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π日到了!这里是π的3*1*4个无用知识

pi 圆周率

小Alice呀 Ent 共同发表于  2017-03-14 19:16

1、π决定了曲流河的蜿蜒程度

这是π在现实中最惊人的应用之一:一条平原上的河流,它的曲折程度——也就是河道的总长度除以源头到入海口的直线距离——随着时间推移会趋向于π。

现实中没有那么理想的河流,平原河的这个数值更可能比π稍微低一些。但是在数学中没有这个问题——1996年数学家Hans-Henrik Stølum在《科学》上发表论文证明了这一点。

不过这也没那么神秘,想象一下一条由许多圆弧交替拼接组成的河流,就能直觉上理解为何这个数值是π了。

图片来源:google

图片作者可能是blog.matthen.com

​下面两张图是作者汉斯-亨里克·斯托罗姆(Hans-Henrik Stolum)用纯粹的数学公式推演出来的河流演化,可以和上图对比一下。

​2、π里包含了所有可能的数字组合吗?答案是“不知道,大概吧”

虽然在《疑犯追踪》里宅总有那个著名的演讲,声称π包含了一切,也有很多由此衍生而来的段子(不要在你的硬盘上存储π,因为它侵犯了有史以来所有可能的版权,包含了全世界所有国家的所有最高机密,等等),但这一点并没有得到数学上的证明。再强调一遍,没有证明。我们明确知道π是无限不循环的,仅此而已;剩下的都是猜想。

不过还是有人开玩笑地设计了一套文件系统“πfs”,你的所有的数据都(很可能)存在π的某一个地方,所以不需要你亲自记住这些数据,只要记住这些数据在π的哪里就行了。

​3、重力加速度g差一点就是π的平方了

你算过π的平方吗?掏出计算器算一下看看,你会发现它约等于9.87。做过高中物理题的同学可能会意识到,这和地球表面的重力加速度g——9.81m/s^2——在数值上只差一点儿啊。

其实,不但是数值上差一点儿,而且是差一点儿就分毫不差了。

π是没有单位的,所以怎么着都是这个数。但是重力加速度是有单位的,所以如果当年对标准单位定义变了,那这个数也会变。而历史上第一个“米”的定义,就恰好能让π^2和g在数值上相等。

但这算不上是巧合,1668年提出这种方案的英国人约翰·威尔金斯是根据“秒摆”来定义的。所谓秒摆就是从一头到另一头正好花费1秒的单摆(也就是周期为2秒),他把秒摆的长度定义为1米。

那么,根据单摆的周期公式 T = 2π (L/g)^1/2,T=2秒,L=1米,就立刻能够得出g=π^2 m/s^2。听起来是很方便合理的定义公式嘛。

到了1791年,法国大革命期间,法国科学院要设立一种新的度量衡——也就是今天的米制。竞争的双方,就是秒摆定义和地球周长定义。不过最终科学院选择了周长定义——把1米定义为地球子午线长度的4000万分之1。这是因为,当时已经发现重力加速度在地球各个表面是不同的,所以一个秒摆换了地方就不是秒摆了。

不幸的是,这也导致今天的学生面对每道单摆题,都要多花好几个一秒去算数……

为啥老式挂钟要做得这么长?就是因为它们是设定成秒摆的,需要大约1米长的钟摆。

​不过按照今天的米的定义,标准重力下的秒摆长度只有 0.994 米。

4、我有一个π,我有一个e,嗯~你说啥?

π是无理数,e也是无理数,可是我们竟然不知道π+e, π/e或者lnπ是否是无理数!只知道它们不是八次以下、所有系数都小于10^9的多项式方程的根。

事实上,很多关于π和e的看起来基本的信息,我们都不知道。当然这不是因为π和e本身有多神秘,只是因为和无理数打交道真的是很难。

π:我为什么要讲理?

 但是至少我们知道,π+e和πe不可能同时是有理数。这个问题的证明留给读者作为练习(对于高中数学学得好的人而言不难)。

顺便说,π自己直到18世纪才被证明是无理数。后来的数学家提出了一些比较简单的证明,最简单的可能是 Ivan Niven的证明(太长了,这里写不下),原则上高中数学学得好的人是可以看懂它的——如果你真的看懂了,请认真考虑报考数学专业。

i 乱入。然而看懂这幅图只能证明你没有朋友(。

​5、可能是最无聊的数学论战:π是错的吗?

圆的周长被定义为2πr,一个圆的弧度是2π,很多常见公式(比如单摆周期)都有2π,这让一些数学家认为2π才是更基本的常数。一位美国数学家麦克·哈特尔(Michael Hartl) 建立了网站 tauday.com,呼吁人们用希腊字母 τ(tau)来表示“正确的”圆周率 C/r = 6.2831853... 。哈特尔建议大家以后在写论文时,用一句“为方便起见,定义 τ = 2π ”开头,推广这一更为科学的圆周率记号。

支持τ的人建立了τ日(6月28日)来和π日(3月14日)分庭抗礼,每年都会在这两天相互把对方批判一番。不过显然这样的论战对大部分人来说没有意义。正如某位不可考的网友指出的,如果π是错的,τ岂不是两倍的错?

一个折衷的办法……来源:xkcd.com/1292/

6、π被称为π只有很短的历史

虽然人们知道π将近4000年,“π”作为代表圆周率的符号被人们使用却是近300年的事情。1706年,英国数学家William Jones 最先使用希腊字母π表示圆周率。π在希腊字母中排行第十六,也是希腊语“周长”的第一个字母。1737年,瑞士大数学家欧拉也开始用π表示圆周率。

所以,在此之前,他们就不能讲关于π和馅饼的冷笑话了,好可怜哦(画外音:请问谁会有这样的需求啊)

7、π日的历史,就更短了……

最早有记录的π日庆祝活动,是1988年3月14日在美国旧金山科学探索馆一位物理学家Larry Shaw的倡议下,工作人员和游客们在探索馆的圆形空间内举行了庆祝活动,并分享了一个水果派。

2009年3月11日,美国众议院通过了一项决议,把3月14日正式确定为全国的“π日”(National Pi Day)。

8、圆周率出过歌和书(也就算了),居然还出过月刊?

作曲家迈克尔·布雷克(Michael Blake)将圆周率的前31位数字(3.1415926535897932384626433832795...)一个个“翻译”成了音符。他利用勋伯格十二平均律中所引入的半音阶概念,将半音阶与数字一一对应,即令1=C,则3=D,5=E,6=F,依此类推。

这段小小的曲子每分钟节拍数为157,恰为314的一半。由简单的钢琴旋律引入,中途又加入了手风琴、木琴、夏威夷四弦琴等乐器,丰富了整个旋律。戳这里收听→http://v.youku.com/v_show/id_XMjQ5NzIzMDcy.html

出书又是怎么回事?日本有个很迷的社团出版过一本书叫做《円周率1000000桁表》,1996年就开始发售了,至今依然可以在日本亚马逊上买到。

长成这样:

极具简单粗暴之美_(:з」∠)_

后来嫌不过瘾,又出了《自然常数e100万位》、《素数15万个》,以及《月刊圆周率》杂志,每月连载十几万位的π…

记住这个社团的名字。
……简直有毛病(╯‵□′)╯︵┻━┻

​好评连载中!想要吗?

顺便说,这个社团在同人展上的画风也非常迷:

9、π总是在最奇怪的地方出现,比如——概率论

在几何问题中,圆周率显然很重要;但奇怪的是,π也驰骋于几何以外的其它数学领域,它在概率问题中的频繁出现让人们得以通过实验模拟估算它的值。(当然,多学一点数学,你就会发现其实也没那么奇怪了。)

比如鼎鼎有名的布丰投针问题:地板上画一系列间距为2a的平行线,将一根长度为a的针随机投向地面n次,那么针与平行线相交的概率是多少? 1777年,布丰本人给出了解答——相交概率为1/π。很多人甚至依靠此实验推算π 的近似值。1850年,一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后,得到 π 的近似值为3.1596。由投针问题引入的计算 π 的方法,不但因其奇妙而让人叫绝,而且还开创了随机数处理确定性数学问题的先河。

​任意两个整数互质的概率是 6 / π^2,基于这一点,英国伯明翰阿斯顿大学的罗伯特•马修斯计算了天空中100颗亮星间的角距离,并把它们转化为100万对随机数字,其中约61%没有公因数。他得到的π值=3.12772,准确率达到了99.6%。

10、派和披萨有一个诡异的联系——除了都很好吃之外

这是一个著名的数学笑话:“一个厚度为a,半径为z的披萨的体积是多少?”答案是:“pizza。”这个结果有时被称为披萨第二定理。当然,这只是圆柱体体积公式的一个简单外推罢了。

11、π出现在据说是最美的公式里,但其实这公式的母体才是最美的

嗯你们知道我要说什么,就是所谓的欧拉恒等式:e^iπ+1=0.

​这个公式的厉害之处在于把数学里最重要的5个数——e,i,π,1和0放在了一个等式里。

但是这个公式本身的意义却很有限。它的几何意义不过是说,如果你旋转了π的弧度,那就正好转过了半个圆……这还用你说嘛!

真正厉害的公式不是欧拉恒等式,而是它的母体——欧拉公式:

e^ix = cosx + isinx

欧拉恒等式只是令x=π时得到的一个特例,欧拉公式本身才应该被称为最深刻最美丽的数学公式。比如,利用这个公式可以很容易证明i的i次方是一个实数!

证明么……当然了,留作读者练习之用。(滚走)

12、最后来个实用的:如果你想背π

背到762位就可以了。这是理查德·费曼的著名冷笑话……因为在π的762位,出现了连续6个9,所以他说,你可以背到762位,然后以“……999999,等等”来收尾。

6个9,不是666666,别背错了。

(编辑:Ent)

热门评论

  • 2017-03-14 21:40 西泽.贝叶斯
    比如,利用这个公式可以很容易证明i的i次方是一个实数!

    取对数:=== ()

    所以:

    [10] 评论
  • 2017-03-14 20:26 西泽.贝叶斯
    引用@q68257962 的话:圆弧?半圆?感觉一个科学的结论被偷换了概念,成了民科的论调。

    对于任何光滑曲线的一个弧微分,你都可以用那一点的曲率圆的圆弧去近似代替。

    [7] 评论
  • 2017-03-14 20:26 在雨夜

    看数学的文章总让人难过。

    [4] 评论

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全部评论(25)
  • 1楼
    2017-03-14 19:30 q68257962
    引用文章内容:不过这也没那么神秘,想象一下一条由许多圆弧交替拼接组成的河流,就能直觉上理解为何这个数值是π了。

    圆弧?半圆?感觉一个科学的结论被偷换了概念,成了民科的论调。

    [1] 评论
  • 2楼
    2017-03-14 20:26 西泽.贝叶斯
    引用@q68257962 的话:圆弧?半圆?感觉一个科学的结论被偷换了概念,成了民科的论调。

    对于任何光滑曲线的一个弧微分,你都可以用那一点的曲率圆的圆弧去近似代替。

    [7] 评论
  • 3楼
    2017-03-14 20:26 在雨夜

    看数学的文章总让人难过。

    [4] 评论
  • 4楼
    2017-03-14 21:14 国产零零七

    部分内容记得在那里有看过

    ==

    [0] 评论
  • 5楼
    2017-03-14 21:40 西泽.贝叶斯
    比如,利用这个公式可以很容易证明i的i次方是一个实数!

    取对数:=== ()

    所以:

    [10] 评论
  • 6楼
    2017-03-14 23:38 q68257962
    引用@西泽.贝叶斯 的话:对于任何光滑曲线的一个弧微分,你都可以用那一点的曲率圆的圆弧去近似代替。

    然而这样并不能解释(哪怕是不严谨的)河流长度与首尾之间距离之比趋近π。

    [0] 评论
  • 7楼
    2017-03-15 10:35 大头米少
    引用文章内容:原则上高中数学学得好的人是可以看懂它的

    呵呵 (╯‵□′)╯︵ ┴─┴

    [0] 评论
  • 8楼
    2017-03-15 15:47 xml123

    河流长度那个研究不是有人说是用数据强行凑结论吗?

    [0] 评论
  • 9楼
    2017-03-15 15:48 傷口

    似乎有这么一本书《中学数学用表》?白皮的

    [0] 评论
  • 10楼
    2017-03-15 16:00 天降龙虾
    引用文章内容:然而看懂这幅图只能证明你没有朋友

    嗯,看不懂也不能证明一定有朋友。。。所以,朋友是用来躺枪的吗???????

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  • 11楼
    2017-03-15 16:09 一半冰山

    关于圆周率π的歌曲还有初音未来的《圆周率之歌》长版唱到了10000位,时长68分多,有兴趣的可以挑战一下,看这里:http://www.bilibili.com/video/av5693/

    居然还有翻唱版的,看这里:http://www.bilibili.com/video/av1979414/?from=search&seid=839911604883374576

    [1] 评论
  • 12楼
    2017-03-15 20:55 羟酸氢
    引用@q68257962 的话:圆弧?半圆?感觉一个科学的结论被偷换了概念,成了民科的论调。

    同感觉文中的论证有问题


    [0] 评论
  • 13楼
    2017-03-15 20:57 羟酸氢

    那个谱曲的如果不想看广告可以到b站看,http://www.bilibili.com/video/av505157/


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  • 14楼
    2017-03-16 10:12 刘公子是小布尔乔亚

    听起来好神奇

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  • 15楼
    2017-03-16 13:40 疫苗人
    引用@西泽.贝叶斯 的话:证明起来确实不难:假设:π+e 和 πe 都是有理数,那么,根据有理数集对四则运算的封闭性:(π+e)²-2πe=(π+e)(π-e)就是有理数;同理:(π+e)(π-e)÷(π+e)=π-e也是有理...

    (π+e)²-2πe=π²+e², (π+e)(π-e)=π²-e², 这俩如何相等来着?

    应该是(π+e)²-4πe=(π-e)²是有理数, 这么下去证明π和e不是超越数,所以得证。

    另,根号2+1和1-根号2 的和与积都是有理数,但是这俩都不是有理数。

    [1] 评论
  • 16楼
    2017-03-16 14:13 这个昵称没有被人使用
    引用文章内容:原则上高中数学学得好的人是可以看懂它的——如果你真的看懂了,请认真考虑报考数学专业。

    扶额……这个初中老师抄给我过,虽然我不记得过程了,但当时应该是看懂了的……

    [0] 评论
  • 17楼
    2017-03-16 14:19 这个昵称没有被人使用
    引用文章内容:不过这也没那么神秘,想象一下一条由许多圆弧交替拼接组成的河流,就能直觉上理解为何这个数值是π了。

    这个逻辑很成问题啊,为什么我不想象一个科赫雪花曲线呢?
    按理说,根据“海岸线的长度是无穷大”类似的观点,任何河流的长度其实也都是无穷大啊,而从起点到终点的距离一定是有限的,所以这个比例怎么会是有限的?
    我觉得这里边应该是跟科里奥利加速度或者河床本身的结构强度什么的有关系,然后忽略掉细节……

    不过显然不可能像文中说的那么简单的,说句实话与其说是科普,不如说是民科……

    [0] 评论
  • 18楼
    2017-03-16 16:32 白鸦

    - -;那个曲子用的不是十二平均律啊,就是普通的C大调自然音阶+顺阶和弦而已

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  • 19楼
    2017-03-16 20:30 西泽.贝叶斯
    引用@疫苗人 的话:(π+e)²-2πe=π²+e², (π+e)(π-e)=π²-e², 这俩如何相等来着?应该是(π+e)²-4πe=(π-e)²是有理数, 这么下去证明π和e不是超越数,所以得证。另,根号2+1和1...

    谢谢指正,确实证明错了。

    应该是:

    假设:π+e 和 πe 都是有理数,那么,根据有理数集对四则运算的封闭性:(π+e)²-4πe=(π-e)²就是有理数;

    于是:π-e为代数数。

    所以:于是:[(π+e)+(π-e)]÷2=π 也是代数数。但是,π是超越数。

    所以,π+e 和 πe 不可能都是有理数。

    [0] 评论
  • 20楼
    2017-03-16 21:59 字符与标点

    这篇文去年发过一遍 差评


    [0] 评论
  • 21楼
    2017-03-17 15:39 laomao0000

    π+e和πe不可能同时是有理数

    ==================

    证明:假设π+e和πe同时是有理数,

    则可构造二次方程x^2-(π+e)x+πe=0

    这是一个有理数系数的二次方程,可化为整系数的二次方程

    根据初中知识,它的根可以写成整数的加减乘除开二次方形式(此处应有求根公式)

    即π、e是代数数,这与π、e的超越性矛盾!

    证毕

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  • 22楼
    2017-03-17 19:22 morrowindxie

    奇怪,可以证明更强烈的π+е和πе不可能同为代数数,为什么要只限定在有理数呢?

    [0] 评论
  • 23楼
    2017-03-18 11:11 Qjing

    用二进制表示π 舒服好多

    [0] 评论
  • 24楼
    2017-03-20 15:04 天空中的蚂蚁

    我高中数学特别烂 因为我是初中生 还没有学高中数学啊~

    [0] 评论
  • 25楼
    2017-04-02 09:29 huasdun

    所以他能做星际语言,

    [0] 评论

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