1188
需用时 02:22
97
123
比根号2更“无理”的数

大家中学时就学过,根号 2 是一个无理数,它不能表示成两个整数之比,是一个看上去毫无规律的无限不循环小数。早在古希腊时代,人们就发现了这种奇怪的数,这推翻了古希腊数学中的基本假设,直接导致了第一次数学危机。

事实上,根号 2 只是最普通的无理数。在无理数大家庭中,还有很多比根号 2 更诡异的数。

(注:从历史角度来看,把“无理数”理解成“无理的数”其实是一种错误的做法。中国最初对 irrational number 的翻译是不对的,irrational 这个单词本应该取“不可比的”之义)

代数数与超越数

根号 2 虽然是无理数,不过也不是那么没规律了。它是方程 x 2 - 2 = 0 的其中一个解。如果某个数能成为一个整系数多项式方程(a n · x n + … + a 1 · x + a 0 = 0)的解,我们就把它叫做“代数数”(algebraic number)。那些用根号表示出来的无理数,全都是代数数。

不是代数数的实数统统被称为“超越数”(transcendental number),它不满足任何一个整系数多项式方程。超越数无疑是更“怪”的数,是否存在这样的数在数学史上早有争论。1844 年,法国数学家柳维尔(Joseph Liouville)构造了第一个超越数——柳维尔数(Liouville number)。这个数是 0.110001000000000000000001… ,其中小数点后面第 1,2,6,24,120,... 位是 1,其余位都是 0。柳维尔证明了这个数是一个超越数,它不满足任何整系数多项式方程。

1873 年,法国数学家夏尔·埃尔米特(Charles Hermite)证明了自然底数 e 是一个超越数。1882 年,德国数学家林德曼(Ferdinand von Lindemann)证明了圆周率 π 是一个超越数。

但是,人们对超越数的了解还是太少。至今数学家们仍然不知道,π + e、π - e、π·e、π/e 是否是超越数。虽然如此,大家还是普遍相信它们都是超越数,毕竟它们不大可能恰好满足一个各项系数都是整数的多项式方程。

可计算数与不可计算数

圆周率的小数展开看上去似乎是完全随机的,但毕竟是有办法算出来的。如果你想知道 π 的小数点后第一亿位是多少,我总能在有限的时间里算出答案来。

1975 年,计算机科学家格里高里·蔡廷(Gregory Chaitin)研究了一个很有趣的问题:任意指定一种编程语言中,随机输入一段代码,这段代码能成功运行并且会在有限时间里终止(不会无限运行下去)的概率是多大。他把这个概率值命名为了“蔡廷常数”(Chaitin's constant)。

这听起来有点不可思议,但事实上确实如此——蔡廷常数是一个不可计算数(uncomputable number)。也就是说,虽然蔡廷常数是一个确定的数字,但现已在理论上证明了,你是永远无法求出它来的。

可定义数与不可定义数

尽管蔡廷常数算不出来,不过我们却知道蔡廷常数是什么。它有一个明确的定义。但是,并不是所有的数都能够用有限的文字描述出来的。原因很简单,因为长度有限的文字段落是可以逐一枚举的(虽然有无穷多),而全体实数是不能枚举的,因此总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做不可定义数(undefinable number)。

自然数也好,有理数也好,根号 2 也好,圆周率也好,蔡廷常数也好,它们都有明确的定义,都属于可定义数的范畴。事实上,整个人类历史上所有文献提到过的所有实数都是可定义的,因为它们都已经被我们描述出来了。但是,由于可定义数与全体实数的数量根本不在一个级别上,不可定义的数远远多于可定义的数。

那么,谁发现了第一个不可定义数呢?答案是,从没有人发现过不可定义的数,以后也不会有人找到不可定义的数。因为不可定义数是无法用语言描述的,我们只能用非构造的方式证明不可定义数的存在性,但却永远没法找出一个具体例子来。

好在,虽然有那么多数是没有办法描述的,但数学家们也不会损失什么。每一个值得研究的数一定都有着优雅漂亮的性质,这些性质就已经让它成为了能够被定义出来的数。

The End

发布于2011-03-09, 本文版权属于果壳网(guokr.com),禁止转载。如有需要,请联系果壳

我的评论

matrix67

数学狂

pic