是有段距离的

    [0] 评论
  • 21楼
    2014-06-05 15:34 果壳小卒
    引用@willeychen 的话:这个式子本身就是用尺规做出cos(2pi/17)的方法啊。

    可能太复杂了,高斯不愿意去做。对于数学家来说,知道解存在就行了。

    [0] 评论
  • 22楼
    2014-06-05 15:37 狐钰钰
    引用@胡琦璇 的话:真的不像么。。。。。

    然后你说,这哪里性感了呢。。。。。。。。。。

    [0] 评论
  • 23楼
    2014-06-05 15:37 劣质数轴

    还有合傅里叶级数展开式的那个GIF,也是很酷炫的。

    [0] 评论
  • 24楼
    2014-06-05 15:41 敢敢和不怕

    大学只学了最简单的高数D,搞得头大,原来数学还可以这么美这么美。。。。想当年高中数学学的最好的一章就是函数了,超喜欢那个正十七边形的作图,对我这种文科生而言真是高大上,有木有啊?

    [0] 评论
  • 25楼
    2014-06-05 15:43 AI油泳的鹰 勘查技术与工程专业,编程爱好者

    这种动图的制作不算难,做好关键帧和运动方程就行了。

    MATLAB就能做,但是效果就没这么平滑细腻了

    咦,我记得tumblr被墙过,现在又能上去了

    [0] 评论
  • 26楼
    2014-06-05 15:45 山卡拉
    引用@劣质数轴 的话:还有合傅里叶级数展开式的那个GIF,也是很酷炫的。

    指的是这个?

    [17] 评论
  • 27楼
    2014-06-05 15:53 胡琦璇
    引用@狐钰钰 的话:然后你说,这哪里性感了呢。。。。。。。。。。

    看了你主页 原来你是个姑娘啊 (*^__^*)

    那女人的红唇对你有啥性感可言

    [1] 评论
  • 28楼
    2014-06-05 15:54 Sunny_grape

    果然很炫...

    [0] 评论
  • 29楼
    2014-06-05 16:12 狐钰钰
    引用@胡琦璇 的话:看了你主页 原来你是个姑娘啊 (*^__^*) 那女人的红唇对你有啥性感可言

    女人也是可以喜欢女人的哇。。。

    [1] 评论
  • 30楼
    2014-06-05 16:56 洛堤

    如果我高中的时候看了这个,结果会不会不一样……

    [2] 评论

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Ent 古生物学博士生,科学松鼠会成员

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