数学

厕所里的武士刀,你挥得动吗?

挂谷问题(Kakeya needle problem),如何在厕所里挥动武士刀?

Ryne_exp618 发表于  2011-10-20 20:35

假设你是一个刀不离身的日本武士,有次你去上厕所,很不幸被一群流氓堵在里面,他们要围攻你,你想拔刀应战。但这时候请注意,你是在空间狭小的厕所里,作为一名死理性派,你不禁会想:刀能拔出来吗?拔出来能挥得过去吗?万一挥刀过程中,刀碰到墙壁或者隔板被挡住了,那岂不是太悲剧?

拔还是不拔,这无疑是一个数学问题:长度为 1 的线段在平面上做刚体移动(转动和平移),转过 180°并回到原位置,扫过的最小面积是多少?

实际上这也真的是一个数学问题。在 1917 年,在由日本数学家挂谷宗一提出后,过了几十年才找到最终的答案。这个问题后来也被命名为挂谷问题(Kakeya needle problem)。

正常人都能想到的方法

不妨让我们首先来想想,怎样让线段在平面上划过180°。多数人的第一反应是让线段绕着一端旋转 180° 即半圈的情形。很显然,线段扫过的面积是 π/2 。

http://img1.guokr.com/gkimage/gi/wj/2m/giwj2m.png

当然,这是很差的一种设计。如果把定点放在线段中点,让线段绕中点旋转180°,情况就会好很多,这是线段扫过的面积为π/4。

http://img1.guokr.com/gkimage/8p/nu/yt/8pnuyt.png

数学家的研究

数学家们肯定不会考虑上述这些几乎没有技术含量的东西。在挂谷宗一提出这个问题后,有数学家发现,若这个线段在正三角形(高为 1,边长为 2/√3 )中每一顶点处都旋转 60°,可以算出这种情况下,线段扫过面积为 1/√3。

http://img1.guokr.com/gkimage/3w/et/oc/3wetoc.png

而挂谷宗一本人想到的是借助三尖内摆线。所谓内摆线,就是一个小圆在和一个固定的大圆内切地滚动时,圆上一点的轨迹:

http://img1.guokr.com/gkimage/qk/wl/et/qkwlet.png

当小圆直径为 1/2 ,大圆直径为 3/2 时,在三尖内摆线内去任意一条长为定值 1 的切线,让此切线按在像上述的正三角形内的运动方式旋转,这时线段在旋转时始终与内摆线相切,它的两端也在内摆线上。如下图,黑点为切点,红点为线段中点:

http://img1.guokr.com/gkimage/4c/ae/if/4caeif.png

计算表明,这种情况下线段扫过的面积是 π/8 。挂谷本人及其他许多数学家都认为这就是最小面积了。

最终的答案

但事情还远远没结束。

1925年美国数学家G. D.伯克霍夫特别在著作中提到挂谷问题。后来,长度为 1 的线段可在点集中转过180°,那这样的点集被称为挂谷集。这样就把挂谷问题转化为了求面积最小的挂谷集。

1920 年前苏联数学家贝西科维奇(A.S.Besicovitch)在自己的研究领域提出一个类似的问题:是否存在一个面积(若尔当测度)为 0 的平面点集,它在每一方向上都有长度1的线度? 1928 年别西科维奇解决了自己的问题,即构造出面积任意小的平面点集(贝西科维奇集),在每一方向上都有长度 1 的线段。

贝西科维奇用了一种构造性的证明方法。想象一个高为1的等边三角形,把它平分,再把两个直角三角形稍微叠在一起,如图。这个新图形面积比三角形小,但是在其中,属于 [-120°,-60°] 的每个角都能找出边长 ≥1 的线段。

http://img1.guokr.com/gkimage/6t/bv/r0/6tbvr0.png

现在重新开始,把三角形平均分为 8 个,把它们两两叠在一起,再两两叠在一起,这种图形就叫做 Perron树。如果我们重复这个步骤,把三角形分为 16 个、32 个、……、 2 n 个,显然整个图形的面积可以越来越小,并且可以证明图形面积无限趋近于0。

把 3 个Perron树分别旋转 0°,120°,240° 并叠在一起,可以看到,最后的图形在每个角上都有边长 ≥1 的线段,这也就是说它是一个贝西科维奇集,并且面积任意小。

事实上,这是一个和挂谷集问题类似的问题。贝西科维奇本人将这两个问题称为孪生问题。匈牙利数学家鲍尔(Pál)曾经证明了能够把一条单位长线段连续地从一条直线移动到另一条直线,并且扫过的面积任意小。借助这个鲍尔的贡献,贝西科维奇刚才构造的贝西科维奇集化为我们想要的挂谷集,成功地解决了挂谷问题。最后的结果像这样:

http://img1.guokr.com/gkimage/kc/c8/3m/kcc83m.png

他的结论出乎绝大多数人的意料:短棒扫过的面积可以任意地小(因而没有最小值)。在德国数学家佩龙在 1928 年和另一位数学家舍恩伯格在 1962 年两度化简后,这个问题成为了数学中的经典例子。

但是,这并不完美,因为如此构造出的挂谷集不是单联通的(他们得到的挂谷集有很多洞)。1965 年沃克(R. J. Walker)首先找到比挂谷本人解答的面积更小的单连通域挂谷集。同年布洛姆、舍恩伯格和坎宁安(F.Cunningham)先后造出面积为 (5 - 2√2)π/24 的单连通挂谷集。这个面积被命名为 Bloom-Schoenberg number。 1971 年坎宁安终于在单位圆内作出面积可以任意小的单连通挂谷集,完全解决了单连通性和有界性两方面的问题。同时,他证明了如果限于星形(即图形内存在一点,连接它与图形中任一点的线段整个在图形中),则挂谷集的面积不小于 π/108。

在此之后,挂谷问题又有了多种形式的推广,比如 1971 年戴维斯(R.O.Davies)证明了一条半径为 1 的圆弧转过,扫过的面积不能任意小。此外,将线段改为宽度很小的长方形这类问题也开始有人研究。

不过,回到最初那个问题上来,死理性派相信,如果哪个武士真不幸被堵在厕所里,恐怕就不是能否拨出武士刀、挥不挥得动的问题,而是他自己拔刀之前会不会已经头晕了的问题……

 
没想到数学家上个厕所也能搞出这么大的名堂。不过话说我当年也是在上厕所的时候,才对二次函数产生了浓厚的兴趣。
 

本文转载自 Exp618:My Blog 。有改动。

热门评论

  • 2011-10-27 08:28 再见月夜

    居合练习者表示数学家们很显然是极其缺乏实战经验的,尤其是这类在熏死人的野外便所Gank里的实战经验。

    1. 数学家们没有考虑厕所的高度,居合里有一种以接近直立的角度,向上拔刀然后做左或者右袈裟斩的方法。

    2. 在破门的情况下,更多的武士会使用当技,即用刀柄撞击对方拔刀手或者颜面,阻止对方拔刀或者争取距离。

    3. 在未破门的情况下,可以利用厕所四面的墙壁进行掩护,高速顶开厕所门板,用突刺技突围,或者干脆就不出去,一个接一个地斩杀要进来的对手,大大减少同时面对多人的可能。

    4. 在软性墙壁的情况下(例如草席墙壁),保持低姿势,放缓呼吸(防止缺氧),防止多名敌人用突刺同时进行便所gank,在斩击第一名敌人腿部或使其缴械之后,用其当作人体盾牌,冲撞突围。

    5. 在硬性墙壁的情况下(常见水泥或者砖木结构),处理方法同3.

    综上所述,没有人会在厕所里使用水平斩击这样显而易见的不可能招数。这是一个显而易不成立的伪命题。口桀口桀口桀口桀……

    [120] 评论
  • 2011-10-20 20:42 烨仔肥 动漫控

    嗯,不懂数学的我,表示看过《银魂》,银桑冲出厕所的时候已经举起刀来了。

    [10] 评论
  • 2011-10-20 20:54 烧鸡X 给水排水专业

    突然想起有集科普节目是讲秦始皇嬴政手里的那把天下第一的剑的...好像叫天问什么的...说他当年被荆轲刺的时候是打算抽出那把剑还击的...结果因为剑太长了...他当时又是配在背上...被荆轲追着抽了两次才抽出来...我现在还记得那个颇有喜感的现场重演呢...

    [7] 评论

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全部评论(219)
  • 1楼
    2011-10-20 20:42 烨仔肥 动漫控

    嗯,不懂数学的我,表示看过《银魂》,银桑冲出厕所的时候已经举起刀来了。

    [10] 评论
  • 2楼
    2011-10-20 20:46 烧鸡X 给水排水专业

    我已经无聊到在果壳里玩抢凳子抢上瘾了...

    [1] 评论
  • 3楼
    2011-10-20 20:54 烧鸡X 给水排水专业

    突然想起有集科普节目是讲秦始皇嬴政手里的那把天下第一的剑的...好像叫天问什么的...说他当年被荆轲刺的时候是打算抽出那把剑还击的...结果因为剑太长了...他当时又是配在背上...被荆轲追着抽了两次才抽出来...我现在还记得那个颇有喜感的现场重演呢...

    [7] 评论
  • 4楼
    2011-10-20 20:54 张从

    还是没明白怎么拔刀。。。。。。。。。

    [0] 评论
  • 5楼
    2011-10-20 20:56 馒头老妖 有机化学博士,法学学士

    当年荆轲企图刺杀秦王,秦王拔剑也费了好大力气,因此这个课题还是有意义的。

    [0] 评论
  • 6楼
    2011-10-20 21:00 Sheldon 理论物理博士,科学松鼠会成员

    开头很吸引人

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  • 7楼
    2011-10-20 21:08 Seraphla

    = =死理性派越来越带感了0 0

    [1] 评论
  • 8楼
    2011-10-20 21:08 曹小喵回来了 科幻迷,天文爱好者,地质学研究生

    【乱入】散落吧,千本樱。

    [3] 评论
  • 9楼
    2011-10-20 21:17 Puriney

    【乱入二次】吭景·千本桜景厳

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  • 10楼
    2011-10-20 21:30 散人 飞面神教泛面宗信徒

    拔肋差啊!

    [0] 评论
  • 11楼
    2011-10-20 21:33 famorby 动物遗传硕士

    表示浪客剑心是我爱上的第一部漫画……

    [0] 评论
  • 12楼
    2011-10-20 21:37 不乱

    把一条单位长线段连续地从一条直线移动到另一条直线,并且扫过的面积任意小

    想象不出来!

    [0] 评论
  • 13楼
    2011-10-20 21:38 轻拢慢捻抹复挑

    看不懂才是正常的吧~

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  • 14楼
    2011-10-20 21:48 三水-王子

    剑心啊~大爱~

    [0] 评论
  • 15楼
    2011-10-20 21:51 轻拢慢捻抹复挑

    “但是在其中,属于 [-120°,-60°] 的每个角都能找出边长 ≥1 的线段。”咱看到这儿就无力了.......

    [1] 评论
  • 16楼
    2011-10-20 22:02 _qad_

    还没考虑别的维度呢?

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  • 17楼
    2011-10-20 22:09 萝卜超人

    lz,请问你的运动轨迹图是用什么软件制作出来的?
    好人一生平安!

    [0] 评论
  • 18楼
    2011-10-20 22:14 天龙的小六

    回答17楼的问题吧 这应该是几何画板 我自己也在用

    [0] 评论
  • 19楼
    2011-10-20 22:24 某朗兄的黑暗料理
    引用三体-曹彬的回应:【乱入】散落吧,千本樱。

    千本樱有范围限制的说,最新一集漫画说明,为了不砍到自己,千本樱在使用者周围的85cm半径内是发不出来的=_=.|||

    也就是说离你最近的几个人会直接把你堵死......


    还是要乱菊的灰猫,貌似没说有限制

    [0] 评论
  • 20楼
    2011-10-20 22:25 山有扶苏

    咳,这个应该不成问题……

    引用三体-曹彬的回应:【乱入】散落吧,千本樱。
    [0] 评论
  • 21楼
    2011-10-20 22:36 lithium2011

    剑心啊!这种轨迹画成漫画肯定特华丽,有空试试看

    [0] 评论
  • 22楼
    2011-10-20 22:43 曹小喵回来了 科幻迷,天文爱好者,地质学研究生
    引用harry100000的回应:
    千本樱有范围限制的说,最新一集漫画说明,为了不砍到自己,千本樱在使用者周围的85cm半径内是发不出来的=_=.|||


    也就是说离你最近的几个人会直接把你堵死......


    还是要乱菊的灰猫,貌似没说有限制

    绝对的大撞车,我发这图的时候还没看最新的漫画

    [0] 评论
  • 23楼
    2011-10-20 22:45 show①个

    真犀利呀 死理性

    [0] 评论
  • 24楼
    2011-10-20 22:46 贝克街的亡灵

    “王负剑!王负剑!”

    [3] 评论
  • 25楼
    2011-10-20 22:46 贝克街的亡灵

    PS:本文作者是男的。所以才会在上厕所的时候对二次函数感兴趣

    [1] 评论
  • 26楼
    2011-10-20 22:50 CrumbleProof

    被剑心的帅图吸引过来的

    [0] 评论
  • 27楼
    2011-10-20 22:52 朔河
    引用三体-曹彬的回应:【乱入】散落吧,千本樱。

    噗……脑子里突然冒出厕所里樱花飞舞的场景

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  • 28楼
    2011-10-20 23:03 小园听风 医学硕士生

    始解卐解都有……
    我觉得剑八必然没有压力=w=

    引用harry100000的回应:
    千本樱有范围限制的说,最新一集漫画说明,为了不砍到自己,千本樱在使用者周围的85cm半径内是发不出来的=_=.|||


    也就是说离你最近的几个人会直接把你堵死......


    还是要乱菊的灰猫,貌似没说有限制
    [0] 评论
  • 29楼
    2011-10-20 23:04 小园听风 医学硕士生

    咦,把卍打成卐了……

    [0] 评论
  • 30楼
    2011-10-20 23:29 AlephAlpha Mathematica玩家

    Exp618同志的博客的广告终于做到主题站上来了……

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