2679
需用时 05:21
【菠萝科学奖】一根棒棒糖能舔多少口?

2015年菠萝科学奖数学奖颁给了来自纽约大学柯朗数学研究所的黄金紫团队,以表彰他们发现了一根棒棒糖能舔多少次。为什么这样的研究都可以发表?它又是凭什么能获得菠萝科学奖呢?这篇解读将会揭晓答案。

“棒棒糖需要舔多少口才能被完全吃掉?” 这几乎是一个世界性的问题。80年代美国的一则著名的棒棒糖广告中,一位小男孩向森林中的动物们请教这个问题,最终猫头鹰先生(Mr. Owl)告诉他说我们应该用实验来检验。猫头鹰开始实验,但是到第三口就忍不住把棒棒糖咬碎了——于是得出了3口这个最终结论。广告的最后说:“棒棒糖需要舔多少口?世界可能永远也不会知道。”

lollipop small.gif图片来源:Tootsie Roll广告

在纽约大学柯朗数学研究所应用数学实验室(Applied Maths Lab),我们意外发现了这个问题的答案——说意外,是因为我们研究的初衷是为了解释溶解过程在自然界中的作用。

自然界中,有水流过的地方都会留下水特有的痕迹。比如说,在河边我们可以捡到椭球形的鹅卵石,在草原上我们可以看到弯曲的河流,在海底我们会看到起伏的沙丘。这些过程涉及两个重要元素:一方面,水在流过固体表面时,通过侵蚀或溶解带走了物质,从而改变了固体的形状;另一方面,改变了形状的物体又会干扰到水的流动,从而改变水流的速度并且影响物质被带走的速度。集合了这两个元素的流体力学问题统称为变边界固体-流体相互作用问题。

图片来源:作者提供

正是在看到这些水流和固体相互作用的例子后,我们开始好奇是什么原因让水流将固体塑造出如此有特点的形状。就像米开朗琪罗曾经说过的一样:“每块石头中都存在着一尊雕塑,而雕刻家的作用便是去找到它。”

众多的水流侵蚀现象中,我们先选择了溶解来作为研究的方向。自然界中的固体溶解问题相当困难,因此我们选择了最简单的几何形状——球形,以及最基本的水流——均匀水流(流速处处相等的水流)作为起点。我们希能通过这样的简单组合来了解固体在水流中溶解的基本规律。

为了获得球形的可溶固体,我们自然地想到了购买棒棒糖来进行实验。但是,我们发现市售的棒棒糖都包含了大量的气泡,而气泡的存在会影响溶解中固体的形状。在确认市售的棒棒糖存在缺陷后,实验室的成员们首先妥善处理了剩余的棒棒糖,并在这之后开始了自制糖球的过程。

经过多次失败的尝试后,我们发现将白糖、糖浆与水以8:3:2的体积比混合后加热至150摄氏度,然后将还能流动的高温糖浆注入到球形模具中冷却,便可以得到口感与质量兼得的硬质糖。最终实验中所用到的直径为6厘米的巨型棒棒糖,就是由我在自己的家中使用这样的传统工艺制作出来的。用这样巨大的糖球做实验恰到好处:如果使用更大的糖球,那么它可能无法被放入实验水洞中,如果太小,那么溶解过程持续的时间又可能太短了无法记录。而最主要的原因在于,我买的球形模具,恰巧是直径6厘米的……

实验使用的大棒棒糖球。图片来源:作者提供

在得到合适的糖球后,我们将其放置在能产生均匀水流的实验用水洞中,并且通过照相机来记录糖球形状的变化。我们发现,糖球在溶解的过程中会形成下图中所展示的独特形状(水流从左边流向右边)。

在定向水流中溶解的糖球。图片来源:作者提供

接下来的图是将反光的颗粒放入水中后,长时间曝光所得到的照片,反光颗粒形成的流线像星轨一样记录了其在水流中运动的轨迹。正像在开篇时所说的一样,固体的形状其实反映出了水流自身的特点。我们可以看到,水流将糖球雕刻出了圆而光滑的前部,在这之后由于水流从固体表面分离导致了球面上两道明显的分离线,更之后由于水流在尾流区的混合使糖球的后部形成了平滑的表面。

使用反光颗粒标记之后的糖球。图片来源:作者提供

糖球的前表面所形成的完美的光滑曲面吸引了我们的注意力,我们想知道这样的几何形状是否是溶解过程所带来的普遍的结果。因此,我们选择了其他形状的几何体,并将最终溶解后的形状与糖球溶解后的形状相比较。下图中,不同颜色的曲线代表了糖在不同时刻的截面形状。我们可以看到,虽然起始形状不同,但是最终它们的前表面都被水流慢慢侵蚀成了相似的曲面。

无论是使用糖球还是糖圆柱(左),最终侵蚀得到的球面形状(右,偏蓝色线条)是类似的。图片来源:作者提供

这样的结果让我们相信,这样的曲面确实是由于水流侵蚀所造成的。更仔细的分析发现,随着时间的推移在固体表面上流体溶解的速度(表面后退的速度)在不同的区域会慢慢变成同一个常数。这似乎说明,水流侵蚀所形成曲面的几何形状会导致均匀的溶解率——而均匀的溶解率又能保持这个曲面形状不变,只是自相似地不断缩小。这样的一个结论便自洽地解释了,为什么这样的形状会成为固体在液体中溶解的最终形状。

那么这样的一个曲面对应着什么样的几何形状?应用数学实验室的尼古拉斯·莫尔(Nicholas Moore)博士通过共形变换的方法解析的找到了这个曲面的形状:

lollipop 6.png

在这里φ代表在曲面上每点切线与水平线的夹角,s代表弧长(在最前端为0,分离点为1)。而Li2是一个二阶多重对数函数。

不要被这个奇怪的表达式吓到,我们发现在经过泰勒展开后,这个表达式的前几项非常接近一个圆的泰勒展开。这样代表着如果我们把在实验中的到的形状拟合在一个圆上,我们应该会得到非常接近的曲线。下图便是这个拟合的结果,其中的两条实线分别来自于上图中的两个不同的初始形状。

lollipop 7.png实线为棒棒糖溶解过程中的稳定形状,虚线为理想球。图片来源:作者提供

事实证明,在溶解过程最终产生的曲面的截面确实是一个圆形的一部分——也就是说这个轴对称的三维曲面是一个球面的一部分。这可以说是实验中最令我喜欢的发现。换句话说,不论初始形状是什么,只要水流的速度均匀(比如说矿物溶解在河流中)我们都可能会看到这样近似于球形的形状出现。

在得到了这样的一个形状后,我们又注意到糖球在溶解的过程中溶解速率在不断地增加。因此我们便希望理论求解糖球的体积是如何随时间变化的。

通过边界层方法我们可以得到下面两个公式:

lollipop 8.png

这里的V代表糖球的体积,t代表时间,tf代表糖球完全溶解所需要的时间,U0代表水流的流速。第一个公式告诉我们,糖球的体积会随时间的平方递减。而第二个公式告诉我们,糖球完全溶解所需要的时间是和水流流速平方根的倒数成正比的。这和我们的直觉一致,就像搅拌咖啡一样,快速的搅拌可以加快糖的溶解。

我们发现,这两个公式与实验结果非常吻合。它可以预测可溶解的固体在流动的液体中溶化所需要的时间,因此在工业领域特别是制药业会有很大的用途——譬如,判断药片需要多长时间才能在胃液中溶解。

不过,我们也观察到,如果一个糖球溶解在没有流动的静水中,一些未被预测到的纹路结构会出现在糖球表面(糖球不再光滑)。目前的研究结果提示,这些纹路可能是由于流体中的湍流与分离引起的。我们很想在后续研究中更清楚地了解这个过程。

在得到了这个公式后的某一天,应用数学实验室的雷夫·里斯托弗(Leif Ristroph)教授突然想到,这个公式似乎可以解释那个困扰着很多人的难题——棒棒糖需要舔多少口。我们决定——不进行这个臭名昭著的实验,而选择在那天下午聚在一起,用我们新得到的公式算出了这个数字——1000口!这听起来挺吓人的,直到我们在推特上找到了RiffRaff41同学的实验报告:

lollipop 9.png图片来源:@RiffRaff41

在实验数据的证实下,我们的预测多少还是可以接受的。也正因为我们得到了这样一个理论预测的预测,才使我免于真正去做这个高难度的实验。(编辑:Ent)

更多关于菠萝科学奖的趣味解读,请戳专区:

 
The End

发布于2015-04-11, 本文版权属于果壳网(guokr.com),禁止转载。如有需要,请联系果壳

举报这篇文章

黄金紫

纽约大学柯朗所在读数学博士

pic