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辛普森悖论：诡异的男女比例

eaglefantasy 2011-01-30 19:54:16

某大学每个专业的男女比例都比另一个大学高，但总的男女比例却比后者低。这种情况真的可能发生吗？这就是传说中的辛普森悖论。

大学的男女比例问题一直是广大宅男同胞所关心的重大问题，也是高中同学聚会时必然谈起的话题，对于选择大学来说，这也是一项重要指标。

一天，我拿出两个大学（P 大和 T 大）的统计数据开始研究。“物理学院，P 大男女比例大于 T 大；数学科学学院，P 大男女比例又是大于 T 大⋯⋯哇，怎么所有专业 P 大的男女比例都高于 T 大啊⋯⋯那还犹豫什么呢，我肯定报 T 大了！”正当我刚刚心意已定的时候，突然看到了统计数据的最后一行：P 大的总体男女比例低于 T 大！“什么？！有没有搞错？怎么可能 P 大的所有专业男女比例都高于 T 大，但是整体男女比例却低于 T 大了呢？！肯定是哪里算错了吧⋯⋯”于是我拿出计算器狂敲，却发现没有任何一个计算错了的数据。这种情况真的可能发生吗？

统计数据不说谎

多说无益，请看下面编造出来的一份男女比例数据（其中假设两所大学都只有物院和外院两个专业）：

物院的数据：

  男生人数 女生人数 男:女
P大 45 8 5.6:1（大）
T大 101 51 2.0:1

外院的数据：

  男生人数 女生人数 男:女
P大 50 201 0.25:1（大）
T大 9 92 0.10:1

学校整体数据（即上述两个专业人数之和）：

  男生人数 女生人数 男:女
P大 95 209 0.45:1
T大 110 143 0.77:1（大！）

数据可不会是骗人的，不信可以自己动手验算一下，真的出现了这种违背常理的情况！这种现象被称为“辛普森悖论”。虽然这么叫，但其实这不是个真正的悖论，它内部没有包含逻辑上的矛盾，只是有些违背人们的常理罢了。

辛普森悖论的直观认识

可能有些人还是一头雾水，虽然数据是如此没错，可还是不能理解到底发生了什么使得结论如此古怪。让你构造一个类似的数据，恐怕你也很难直接想得出来吧！人们对几何图形的想象能力总是高于对数字和字母的想象，因此为了更直观地表现出辛普森悖论，我们看下面一幅向量图：

http://guokr.com/gkimage/1x/r0/gm/1xr0gm.png

图中，黑色的线代表 P 大数据，红色的线代表 T 大的数据。A p 点的横坐标为 P 大外院女生人数，纵坐标为 P 大外院男生人数；B p 点的横纵坐标则分别为 P 大总女生人数和总男生人数。A t 和 B t 点的意义与之相对应。

设坐标原点为 O，则 OA p 的斜率表示的就是 P 大外院的男女比例，A p B p 表示的是 P 大物院的男女比例，OB p 表示的则是 P 大总男女比例；T 大的各线段斜率意义与之对应。

如此一来，一切都变得清晰起来了。辛普森悖论反映在这张图上，就成了一个显然的事实：在 P 大的外院、物院两个向量的斜率分别大于 T 大的两个向量的斜率的条件下，总人数向量的斜率当然不一定哪个大呀！根据这个直观的理解，你也可以随意编造能产生辛普森悖论的数据了吧！

知道了辛普森悖论这一事实之后，我们以后对待统计数据就要更加小心了。在数学中，经常会出现这种出乎人们意料的惊人事实，所以还是一定要学好数学啊！

本文版权属于果壳网（guokr.com），转载请注明出处。商业使用请联系果壳网。

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推荐  134 发表评论

83条评论

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  • 1楼
    2011-01-30 20:27:19 叉布點又
    很有意思的
    引用
  • 2楼
    2011-01-30 20:48:34 283256165
    好东西 不能只看比例的
    引用
  • 3楼
    2011-01-30 20:53:27 danco
    只是人们默认在男生比女生多的情况下考虑..
    引用
  • 4楼
    2011-01-30 20:55:09 冰锋
    T大表示可以去P大寻找平衡~
    引用
  • 5楼
    2011-01-30 21:16:34 马三
    人多的学院要加权呀。
    引用
  • 6楼
    2011-01-30 21:24:49 阿滋猫
    加权+1
    引用
  • 7楼
    2011-01-30 21:34:41 Maigo 语言爱好者 ψ
    图画成平行四边形更好，更方便比较物院的斜率
    引用
  • 8楼
    2011-01-30 21:41:22 Jay.f
    话说 一开始那个想法只是人的常识给的误导吧
    仔细想想就知道不是这么回事
    引用
  • 9楼
    2011-01-30 22:20:14 周璁 Theo
    游戏玩多了的人根本不会有这种谬误
    引用
  • 10楼
    2011-01-30 23:22:20 记事本
    个人也认同，一看到标题就感觉出个大概了，只不过要换成准确数字就懒得想了，啊，不过游戏也要看种类的，有些游戏个人认为还是会越玩越白痴，老玩家们都是很挑剔的~~
    引用 周璁 Theo 的回应：游戏玩多了的人根本不会有这种谬误

    引用
  • 11楼
    2011-01-31 09:05:14 Ternshare
    引用 记事本 的回应：个人也认同，一看到标题就感觉出个大概了，只不过要换成准确数字就懒得想了，啊，不过游戏也要看种类的，有些游戏个人认为还是会越玩越白痴，老玩家们都是很挑剔的~~引用 周璁 Theo 的回应：游戏玩多了的人......

    越玩越白痴的游戏，我立即联想到腾讯的种种网页游戏。
    引用
  • 12楼
    2011-01-31 10:07:38 Ankolhol
    引用 Ternshare 的回应：引用 记事本 的回应：个人也认同，一看到标题就感觉出个大概了，只不过要换成准确数字就懒得想了，啊，不过游戏也要看种类的，有些游戏个人认为还是会越玩越白痴，老玩家们都是很挑剔的~~引用 周璁 Theo ......


    加亮加粗
    引用
  • 13楼
    2011-01-31 11:18:01 Raymond
    这个 物院和外院的举例太经典了 = =哭

    作为一个外院法语男很有压力。
    引用
  • 14楼
    2011-01-31 12:22:28 Shaundakul 帝国理工化学工程硕士、黏... ψ
    Peking University?
    Tsinghua University?
    引用
  • 15楼
    2011-01-31 13:13:48 Frederick
    如果是头一次遇到的话，还是有可能出现惯性思维的。
    引用
  • 16楼
    2011-01-31 14:38:29 ReGulusY
    质量比数量更重要
    引用
  • 17楼
    2011-01-31 16:31:13 蕾拉
    ~顶一个，做统计的确需要小心才行
    引用
  • 18楼
    2011-01-31 17:25:35 HalDai
    哈哈 P大和T大是映射到 Peking U和Tsinghua U么～
    引用
  • 19楼
    2011-01-31 18:00:43 光子男
    啊！我被骗了！！
    引用
  • 20楼
    2011-01-31 18:44:34 严酷的魔王 统计学专业本科生，数学控 ψ
    赞一个向量法～～！
    引用
  • 21楼
    2011-01-31 20:04:09 喷菇头
    向量给出的解释很赞~~~好方法！！
    引用
  • 22楼
    2011-01-31 21:17:06 无故伤感
    什么呀 各院的比例不同啊 大于1的加上小于1的 结果本来就是不定的嘛
    引用
  • 23楼
    2011-01-31 21:40:25 阳光的倒影
    引用 Shaundakul 的回应：Peking University?Tsinghua University?


    人才~~~~
    引用
  • 24楼
    2011-02-01 09:27:04 追风的窝牛
    用图像的想法来比较…很赞
    引用
  • 25楼
    2011-02-01 10:42:18 shellia11
    向量法大赞
    引用
  • 26楼
    2011-02-01 11:08:09 鱼遨游天空
    看了开头就明白了，原来自己是掉进陷阱了，和数学好不好哪儿有什么关系。
    先入为主地以为 “P的男女比>T的男女比” 有 “两个专业都是男生比女生多” 的条件了……囧
    引用
  • 27楼
    2011-02-01 15:29:46 snowhawkyrf 分子遗传硕士 ψ
    果然是看图更容易理解呀
    引用
  • 28楼
    2011-02-01 16:20:03 ukimlee
    数学啊……晕啊。仿佛回到了让我纠结不已的高中时代了！
    引用
  • 29楼
    2011-02-01 17:50:26 思宇小猫
    这图太屌啦
    引用
  • 30楼
    2011-02-01 21:04:03 雨盟依萧
    ZJU外院女作壁上观
    引用
  • 31楼
    2011-02-02 20:44:56 piscessun
    什么破数学、智商有问题吧
    引用
  • 32楼
    2011-02-03 21:53:12 糖醋鱼
    厉害~
    引用
  • 33楼
    2011-02-04 02:44:23 族旅
    比例不重要，重要的是女生人数~！！！
    引用
  • 34楼
    2011-02-04 14:05:23 小名地
    这个就是数量的差别导致的嘛，
    关键在于它的比例是肯定低于1：1的，都只能在1之下变化。
    引用
  • 35楼
    2011-02-04 16:08:04 Entropy
    不错
    引用
  • 36楼
    2011-02-04 23:58:22 flish
    数学科学学院。。。
    引用
  • 37楼
    2011-02-07 00:06:42 碧咸
    美帝的选举人票制度，貌似也有类似问题，不过，在那里就是一个bug了
    引用
  • 38楼
    2011-02-07 00:07:37 碧咸
    引用 Shaundakul 的回应：Peking University?
    Tsinghua University?

    -------------------
    第一眼就是这感觉
    引用
  • 39楼
    2011-02-07 02:56:18 harffee
    恩。。。。。可是当P大物院男生人数大于104.615384..........时，似乎就不成立了哎????
    引用
  • 40楼
    2011-02-07 22:38:33 berry
    向量法果真易懂啊
    引用
  • 41楼
    2011-02-09 23:48:47 老猪
    作为一个数学脑残儿 你们尽情鄙视我吧
    引用
  • 42楼
    2011-02-11 14:33:57 compmanwu
    让我想起了经济学中的比较优势
    引用
  • 43楼
    2011-02-12 14:26:57 modo
    额额~P我倒是想到了PEKING，但T原来是清华啊~
    引用
  • 44楼
    2011-02-12 15:28:18 给力Ray
    加权+2011
    引用
  • 45楼
    2011-02-12 16:51:02 hibaygi
    正解！！
    引用 danco 的回应：只是人们默认在男生比女生多的情况下考虑..

    引用
  • 46楼
    2011-02-13 15:18:26 mariesue
    选票计算 分区选举和总的加起来结果不一样
    引用
  • 47楼
    2011-02-14 17:19:44 Stewart.小羽
    1.P=Peiking T=Tsinghua?
    2.如果拿机械学院抽样的话，一定会得到斜率接近0.5π的直线
    引用
  • 48楼
    2011-02-16 12:44:29 hunterkiller
    引用 danco 的回应：只是人们默认在男生比女生多的情况下考虑..



    即使默认男生比女生多，也会出现这个悖论的...
    引用
  • 49楼
    2011-02-16 18:49:14 zdy
    赞一个
    引用
  • 50楼
    2011-02-16 21:54:54 机器岛
    局部比例和总体比例本来就应该没有什么关系的吧，一个比例作为输出就是一组数据的结果了，应该不能再作为输入了。
    引用

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