买菜、找零、理财、看时钟……生活中处处有数学，我们从小就能处理与数字有关的问题。那么，这种数学本领从何而来呢？
哲学家、数学家勒内•笛卡尔（Rene Descartes, 1596～1690）可能会说：它们生而有之。以笛卡尔为代表的理性主义流派认为：人类最初的知识是不“学”自明的，从学习中获得的知识，要么不准确，要么就会误导人；因此可靠的知识不能来自感觉经验，而只能来自人心固有的天赋观念。
对此，不少心理学家纷纷表示认同。他们认为存在一种天生的数学内核（mathematical core），通过自我慢慢发展，这种数学内核最后会“长”成我们所熟悉的一切数学能力[1]。动物和我们一样，也拥有数学内核。换句话说，只要发展得当，动物们也能“长”出各种各样的数学能力来。
这匹名为“聪明汉斯”的马曾被认为可以做计算，不过后来有心理学家发现它只是在根据出题人的暗示做出反应。图片来源：Wikimedia Commons
长久以来，心理学家都支持“数学天赋论”：数学能力是人类自打娘胎里出来就有的能力。有些研究发现，10～12个月的婴儿已经知道3个黑点和4个黑点是不一样的[2]，甚至有研究还发现，刚出生三四天的小宝宝就已经能辨别2和3的差别[3]。除了咿呀学语的婴儿，大猩猩、老鼠、鸟、猫、海豚、大象等动物也被证明能够处理数学问题[4]。无论是襁褓中的婴儿，还是远离“世俗”的动物，它们都没有机会接触系统的文化和教养，这些证据似乎说明数学能力是一种与感觉经验无关的天赋。
然而，在数学认知领域深耕了二十多年的拉斐尔•努涅斯（Rafael Núñez）教授对此表示反对。
努涅斯是加州大学圣地亚哥分校认知科学系教授，近日他在Cell旗下期刊《认知科学进展》（Trends in Cognitive Sciences）上发表了一篇综述文章[5]，系统地总结了30余年来有关“数学能力起源”的论文。在文中，努涅斯旗帜鲜明地反对“数学天赋论”。他表示，过去之所以将数学能力视为一种不学而能的天赋，是因为混淆了一些与之有关的概念，数学能力没有天赋，只能是文化的产物。
“数学天赋论”为什么是错误的？
人们对数量的识别和辨认，存在两种通路[6]。一种被心理学家称为“数感”（subitizing），它能在一眨眼之间（通常小于100毫秒）就完成计数任务，而且正确率接近满分。但是数感的容量有限，一般只能存在1～4个数量。一旦超过4个数量，就该另一种通路“大数表征”（large quantity discrimination）发挥作用了。虽然大数表征的容量无限，但它的计数能力非常糟糕，不仅慢而且不准确。
举个例子，在下图第一排中，我们一眼就能看出每个方框中各有多少黑点，这是数感作用的结果；然而，第二排就很难一眼看出来了，如果硬要用眼睛看的话，那么我们只能得到一个近似的答案，这就是大数表征。
第一排可以利用数感一眼就看出黑点的个数，分别为2、4、3、1；第二排则没有办法一眼看出，只能慢一点儿数清楚，分别为6、5、8、7。作者制图
通过总结，努涅斯教授列举了数学天赋论的三大问题。
首先，数学天赋论带有明显的目的论（teleology）色彩。所谓目的论是指，对现象的解释是依据它的用处，而不管它的内在形成过程是什么样。比如说，目的论认为人之所以有眼睛。是因为人要看东西，而不是因为有了眼睛所以人才能看见东西。数学天赋论对数学能力的解释正是如此：因为数学在生活中能提高人和动物的生存优势，所以大自然才选择了它。但是，作为数学能力生物前提的数感和大数表征，并不能单独形成完备的数学能力，后者必须在语言、符号等文化因素的“催化”下才能实现。努涅斯用滑雪运动做了一个类比，身体平衡和直立行走能力都是滑雪的生物前提，但不能因为身体平衡和直立行走是自然选择的产物，我们就说滑雪技术也是一种天生的本领。
其次，数学天赋论忽视了原始社会居民的情况。目前的研究大多是以现代社会居民作为被试（特别是大学生），他们在实验中展现出了丰富多彩的数学能力。然而，原始社会居民的数学能力却十分匮乏。不像现代人的数学系统能表示10个以上数量（比如中文能数到10，英语能数到12），绝大多数的原始部落居民只能表示5以下的数量，更有一些部落的数学系统中只有1和2。这就说明，离开了现代社会这个大环境，人类的数学能力还仅仅停留在最原始的水平上。因此，原始社会中所缺少的文化因素，一定是数学能力发展的必要条件。
最后，努涅斯认为当前动物研究的结果也存在过度推广。那些能在实验中展示数学才能的动物们，都接受过特别的训练。努涅斯在文中就列举了一项研究，为了学会识别简单的数字，猴子们学习了近四个月，尝试了20000余次，即使这样，它们的准确率也只能达到75%。而且，实验室环境也经过了精心布置，有很多细节都有利于动物们表现数字能力。然而，大自然中的动物从来没有接受过训练，它们的生活环境也没有任何人为因素。因此，实验室中的动物在多大程度上能代表全体动物们呢？这要打上一个问号。或许我们只能说，实验室中的动物才具有数学能力。
这只黑猩猩记忆数字的能力甚至超过人类，不过很难说它有没有数学能力。图片来源：Tetsuro Matsuzawa
数量能力不同于数学能力
努涅斯表示，心理学家过去对于“数学来源于天赋”的误判，可能与他们滥用名词有关。努涅斯特别强调了“数量”（quantitative）与“数字”（numerical）的不同，前者指简单地感知到不同数量之间存在区别，而后者则是借用符号进行更为抽象的运算。
说白了，心理学家所认为的我们与动物共有的数学能力，应该叫做“数量能力”，它是一种更接近知觉层面的现象，就像我们能感知物体的大小、颜色、方向一样。努涅斯认为，心理学家将这种知觉现象混淆成了数学能力，他们经常引用的证据，说婴儿和动物也能区分不同数量，这其实是一种天生的知觉现象，与数学无关。因此，能够区分“少”和“多”之间的差异，并不能说是掌握了数学能力。只有在经过语言和符号的转化后，这种知觉现象才能进一步发展为我们现在称之为数学的那种能力。
在努涅斯看来，分得清3个苹果比1个苹果多，并不能等同于数学能力。图片来源：123rf.com.cn正版图片库
争论还在继续
“数学能力是文化的产物”，努涅斯的观点一经发出便引起了争议。同一期的期刊上还刊登了德国图宾根大学动物心理学家安德里亚斯•尼德（Andreas Nieder）的反驳短文[7]，他认为数学是大脑的产物，而大脑的生长模式早已由基因“预设”，因此数学只能是天生的。虽然大脑有可塑性——大脑随环境变化而发生改变，但尼德认为这种可塑性的影响微乎其微，因此文化对数学并没有多少干涉能力。
这两位同行之间的争论还在继续，但无论数学能力是先天还是后天的产物，该学的数学还是要学啊！（编辑：odette）
参考文献
- Wynn, K. (1998).An evolved capacity for number. In The Evolution of Mind (Cummins, D.D. and Allen, C., eds), pp. 107–126, Oxford University Press.
- Antell, S. E., & Keating, D. P. (1983). Perception of numerical invariance in neonates. Child Dev, 54(3), 695-701.
- Strauss, M.S. and Curtis, L.E. (1981) Infant perception of numerosity. Child Dev. 52, 1146–1152.
- 杨伟星, 张明亮, 李红霞, 杨雅琳, &司继伟. (2017). 人类基本数学能力的进化证据. 心理科学进展, 25(5), 810-824.
- Núñez, R. E. (2017). Is there really an evolved capacity for number?. Trends in Cognitive Sciences, 21(6).
- Mandler, G., &Shebo, B. J. (1982). Subitizing: an analysis of its component processes. Journal of Experimental Psychology General,111(1), 1-22.
- Nieder, A. (2017). Number faculty is rooted in our biological heritage. Trends in Cognitive Sciences, 21(6), 403–404.