为什么非要多卖几张票

在航空公司的实际运营中，时常有买了票的乘客起飞前临时退票或改签而并未登机（我们称之为No-show）。虽说航空公司要对此收取一些费用作为补偿，但票没卖出去毕竟是很大的浪费和损失。因此，为了解决这个问题，超售（overselling）的方法便应运而生。

所谓机票超售，是说航空公司根据航班频率、飞机载量、当前订座情况以及销售和离港数据等，对旅客的 No-show 率进行市场预测后，再确定超售率，安排某航班机票的销售数量超过飞机的原本商载座位数。简单来说就是，卖出比航班总座位数多的机票。这样不但可以充分利用航班座位，减少空位损失，提高航空公司的收益，同时也使得其他想乘机出行的旅客能够成行，听起来确实是个多方受益的好事。在 80 年代前，航空公司几乎所有的收益管理研究都集中在超售上，这也成为了航空公司赢利的重要手段之一。以美国航空业为例，1978年，美国全国的年超售人数只有 10 万左右，到1986年，就达到近百万之多。

好事总要多磨，问题也没有看上去那么简单。超售虽能扩大盈利，可也会带来一些不大不小的麻烦。要知道预测不可能总是完全准确的，有时也会出现所有旅客都没改变行程，也就是没人退票或者改签的局面，这时麻烦就来了：登机人数大于座位数，必然有旅客要倒霉，坐不上飞机。这就是所谓的 DB（Denied Boarding）问题（实际 No-Show 率低于预测的 No-Show 率）。 买了票却上不了飞机这种事无疑会给航空公司带来不小的负面影响，遭到不公正待遇的旅客甚至会与航空公司发生冲突，补偿他们可是一笔不小的开支，如果倒霉的旅客数量过多，超售的成本上升很多不说，航空公司的声誉也会受到巨大的影响，这些都是航空公司不愿看到的。

因而如何解决这个矛盾就成了大家十分关心的问题。根据数据统计，在我国平均 No-show 率为 5% ~ 15％，因此如今国内某些航空公司也采取了超售的销售模式，但国内航空公司对于超售问题主要是通过销售人员的经验来确定超售的票数，远没有实现超售数量的优化控制，造成了很大的不确定性。而从上世纪60年代起，国外就开始对超售进行研究，期望可以算出一个既能使航班效益尽可能大，又能让因超售最后不幸“躺枪”的旅客尽可能少的最佳平衡点，即最佳售票数量。

数学模型算出最佳超售票数

在 1958 年， Beckmann 最早提出了一个非动态的超售模型，这个模型的目标是将座位虚耗与超售成本的和尽可能的最小化。而到了 1961 年， Thompson 提出了另一个模型，他忽略了旅客需求的概率分布和超售成本，提出了超售研究中一个关于座位取消概率的重要假设：一个座位的取消概率并不依赖于这个座位是个人订座还是团体订座，同时也不依赖于订座的时间。1971年， Rothstein 在他的博士论文中提出了一个动态预定模型，对于只有一种乘客的无中停站航班，他利用 Bellman 的最优化原理得到最优超售策略。到 1978 年，美国经济学家 Julian Simon 又提出一个关于超售的补偿方案，方法很简单，超售需要改进的地方就是航空公司在售票的同时，交给客户一个信封和一份投标书，让顾客们填写他们可以接受的延期飞行的最低赔偿金额并装进信封密封。一旦飞机出现超载，公司可选择其中要求赔偿金额数目最低的人给予现金补偿，并优先售给他们下一班飞机的机票。如此一来各方受益，就不会有任何人受到损害。这是个很聪明的方法，有效防止了某些蒙受损失的旅客朝航空公司漫天要价。 1980 年， Hersh 和 Brosh 提出一个模型，他们假设存在一条即时服务通道，把系统看作一个排队系统来进行超售。最终到 1992年， ChatWin 建立了航空公司单一票价多阶段的超售模型，并证明了最优解的存在。

不过每个航空公司具体采用的超售模型都是商业机密，下面我们仅仅从最简单的层面来分析一下超售模型的建立。

首先，机票超售的数量越多，那么飞机离港时出现空位的可能性就越小，但是旅客被拒绝登机的可能性就越大，造成拒绝登机损失增加。而机票超售数量越小，被拒登机的可能性就越小，但出现空位的可能性就越大，造成空位损失增大，它们之间的变化关系如下图所示：

我们无非想知道怎么设定能收益最大，这个值受到如下若干参数的影响：

m：航班起飞前订票的人数

c：常数，航班飞机实有的座位数

p：常数，机票价格，这里假设只有一种舱位，单一票价模型

b：常数，DB发生时，拒绝一名旅客登机给航空公司造成的损失

r ：随机变量，起飞时顾客到达率

f(r)：顾客到达率的概率密度函数；

k：常数，航班一次飞行的总成本

e：航班一次飞行的总收益

据此我们写出超售的收益表达式：

则收益 e 的期望 E 为：

因为我们要考虑如何取 m 使得收益最大，于是期望收益 E 对 m 求导，就得到：

也就是说，要使收益期望 E 达到最大值，c/m 的取值需要让方程两边的积分相等。如图所示就是 p （单张机票价格）乘上 R ₁ 部分的面积等于 b （赔付一名旅客所需费用）乘上 R ₂ 部分的面积。

如果 p 增加，要保持等式 P R ₁ = b R ₂ 成立，则 R ₁ 就要变小，也就是说 c/m 的值向左偏移，则 m 变大就是说机票价格越高，超售数量也应随之增加。如果 b 增加，则 R ₂ 就要变小，也就是说 c/m 向右做移，超售数量变少。

这个结论这与航空公司的实际操作也是相符的，机票价格越高，则超售的机票越多越好。赔偿费用越高，则超售的机票越少越好。根据不同的概率密度模型，机票价格和赔偿费用对超售数的影响都有所区别，不过在大多数模型中，超售票数对机票价格并不如赔偿费用敏感，所以超售数仍然更多取决于航空公司对蒙受损失的旅客的赔偿费用。目前国内航空公司的超售数基本上一趟航班不超过 5 张。

相比赔付费用来说，现在航空公司可能更担心因旅客未能登机而导致的声誉受损。而对我们普通人来说，遇上买了票没登机的几率着实不大，倒是总是晚点更让人闹心。