当我们怀着对某件事情非常强烈的期望，我们所期望的事物就会出现。
——皮格马利翁效应
埃及分数的故事
有一则现代故事，说的是一位富有的阿拉伯酋长，临终时他宣布把11辆豪华汽车赠送给自己的3个女儿。他要求把二分之一送给长女，四分之一送给老二，六分之一送给小女。问题出现了，如何在不砸碎汽车的情况下，将它们严格按酋长的遗嘱分给他的3个女儿？
最后，还是一位汽车经销商出面帮了忙，才解决了这个难题。这位经销商无偿提供了一辆汽车，这样一来，一共有12辆汽车，3个女儿按遗嘱分别获赠6辆、3辆和2辆汽车。当她们把自己分得的汽车开走以后，还剩下1辆，自然归还了经销商。也就是说，他既做了人情，又没有任何付出。
这则典故实际上提出了这样一个数学问题，如何把有理数
分解成3个单位分数之和。所谓单位分数又称埃及分数（Egyptian fraction），是指分子为1的正分数，这是古代埃及人最常用的分数，被视作“神灵的眼睛”，埃及人甚至利用它来做乘除计算。言下之意，问题变成了
埃及分数：神灵的眼睛。图片来源：Wikipedia，Eye of Horus词条
上述有关汽车的分配问题相当于n = 11的求解，其中n是酋长留下的汽车数量。答案是，（x，y，z）=（2，4，6）。
一般的埃及分数问题是指，如何将一个有理数表示为若干单位分数之和。也就是说，给定互素的正整数m，n，求解
结论是肯定的，也就是说，任给互素的m和n，这样的k和xi一定存在。一些未解决的著名问题在于指定的特殊值上。
例如，取m = 4, k = 3。1948年，匈牙利数学家爱多士和德国出生的美国数学家、爱因斯坦的助手斯特劳斯猜测，对于任何n>1，方程
恒有解。
美国出生的英国数学家莫德尔证明了，当n-1不是24的倍数时，猜想成立。1982年，一位杨姓（Xunqiang Yang）的中国数论学者证明，如果n，n+1，n+4或4n+1之一含有模4余3的因子，猜想便成立。由此易知，这个猜想对几乎所有的n成立。迄今为止，人们已验证当n≤1014时猜想正确。
又若取 m = 5，k = 3。1956年，波兰数学家席宾斯基猜测，对于任何 n>1，方程
恒有解。
1966年，斯图尔特验证了n≤109时猜想正确。同时他还证明了，当n-1不是278468的倍数时，猜想成立。可是，我们仍不知是否对所有的n或几乎所有的n猜想成立。
上述两个猜想至今未获得证明或否定，包括菲尔兹奖得主、华裔澳大利亚数学家陶哲轩在内的名家都研究过这个问题，依然无法解决。
狄多女王的水牛皮
与埃及同处地中海南岸的突尼斯是古代迦太基人的居住地。迦太基与地中海东岸的腓尼基（今黎巴嫩）是介于四大文明古国与希腊之间兴起的两大文明，她的建国者叫狄多（Dido）女王。16世纪的英国剧作家马洛为她写过一出戏《狄多的悲剧》，1792年，伦敦上演了依据古罗马诗人维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》改编的三幕歌剧《迦太基女王》。甚至，一位1971年出生的英国流行音乐天后也给自己取名狄多，她曾多次获得英国年度最佳女歌手称号。
有趣的是，有一个数学分支的起源与狄多女王有关。根据希腊传说，初到迦太基的狄多女王得到了一张水牛皮，原住民只给她与牛皮一样大小的立足之地。聪明的女王命随从把它切成一根根细长的皮条，圈出最大的面积，结果得到半个圆。如果是在内陆平原，这个结论当然是错误的，因为用同样长度来画一个圆，圈定的面积一定要比半圆要大许多。关于这一点，读者只要计算圆面积和周长，便可予以证明。
这便是变分法的起源故事，这个故事的另一个版本是这样说的，地中海塞浦路斯岛（如今一个国家，两个地区分治）的岛主狄多女王在丈夫被她的哥哥皮格玛利翁杀死后，带着随从向西逃亡到了非洲海岸，从当地一位酋长手中购买了一块土地，在那里建立起迦太基城。这块土地是这样划定的，一个人在一天内犁出的沟能圈起多大的面积，这个城就可以建多大。
笔者曾实地踏访，在游历了包括开罗金字塔、斯芬克斯和亚历山大图书馆遗址等在内的古埃及文明以后，也来到了邻近的突尼斯，发现迦太基古城建在地中海滨，那里离开现在的首都突尼斯城有一段距离。从博物馆内所绘的地形图来看，古城的形状的确接近于半圆。
迦太基古城。摄影：蔡天新 于突尼斯
自从牛顿和莱布尼兹发明了微积分以后，自身不断发展、严格、完善，并向多元演变，在函数概念深化的同时，又被迅速而广泛地应用到其他领域，形成了一些新的数学分支，甚至渗透到人文和社会科学。这其中的一个显著现象是，数学与力学的关系比以往任何时候都要密切，那个时期的数学家也大多是力学家，正如古代东西方有许多数学家也是天文学家一样。
这些新兴的数学分支有常微分方程、偏微分方程、变分法，以及微分几何和代数方程论等。在众多数学家的共同努力下，通过这些诸分支的建立，加上微积分学这个主体，形成了被称为“分析学”的数学领域，它与代数学、几何学并列成为近代数学的三大学科，其繁荣程度甚至后来居上。
相比其他数学分支，变分法不仅诞生更富戏剧性，且译名听起来不像是一门分支学科，它的原意是“变量的微积分”。变分法是研究函数的变量的数学，而普通微积分是处理数的变量的。如今它的应用范围极广，从肥皂泡膜到相对论，从测地线到极小曲面，以及等周问题，后者也包括狄多女王的极大面积问题。
除了狄多女王的圈地问题以外，最速降线问题也非常有趣，即求出既不在同一平面也不在同一垂线的两点之间的曲线，使质点仅在重力作用之下最快速地从一点滑到另一点。这个问题最初是由意大利物理学家伽利略于1630年提出来的，他错误地认为答案是圆弧。1696年，瑞士数学家约翰·贝努利再度提出并公开征答，吸引了全欧洲的大数学家，包括牛顿、莱布尼茨和约翰的哥哥雅各布都来参与。
最速降线可以归结为求一类特殊函数的极值问题，正确答案是摆线，又称旋轮线。它是这样定义的：一个圆沿一条直线滚动，圆上某一固定点所经过的轨迹称为摆线。它的外形有点像圆弧或抛物线的一部分，难怪伽利略这样的大家也会犯错。
托尔斯泰的小说
狄多女王和皮格马利翁这对姐弟各自的爱情故事曲折动人，被罗马诗人维吉尔和奥维德先后写进他们的诗歌中。在维吉尔的史诗里，狄多在迦太基遇见并爱上了特洛伊王子、罗马城的创建者埃涅阿斯纪。女巫姐妹为了破坏他们的爱情，欺骗他离开迦太基去完成一项使命，结果狄多误以为自己被情人背叛，自刎而死。1689年，英国作曲家普赛尔曾写过一出歌剧《狄多与埃涅阿斯纪》。
梵蒂冈藏画《迪多之死》。图片来源：Wikipedia，Énéide词条
依照希腊神话，皮格马利翁是钟情于爱神阿芙洛狄忒雕像的塞浦路斯国王。他因此不喜欢凡间女子，决定永不结婚。而在奥维德的《变形记》里，皮格马利翁却成为一个雕刻家，他以神奇的技艺用象牙雕刻了一尊美丽无比的少女像，在夜以继日的工作中，他把自己全部的精力、热情和爱恋都赋予了这尊雕像。
皮格马利翁像对待爱人和妻子那样抚爱她，装扮她，为她起名加拉泰亚，并向神乞求让她成为自己的妻子。阿芙洛狄忒得知以后，被他的真诚打动，赐予雕像生命，并让他们结为夫妻。英国画家透纳画过《狄多建设迦太基》，法国雕塑家罗丹、爱尔兰剧作家萧伯纳等都塑造过皮格马利翁，电影《窈窕淑女》则表达了所谓的“皮格马利翁效应”主题，即当我们怀着对某件事情非常强烈的期望，我们所期望的事物就会出现。
油画《皮格马利翁》。图片来源：Wikipedia，Jean-Baptiste Regnault词条
皮格马利翁效应在学校教育中表现得非常明显。受老师喜爱或关注的学生，一段时间内学习成绩或其他方面都会有很大进步，而受老师漠视甚至歧视的学生则有可能从此一蹶不振。在企业管理方面，一些精明的管理者也懂得利用“皮格马利翁效应”激发员工的斗志，从而创造出更大的经济效益。这方面，通用电气CEO韦尔奇、钢铁大王卡内基、有着“经营之神”美誉的松下幸之助均有成功的实例。
而狄多女王圈地的故事，也曾激发俄国大文豪列夫·托尔斯泰的灵感，他是一位数学爱好者，喜欢将数学问题融入文学创作。他写过一篇题为《一个人需要很多土地吗？》的小说，托尔斯泰巧妙地运用数学知识，对贪婪的主人公进行了绝妙的讽刺。读到最后，还能感受到一丝悲剧的氛围。
小说的主人公叫巴河姆，他遇到一个奇特的卖地者：不论是谁，只要交1000卢布，就可以在草原上，从日出出发，走到太阳落山，只要在天黑之前回到出发点，那么他走过路线所围住的土地，就都属于他；而如果没回到出发点，那么他一点土地也得不到，1000卢布就算打了水漂。
巴河姆交了1000卢布以后，天一亮就开始大步行走。他先沿一条直线走了10俄里，然后左拐弯90度，又走了相当一段距离，再次向左拐弯90度，走了2俄里。这时他发现天色已不早，于是向着出发点狂奔起来，跑了15俄里之后，他终于赶在日落时分踩上了出发点。这时候，只见巴河姆双腿一软，栽倒在地，口吐鲜血，一命呜呼了。
小说实际上出了一道并不难的几何题：巴河姆走的路线构成了一个上底为2、下底为10、斜腰为15（单位均为俄里）的直角梯形，这个梯形的周长是多少？面积又是多大呢？学过勾股定理的读者应该会算梯形的高和面积。结果呢：如果巴河姆活着，他可以得到约86.72平方公里（约合13万亩）的土地！这就是贪婪者的下场。
有趣的是，如果我们计算一下这个直角梯形的周长，会得到39.7俄里的结果，而按照俄里与公里的换算比率，这个距离恰好是42.195公里！这正是一个马拉松的距离！当年那个希腊士兵在他们战胜波斯帝国的军队以后，从马拉松跑回雅典报捷，结果喊了一声“我们胜利了！”然后就倒地累死了，现在巴河姆也是跑了这样一个距离后累死。
看来托尔斯泰不仅巧妙构思，且数学修养不赖。如果巴河姆不跑直角梯形，而是用别的什么路线，应该可以少走很多路而得到同样大小的土地。这就是狄多女王面临的变分法问题，答案是圆。类似的还有，用什么形状的容器可以容纳尽可能多的液体或气体？答案是球。还有，如果巴河姆当初走的是一个圆，那么圈住13万亩土地只需要走33公里左右，那样的话他可能就不会累死。（编辑：婉珺）