所有自然数的和是-(1/12)?!这是真的吗?

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这个证明到底有没有问题?谁能详细说一下s1……
看了一种说法说是s1=1-1+1-1+……=1-(1-1+1-……)=1-s1,故s1=1/2
视频地址http://www.bilibili.tv/video/av908590/


视频中说的之前关于s1的证明的视频也找到了,拿出来分享一下http://www.bilibili.tv/video/av909807/,但是没字幕……

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马甲与小号抓喵

2014-01-14 00:43

谢邀。(咦?我在说什么?)


先来总结几句:

视频中的结论倒不能说是错的,但只在特殊的语境下才能成立,比如说物理学上的重整化、正规化什么的(我没学过物理,这些是看学物理的网友说的,具体是什么意思我完全不懂)。在数学的一些领域里,比如说数论啊模形式啊什么的,这些东西也是有意义的,但现在的数学家都不用这种不规范的写法。无论如何,它的意思不是什么“所有自然数的和是-(1/12)”

至于证明过程……那根本就是在乱搞。我不知道是不是物理学家都这样乱搞,如果是的话我就再也不相信物理了。不过从知乎的某个回答来看,物理学家得到这个结论的方法还是比较严谨的,而不是视频中那样乱搞。

我必须警告你们:除非你非常清楚你说的是什么意思,并且确保能把你的证明过程转化成现代的严谨的语言,否则不要乱搞。不然可能会变成这样:

顺便说一下,这个蒋春暄还自称率先证明了费马大定理。南方周末还发过一篇《令人深思的“蒋春暄现象”》来吹捧这个民科。


然后开始讲故事:

在微积分严谨化之前,数学家也喜欢乱搞。当然,因为还多概念还不明确,他们也只能乱搞。大名鼎鼎的莱昂哈德·欧拉就是这么一位擅长乱搞的深井冰。他乱搞出了很多有趣的结果。有些结果在今天看来还是十分准确的,比如说:

另一些结果在今天看来则比较疯狂,但可以用现代的语言做出严谨的解释,比如说:

左边是对全体素数求和。
现在我们知道,这其实意味着:

左边是对全体小于的素数求和。也就是说,全体小于的素数的倒数和,作为一个的函数,在时是和等价的无穷大。
再比如说看起来更疯狂的:

没错,这个等式就是欧拉在1749年得到的。他同时还得到了下面这些同样疯狂的等式:


我们先来看看欧拉是怎么乱搞出这个-1/12的。我找到一篇介绍欧拉当年的方法的论文,作者是John C. Baez。
欧拉也是乱搞,但没有视频中那么乱。
他先是用了一些生成函数之类的组合数学的手段,得到了相当于这么一个幂级数展开:

这个式子很寻常,并不一定要用到生成函数。学过微积分的同学也可以自己推一下,顺便算算这个级数的收敛半径什么的。
然后就开始有脏东西混进来了:
欧拉把代进了这个式子,得到了:

这就是视频中的那个了。
不对……-1不在它的收敛半径之内,不能这样算……
但那时还在18世纪,人们还缺乏收敛性的概念。到了19世纪初,高斯的人才开始考虑级数的收敛性,然后柯西、阿贝尔等人才开始对级数的收敛性展开深入的研究。还处在乱搞时代的欧拉当然不会去考虑这些问题。
如果把无穷级数求和的定义拓展一下,某些发散级数还是能求出“和”来的。比如说这里求出来的-1/4其实是阿贝尔和。当然,当时欧拉也没有阿贝尔和的概念。
然后欧拉的乱搞方式就和视频里一样了。

所以:

所以说欧拉就是个深井冰……
当然欧拉自己也未必知道这个式子是什么意思。


发散级数是魔鬼的发明,把不管什么样的证明都建立在发散级数基础上是一种耻辱。
——尼尔斯·阿贝尔,1826年


后来,数学家意识到乱搞会出问题,渐渐地就不喜欢乱搞了。经过柯西、维尔斯特拉斯、黎曼等人的努力,微积分终于建立在一个相对严谨的基础上(真正严谨还要等到后来康托尔、戴德金等人建立严谨实数理论)。同时,一门叫“复分析”的学科也逐渐成熟起来。为复分析做出奠基性的贡献的还是柯西、维尔斯特拉斯、黎曼这些人。
这时,黎曼重新考虑了欧拉考虑过的那些级数。他把它们写成一个函数:

这就是大名鼎鼎的黎曼ζ函数
但这个无穷级数在时才是收敛的……
黎曼比欧拉更进一步,考虑了为复数的情形。这样一来,ζ就成了一个复变函数。黎曼证明了它在时是收敛的,而且是全纯的。
那时已经有了一种叫“解析延拓”的神奇的工具。可以证明(这里我就不证了),这个ζ函数可以唯一地延拓成整个复平面上的亚纯函数,是它的唯一一个极点。延拓之后还是叫做ζ函数,不过在时就不能用原来那个级数来定义了。
在此基础上,黎曼研究了ζ函数的性质,证明了ζ函数的函数方程,用它得到了一些关于素数的结论,计算了它的几个非平凡零点,提出了黎曼猜想……
于是,欧拉这个疯狂的等式

用现代的、严谨的语言来说,就应该说成:



这个结论可以用ζ函数的函数方程轻松地得到。但我还是想用一下欧拉的方法……确切地说,是把欧拉的乱搞转换成严谨的数学语言。
我们已经给这样的级数定义了一个ζ函数。现在我们给这样的级数也定义一个函数,叫做狄利克雷η函数

它收敛的范围比ζ函数要大一些,而且在时是绝对收敛的。知道绝对收敛之后,就可以比较随便地玩了。于是,在时,有:

η函数也可以解析延拓(这里我也不证了)。解析延拓之后,它变成了整个复平面上的全纯函数。
于是,上面这个等式左右两边都可以看作是整个复平面上的亚纯函数了。但它们在时是相等的,于是根据复分析里的某条定理,它们在整个复平面上都相等。
于是,只要求出,就能得出的值了。
这就是欧拉的乱搞的最后一部分。
为了求出,我们还需要再定义一个函数,叫做多重对数函数

这其实是关于两个变量的二元函数。固定一个,它在中是收敛的,不收敛时的定义还是靠解析延拓。
的时候,它就是前面那个:

用跟前面差不多的讨论,解析延拓之后依然有

另一方面,按定义,在时,我们还有:

后面的把戏就有点复杂了……也许这里有更好地方法,只是我没想到,毕竟我已经有一段时间不接触分析了……
取一组。这样,每个都可以由级数定义,是关于的全纯函数。而且,可以证明(啊这个我也不证了),这一列是收敛于一个全纯函数的。当然,对固定的只能收敛于,因此这个全纯函数只能是。于是对所有的都有
到这里,我们终于可以得到结论:

然后就可以得到最终的结论:

于是,把欧拉的乱搞用现代的严谨的语言说清楚了还真不容易……而且我其实还没有真的说清楚了,中间有好几个重要的步骤是跳过去的。
完整的证明还是看那个常见的用Γ函数和伯努利数的证明吧,比如说,加藤和也、黑川信重、斋藤毅《数论1:Fermat的梦想和类域论》的第三章。
ζ函数在其它负整数处的值也可以类似地得到。


至于视频里那个

严谨的说法应该是:

当然,我们还可以用别的办法来把它说严谨了,比如说别的回答里提到的切萨罗和。但切不可把它理解为通常的求和。而且,切萨罗和的求法也不是视频里那样乱搞。


关于这个ζ函数还有很多有意思的东西可以说。这里不说了。大家可以看卢昌海的《Riemann 猜想漫谈》。
另外还有一个关于拉马努詹的故事。这里我也不说了。(拉马努詹好像非常、非常喜欢欧拉-麦克劳林公式。)


欧拉乱搞确实搞出了不少有价值的东西,但欧拉的时代早已过去了。而且不是怎样乱搞都能碰巧得到有意义的结论。更重要的是,你无法判断怎样乱搞才能搞出有意义的结论。万一又搞出一个蒋春暄……


传播数学还是要严谨。

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