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TBBT第4季18集:魔术模仿秀(附视频)

(文/大卫·萨尔兹保)本集,谢耳朵无法用数学破解霍华德的纸牌魔术。但这一切都是虚构的,纸牌和数学历来形影不离。在现实生活中,谢耳朵的分析很可能有效。

一副牌共有多少种洗牌方式?这个问题是数学的分支——组合学的经典问题。第一张牌可能是任何一张,所以是52张之一。因为第一张牌的选取,第二张牌的限制增加了,所以它是剩下的51张之一。现在,如果第一张牌和第二张牌都确定,共有多少种方式组合方式?在这里的“和”表示把可能性相乘,所以前两张牌有52*51=2,652种组合方式。

把整副牌计算后,组合数是52*51*50*49*…*1。最后一张牌没有选择的余地,所以概率是1。数学家们把此运算简化为52!,或者称为52的阶乘。它的结果无比巨大,输入到google中甚至不能显示全部数字,但它还是远小于古戈尔(10的100次方)。你可以在谢耳朵的白板上找到它:

http://www.guokr.com/gkimage/2j/p7/hk/2jp7hk.png

这也是整副牌的洗牌方法数。

(最后12个零不是约数。1和52之间有5个零。剩下5个5的倍数还可以找到2的倍数与之相乘形成另外5个0。25和50能提供额外的5的因数并同2相乘得到最后2个0。所以最终的数中有12个零。)

简化来说,这个数是8*1067。或用简易英语来说,是“80乘10的67次方”(“80 unvigintillion”)。而在英式英语中所用单词不同,是“80 undecillion”(美式英语中undecillion表示10的63次方)。美式英语与英式英语对“十亿”(“billion”)的定义不同,英国人习惯把“万亿”(“trillion”)称作“十亿”(因为他们把“billion”称作“thousand million”)。既然他们不把百万称作“thousand thousand”,那么显示一致性不是他们的长项。

(实事求是地说,英国在1974年就把这种“古老”的命名惯例变成了美国和其他国家使用的“新式”惯例,但“古老”的命名习惯被一些国家坚持下来。他们还嘲笑美国不使用公制。)

在任何语言中这都是一个很大的数字。就算地球上70亿男女每年玩10亿次纸牌游戏并玩上10亿年,想得到所有的洗牌模式也是天方夜谭。

我们还可能会问另外一个问题,两次纸牌游戏有没有可能出现同样的洗牌方式?这是组合学中的另一个问题。它的概率很高。答案不是曾经游戏过的局数除以那个大数字。该效应的经典问题是:“如果同一间屋子中有23个人,那么他们中两个人生日相同的概率是多少?”你可能会天真的回答23/365或6%。但事实上概率比50%还要大。57人中,两人生日相同的概率是99%。而且,如果考虑双胞胎和其他可能的相关性,实际的概率会更高,但这是建立在每个人的生日是独立的假设上。

如果你认为23人中有两人生日相同的概率是50%似乎有些惊人,请记住我们并没有选定生日的日期。我们并没有要求他们的生日是你的生日或是布兰妮的生日,只是要求他们生日相同,无论哪一天。幸运地是,同样的问题可以通过更加明晰的方式提出:一个小组中每人生日都不同的概率是多少?如果每人生日都不同的概率是50%,那么有人生日相同的概率也是50%了。

通过第二种方式,很容易计算出这个奇怪的现象。第一个人无法跟他人匹配。而第二个人在365中有364天不能匹配。第三个人是365天中的363天,如是继续。把23个因子相乘的结果是:

(365/365)* (364/365)* (363/365)* (362/365)* (361/365)* (360/365)* (359/365)* (358/365)* (357/365)* (356/365)* (355/365)* (354/365)* (353/365)* (352/365)* (351/365)* (350/365)* (349/365)* (348/365)* (347/365)* (346/365)* (345/365)* (344/365)* (343/365) = 0.49

没人生日相同的概率是49%。因此,有人生日相同的概率是51%。

(2月29日是偶然因素,不会过多影响我们的结果,所以我忽略了出生在那天的500万人。)

回到我们的问题来,两次游戏不由相同的牌堆开始的概率是多少?先来假设每个牌堆都充分洗过而且他们都相互独立。如果考虑到醉酒玩家的数量和每购买一次新纸牌就会出现相同组合,这个假设就很不恰当。我们可以重复生日的计算方法——使用上面的大数字。我把这道题留给大家计算。

马丁•加德纳每月都会为“科学美国人”撰写一篇关于“趣味数学”的文章。纸牌魔术中的数学是加德纳的专业,他就像谢耳朵一样在白板上写写画画。很多魔术在他1956年出版的《数学、魔术和秘密》中都有介绍。下面是马丁•加德纳基于数学发明的一种简单纸牌魔术,你可以用它让朋友们大吃一惊。

http://www.guokr.com/gkimage/ya/1r/og/ya1rog.png

让我们从循环数魔术开始,它最初由加德纳向加州奥克兰的劳埃德•琼斯先生表演。首先给观众5张红牌:2、3、4、5、6。给自己留6张黑牌:A、4、2、8、5、7。然后把自己的牌摆成一列并让观众写下数字:142857。观众再从自己的牌中抽一张,例如5,把5和142857相乘得到714285。这时,魔术师拿起自己的牌,快速切牌出:714285。

这个魔术的技巧在于142857是循环数。它和任何数相乘都会得到同样的数字组合。你还能指望七个数字的组合做什么呢?数学就是你需要的全部(也许还包含一点洗牌和切牌的技巧。)

使用纸牌结构的数学性(4种花色,13种数字)可以形成许多复杂的魔术,拿起加德纳的书好好过把瘾吧。

抱歉这篇博文迟到了,其实是因为我一直没有找出霍华德魔术的数学原理。

原文看这里

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博主介绍: 大卫·萨尔兹保(David Saltzberg)是美国加州大学洛杉矶分校的物理、天文学教授。与此同时,他还担当着《生活大爆炸》的科学顾问。剧中Sheldon一伙所说的那些专业术语,全部出自此人之手。在他的博客里又进一步阐释了那些令人挠头的科学小知识。



[版权申明]本文由 David Saltzberg 授权果壳网( guokr.com )发表,转载请注明出处。
The End

发布于2011-03-20, 本文版权属于果壳网(guokr.com),禁止转载。如有需要,请联系果壳

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