足球比赛中的非传递现象

作为资深球迷，我们长久以来都在忍受着一些东西，比如半夜三点爬起来看欧冠，比如上网看卡得像京剧一样的英超，比如一辈子都看不了真的球星在你面前踢球，导致你怀疑电视转播只是一些别有用心的实况玩家在恶作剧。即使这些都可以忍，还是有一点实在让人无法承受——那些喜欢用过往战绩比较对战双方实力并且预测比赛结果的解说员。

说实话，比赛前了解点对战双方的过往战绩并无坏处，可是这也不见得有什么好处，因为这种东西对于新的比赛结果往往没什么太大的参考价值。这个赛季的英超就出现了如下的诡异现象。去年 9 月 25 日，曼城主场 1:0 胜切尔西；10 月 23 号，切尔西主场 2:0 胜狼队。根据前两场比赛的战况，曼城比切尔西更牛，切尔西比狼队更牛，即使排除掉曼城华丽的攻击线阵容和狼队长期徘徊于降级区的固有印象，仅从上述的战绩考虑，曼奇尼的球队胜算也应该更大。没想到，七天之后，曼城却 1:2 输给了狼队。

资深球迷们都知道，这其实并不稀罕，三支球队互相克制的“怪圈”已经是屡见不鲜了。在数学中，这种 A 胜过 B，B 胜过 C，A 却输给了 C 的现象可以称为游戏的非传递性（non-transitive），这可以和不等式的传递性（如果 a>b，b>c，则 a>c）对比理解。对于足球领域的非传递性，解释理由有很多，比如主客场、天气以及伤病等各种因素。然而，死理性派球迷想要告诉你的是，即使忽略这些外部因素，这种怪圈依然存在。在足球世界中，各个队伍之间相互克制，本来就没有判断强弱的唯一标准。就算把球赛完全简化成掷骰子式的概率游戏，这种非传递性仍然不可避免。

就连掷骰子也有非传递性

不妨把变化多端的足球游戏直接简化成两人掷骰子的游戏——掷出几点就代表进几个球（这也正是去年世界杯期间推出的一款足球桌游采用的方法）。我们可以通过设定骰子六个面上的数字，构造出实力不同的球队来。比如说，有 A、B、C 三颗骰子，它们六个面上的数字分别为：

同时抛掷 A、B 两颗骰子时，如果 A 想要赢过 B，只有两种可能：要么 A 掷出了 9，从而直接获胜；要么 A 掷出 2 或者 4，同时 B 只掷出 1。它们发生的概率分别是 1/3 和 (2/3)×(1/3)，加起来一共有 5/9 的概率。

B 要想赢过 C，也分两种情况：掷出 8 点，直接获胜；或者掷出 6 点，同时对方掷出 3 或者 5。容易算出，B 赢过 C 的总概率等于 1/3 + (1/3)×(2/3)，也是 5/9。

C 赢过 A 的概率则为它掷出 5 或 7，同时对方掷出 2 或 4 的概率，加上它掷出 3，同时对方只掷出 2 的概率，总概率为 (2/3)×(2/3) + (1/3)×(1/3)，依旧是 5/9。

一个有趣的现象出现了：A 的实力比 B 强，B 的实力比 C 强，而 C 的实力又比 A 强！也就是说，即使我们事先知道 A 对 B 有较大胜率（大于 50%），B 对 C 也有较大胜率，我们仍然不能推断出 A 对 C 就一定有较大胜率。

若是嫌 5/9 的胜率还不够显著，我们还有胜负关系悬殊更大的“怪圈”。请看下面这四颗骰子：

用类似的方法可以计算出，A 胜 B、B 胜 C、C 胜 D、D 胜 A的概率都是 2/3。在这个怪圈里，每支球队都有双倍的优势赢过它的“下家”！

预测足球胜负？数学无能为力！

写到这里，估计你也和我一样好奇：既然相对胜率无法表明一支球队的实力，那么有没有别的什么标准呢？可惜的是，各种看似合理的标准实际上也是不靠谱的。

很自然地，你会想到用每支球队的平均进球数（也就是掷出骰子的平均点数）来衡量球队实力。容易算出，上图中 A、B、C、D 四颗骰子的平均点数分别为 8/3、3、8/3、3。这样看来， B、D 两颗骰子略胜一筹。然而，实力最强的球队不见得能赢得更多，正如联赛中进球最多的球队不一定会夺冠一样。

不难计算出，如果让每支球队都和其它三支球队各战一场，它们的平均所胜场数分别是 13/9、3/2、14/9 和 3/2，球队 C 脱颖而出。也就是说，假如让这四支球队进行循环赛，那么次数足够多之后球队 C 的积分最高是没有悬念的，尽管从相对胜率的角度看它并不突出，从进球期望的角度看它甚至还不如 B 和 D。

可见，实力并不等于结果，球队强弱永远没有一个定数。对于即将到来的比赛，任何数学方法都是无能为力的。

除了说明比赛的难以预测性以外，我们还可以把非传递性骰子做成一个“坑人小游戏”。你可以根据上面的例子做三个或四个非传递性骰子，然后叫来一个好哥们儿，你俩各选一颗骰子来玩掷骰子游戏。当他发现四颗骰子不一样时，他一定会嚷嚷着要先挑选，企图把最好的骰子占为己有。不论他选的哪颗骰子，你都可以在剩下的骰子中挑出一个能克制它的骰子，反复比赛便可大获全胜。看来，在游戏里，先选也不见得是好事啊。