订阅果壳文章的RSS地址

数学里也能耍流氓

matrix67 2011-02-23 14:17:47

数学一向以严谨的思维著称，每一步推理都需要严格的理由。但在数学历史中，漏洞百出的数学推理也频频出现。有趣的是，即使是这些不严格的思路也充满着智慧，在数学中的地位不亚于那些伟大的证明。

数学一向以严谨的思维著称，每一步推理都需要严格的理由。但在数学历史中，漏洞百出的数学推理也频频出现。有趣的是，即使是这些不严格的思路也充满着智慧，在数学中的地位不亚于那些伟大的证明。今天，果壳死理性派会用几个经典例子告诉你，在数学里也是可以耍流氓的。

逻辑中的那些流氓

耍流氓是各种数学悖论的来源。你能想一个命题，使得它和它的否定形式同时成立吗？令人难以置信的是，这样的命题真的存在。“这句话是七字句”就是这样一种奇怪的命题。它的否定形式是“这句话不是七字句”，同样是成立的。

你肯定会大叫“赖皮”，命题的真假与这个命题本身的形式有关，这样的命题算数学命题吗？没错，这些涉及到自己的命题都叫做“自我指涉命题”，它们的出现会引发很多令人头疼的问题。从说谎者悖论（Liar paradox）到罗素悖论（Russell's paradox），各种逻辑悖论的产生根源几乎都是自我指涉。数理逻辑中的流氓遍地都是，它们直接引发了数学史上的第三次数学危机。

欧拉的流氓证明法

在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：

http://guokr.com/gkimage/ld/jb/xm/ldjbxm.png

这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。

最经典的“无字证明”

一些定理的直观理解虽然毫无逻辑可言，完全算不上是数学证明，但这些精巧而欢乐的视角，依然让数学家们如痴如醉。

1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

http://guokr.com/gkimage/pj/k9/xa/pjk9xa.png

文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。

http://guokr.com/gkimage/l0/1k/ou/l01kou.png

严格地说，这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。因此，这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》（Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection）一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中，类似的流氓证明数不胜数，不过上面这个可能算是最经典的了。

http://guokr.com/gkimage/r9/0y/44/r90y44.png

《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》的封面

旋轮线的面积

http://guokr.com/gkimage/ms/gs/wq/msgswq.png

旋轮线。图片来源：Wikipedia

车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？

他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。

在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。

本文版权属于果壳网（guokr.com），转载请注明出处。商业使用请联系果壳网。

继续阅读

推荐  199 发表评论

163条评论

（ 上一页  |  下一页 ）

  • 1楼
    2011-02-23 15:41:09 琦迹517 资深心理学爱好者 ψ
    如何证明0.9999999……=1？？？？？
    证：设a=0.99999……（①）
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a
    ∴10a-a=9
    ∴a=1
    又∵a=0.999999999……（①）
    ∴0.999999……=1
    俺来耍流氓了~
    引用
  • 2楼
    2011-02-23 15:48:24 帅5
    －－！你狠。。。
    引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
    引用
  • 3楼
    2011-02-23 15:49:49 XX光
    最后一个我想起那个爱迪生称灯泡体积的故事
    引用
  • 4楼
    2011-02-23 15:49:50 香草
    证明菱形数量一定相同那个题，可以用三次单位根赋值的方法
    引用
  • 5楼
    2011-02-23 15:50:44 忙忙忙忙死了
    引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？
    证：设a=0.99999……（①）
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a
    ∴10a-a=9
    ∴a......

    您为什么不用更流氓的办法……
    1/3=0.333333333……
    3*(1/3)=0.999999999……=1
    ……………………………………
    引用
  • 6楼
    2011-02-23 15:51:49 Sheldon 理论物理博士，科学松鼠会... ψ
    其实对于数学家来讲，物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈！
    引用
  • 7楼
    2011-02-23 15:57:50 水色星空 动物学硕士，猫咪控 ψ
    旋轮线，一句话 真是太神奇了！
    引用
  • 8楼
    2011-02-23 16:05:26 葛巾
    关于0.999……＝1，俺也是这样证明的：

    1/3＝0.333……

    1/3×3＝1

    0.333……×3＝0.999……

    0.999……＝0.333……×3＝1/3×3＝1
    引用
  • 9楼
    2011-02-23 16:05:42 葛巾
    好爱伽利略耍的流氓！！！
    引用
  • 10楼
    2011-02-23 16:09:53 Thomicool64
    引用 sheldon 的回应：其实对于数学家来讲，物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈！


    顶，对于物理学家来讲，化学家都是流氓= =
    引用
  • 11楼
    2011-02-23 16:11:42 浣熊
    好优美的耍流氓！
    引用
  • 12楼
    2011-02-23 16:21:27 戊辰麦芽糖
    我是个老实人，我不耍流氓——0.999999......=3X1/3=1 blockquote]引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......[/blockquote]
    引用
  • 13楼
    2011-02-23 16:36:24 绿咸鱼
    话说...耍流氓不成也是常有的事情...
    比如欧拉同学就干过 lim 1/x^n+...+1/x^2+1/x+1+x+x^2+...+x^n (n->inf) = 1+1/x+1/x^2+...1/x^n+x+x^2+...+x^n(n->inf) = (1-(1/x)^(n+1))/(1-1/x)+x*(1-x^n)/(1-x) (n->inf) = x/(x-1)+x/(1-x) = 0 的神奇证明...
    引用
  • 14楼
    2011-02-23 16:48:43 沉默的马大爷 富有激情的心理学工作者 ψ
    想起中学时做几何题，算不出来就拿尺子量。。。
    后来由于这样耍流氓的人太多，老师就故意把图画得比例失调
    引用
  • 15楼
    2011-02-23 17:05:05 焦糖白兔
    引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？
    证：设a=0.99999……（①）
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a
    ∴10a-a=9
    ∴a......

    证明过程有一步写错了，10a-a=9a才对。
    接下去应该是9a=9，所以a=1
    ……啊当然，其实结果还是一样的，只是证明过程有点小纰漏
    ……但是的确很流氓……
    引用
  • 16楼
    2011-02-23 17:34:35 緢指甲
    引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......


    我也耍~0.9999...=1???1/3=0.3333...1/3×3=0.333...×3=1嘿嘿~
    引用
  • 17楼
    2011-02-23 17:55:04 婆罗浮屠
    流氓~~~嘎嘎~~~
    引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
    引用
  • 18楼
    2011-02-23 17:56:25 暴走紫罗兰
    对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓
    引用
  • 19楼
    2011-02-23 18:10:55 自然卷的蘑菇
    [blockquote]引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？



    最简单的证法：1/3=0.33333333……（①）
    则0.33333333*3=0.99999999……
    1/3*3=1
    ∴1=0.99999999.......
    引用
  • 20楼
    2011-02-23 18:18:38 琦迹517 资深心理学爱好者 ψ
    心理学也有严谨的统计与测量，也有实验与公式，我们不是耍流氓！！！
    引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓
    引用
  • 21楼
    2011-02-23 18:21:50 xyfd
    康托证明有理数可数和实数不可数的方法也相当奇葩
    引用
  • 22楼
    2011-02-23 18:29:53 迷渡
    哈哈~~耍流氓~~好有爱的形容词啊~~
    引用
  • 23楼
    2011-02-23 18:39:18 山人
    最后那个流氓。。。我只能说太神奇了。
    引用
  • 24楼
    2011-02-23 19:01:07 Canxu
    我觉得，学校的数学老师有必要说明无限循环小数的加减法运算，否则很多人都会想耍流氓。
    引用
  • 25楼
    2011-02-23 19:32:31 VICK
    在上管理学的课，老师是流氓...
    引用
  • 26楼
    2011-02-23 19:40:12 四海
    ……没有语言了……
    引用
  • 27楼
    2011-02-23 20:00:17 沉默的马大爷 富有激情的心理学工作者 ψ
    引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓

    这是从何说起。。。
    引用
  • 28楼
    2011-02-23 20:12:02 Alex銘特
    旋轮线。。。太NB了。。。。
    引用
  • 29楼
    2011-02-23 20:41:58 neilso
    哈哈，太有意思了
    引用
  • 30楼
    2011-02-23 20:47:35 吃货中的睡神
    伽利略...非礼啊~
    引用
  • 31楼
    2011-02-23 20:54:53 啊灰啊灰啊灰
    是把上面的10a=9+a的a移到左边来吧 所以是10a-a=9.。。。
    引用 夜语 的回应：引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？
    证：设a=0.99999……（①）
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+......
    引用
  • 32楼
    2011-02-23 21:29:41 低熵体112358
    引用 琦迹517 的回应：心理学也有严谨的统计与测量，也有实验与公式，我们不是耍流氓！！！引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓

    统计和测量得来的东西都不能称是严谨，公式也都是经验得来的公式，试验常常不能确定性地解释一些现象，比起数理化，这显然就是流氓
    引用
  • 33楼
    2011-02-23 21:54:07 adamzjw
    引用 琦迹517 的回应：心理学也有严谨的统计与测量，也有实验与公式，我们不是耍流氓！！！引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓



    心理系的童鞋前来支持。。我们不耍流氓。哈哈哈。。

    btw 伽利略那个确实狠！
    引用
  • 34楼
    2011-02-23 22:18:16 山楂
    对于数学家来讲，物理学家都是流氓
    对于物理学家来讲，化学家都是流氓
    对于化学家来讲，生物学家都是流氓
    引用
  • 35楼
    2011-02-23 22:19:07 Frances 英语学士 ψ
    盘踞性情站的数学盲无语傲然飘过……
    引用
  • 36楼
    2011-02-23 22:31:16 琦迹517 资深心理学爱好者 ψ
    好吧，我太认真了，看到头像上的sheldon就有了geek的较真劲~bazinga！
    引用
  • 37楼
    2011-02-23 22:45:37 医海怪客
    把那个六边形分成3个一样的方向不同的大菱形。。。。。。这个算流氓么。。。。偶不是流氓。
    引用
  • 38楼
    2011-02-23 22:53:43 小号凡亚
    您是太认真了。
    引用 琦迹517 的回应：引用 低熵体112358 的回应：统计和测量得来的东西都不能称是严谨，公式也都.....既然您这么认为，那就让我们这些学心理学的欢乐地“耍流氓“吧，有空可以找个心理学者给您进行下精神分析看看什么样的童......
    引用
  • 39楼
    2011-02-23 23:48:38 Maxint64
    引用 “这句话是七字句”就是这样一种奇怪的命题。它的否定形式是“这句话不是七字句”，同样是成立的。

    我有这么一个看法：这两个命题既然互为否定形式 应该是相互联系的 所以讨论的应该是同一个对象 有没有七个字都是针对“这句话是七个字”这句话来说的 这样的话 第二个命题就不成立了……
    引用
  • 40楼
    2011-02-23 23:58:20 醉卧杀场
    1/3 = 0.33333333333333
    和
    1 = 0.999999999999
    很像

    感觉不严谨，1楼的证明很好，很严谨。。
    引用
  • 41楼
    2011-02-24 00:04:12 redelengxue
    哈哈，不过把0.9999......换成1-0.1的N次方（N为正整数），这流氓就不容易耍了
    引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？
    证：设a=0.99999……（①）
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a
    ∴10a-a=9
    ∴a......
    引用
  • 42楼
    2011-02-24 00:11:00 哆啦嘟嘟
    引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？
    证：设a=0.99999……（①）
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a
    ∴10a-a=9
    ∴a......




    0.99999999..../3=0.33333333....
    0.333333333....=1/3
    3*1/3=1
    引用
  • 43楼
    2011-02-24 00:37:50 Metaverse
    跟搞工程的相比，搞纯数学的实在不能算流氓到哪里……在木有电脑搞有限元的年代，也不过时画图拉尺估个大概。。。反正，算不清，多配筋……
    引用
  • 44楼
    2011-02-24 04:04:56 philipslcd
    同一法也非常流氓，比如证明勾股定理逆定理：
    已知a^2+b^2=c^2，求证角C是直角。
    同一法：
    构造一个直角三角形A'B'C'.使得两直角边为a,b
    由勾股定理，斜边为c。
    根据边边边公理。得到2个三角形全等，所以原三角形为直角三角形。
    参考：http://wenwen.soso.com/z/q189308693.htm
    引用
  • 45楼
    2011-02-24 11:46:10 鱼香豆腐
    那啥，对于大龄女青年来说，希望所有的男人都去耍流氓，管你是研究什么的。
    引用
  • 46楼
    2011-02-24 12:33:30 殇御
    引用 Thomicool64 的回应：引用 sheldon 的回应：其实对于数学家来讲，物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈！

    顶，对于物理学家来讲，化学家都是流氓= =


    对于哲学家来说你们全都在耍流氓
    引用
  • 47楼
    2011-02-24 13:11:22 tony水
    44楼的仁兄说的对。。。。。。算不清，多配筋。。。。。这就是将耍流氓进行到底啊。。。
    引用
  • 48楼
    2011-02-24 13:59:57 xjbambino
    引用 低熵体112358 的回应：引用 琦迹517 的回应：心理学也有严谨的统计与测量，也有实验与公式，我们不是耍流氓！！！引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓统计和测量得来的东西都不能称是严谨，公式也都......


    对于理工科来说, 统计 与 测量 也是一门很严谨的学问!!
    引用
  • 49楼
    2011-02-24 14:35:26 谢不清
    高中时好多人都这样做····尤其是大考试时
    引用 沉默的马大爷 的回应：想起中学时做几何题，算不出来就拿尺子量。。。后来由于这样耍流氓的人太多，老师就故意把图画得比例失调
    引用
  • 50楼
    2011-02-24 14:55:38 浮力大
    引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？
    证：设a=0.99999……（①）
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a
    ∴10a-a=9
    ∴a......


    好像是小学时候的作业啊。。。一不小心就怀旧起来。
    引用

请 登录 后发表评论，你也可以用以下帐号直接登录

新浪微博 人人网 QQ

本文来自

死理性派

死理性派主题站

201294人关注

文章作者

作者的其他文章

本文同时被收录到

©2012果壳网 京ICP备09043258号-2 京公网安备1101052730