数学

为什么车不多时也会堵?

堵车只因车太多吗?车少为什么也堵车?怎么解决堵车问题?堵车只能多修路吗?

Maxwellsdemon 发表于  2012-04-25 20:14

大城市的交通,从来都不让人省心。多年的“逆来顺受”,我们已经能坦然面对早、晚高峰这种可以预料的堵车。但是那些突如其来的堵车还是让人抓狂:有时车辆不多、车道平整,既无事故发生也没停顿车辆,车流速度却突然降了下来,甚至整片交通都陷于停滞。往往正是这样的堵车导致你约会迟到。

这种莫名奇妙的堵塞现象被交通专家称为“幽灵堵车”(Phantom Traffic Jams)。为了找出原因,数学工作者们提出了许多的模型,直到物理学家们伸出了援助之手,他们最终找到了答案。故事,让我们从头说起。

早先的研究:跟车模型

交通堵塞是伴随着福特 T 型车出现的。当福特公司采用了现代流水线的生产方式后,汽车的生产效率得到了极大的提高,随之而来的汽车迅速普及也导致了交通状况的恶化。堵车问题一出来就吸引了数学家们的目光,在当时还方兴未艾的系统论和控制论似乎在这个问题上展现了自己的用武之地。为了应用自动控制理论,首先要分析作为车流最小单元的单个车辆的行为。 1950 年,罗伯特•赫尔曼博士基于动力学方法提出了跟车理论,随后到 1953 年学者 Reuschel 和 Pipes 提出完整的数学模型。这一理论的核心内容是驾驶员总倾向于与前方的车辆保持一定的距离,当前方的车辆加速时他会加速跟上,而如果前方的车辆突然减速他也会一同减速以免发生碰撞。但是驾驶员还存在着一定的反应时间T,据此研究人员认为在 t + T 时刻后车的加速度将是 t 时刻两车速度、距离差的函数:

/gkimage/d3/y5/wr/d3y5wr.png

这一理论常用的模型是:

/gkimage/0s/ue/ak/0sueak.png

虽然这一模型在理论上是合理的,同时数学结构也足够完整,但是由于缺乏足够的实验支撑,它在很长一段时间内都被学界质疑。

也许是觉得自己对交通堵塞也负有一定的责任,随后不久,美国通用汽车公司实验室开始对人们在驾车时的行为展开了研究。当时的实验室负责人拉里•霍夫斯塔德请来了赫尔曼博士主持对跟车模型的进一步研究。为了说明这一理论的正确性,物理学家们利用通用汽车公司的优势在试车场搭建了一条环形实验公路进行车流的模拟实验。他们把前车的后保险杠和后车的保险杠用细线连起来,通过后车上携带的轮轴计算两车之间距离,并找来不同的司机进行测试。最终实验结果证明后车的加速度确实与前后车之间的相对速度有很强的相关性,这种关系里还有 1 秒钟左右的时间滞后和一个“获得性因子”,该因子似乎取决于车辆之间的距离。这一结果最终发表在了 1958 年的《运筹学报》上,从此“跟车模型”得到认可。

用流体类比交通状况

但问题还远远没有解决。虽然跟车模型模拟了司机的行为,却无法告诉我们整体的交通状况是怎样的。不过物理学家们注意到,跟车模型中车辆的行为与液体中分子的行为类似,这时自动控制理论让位给了统计物理。1955年,英国学者莱特希尔和惠特曼受跟车模型的启发,将交通流视为由单个“车分子”组成的某种流体,并与实际流体相比较,可以有下面的类比:

/gkimage/gm/dq/3v/gmdq3v.png

所以仿照实际流体可以建立以下方程:

(1)状态方程

/gkimage/9h/ui/mu/9huimu.png

(2)连续性方程

/gkimage/qp/m3/y7/qpm3y7.png

(3)运动方程

/gkimage/y6/pf/x1/y6pfx1.png

如此一来,车流密度的忽高忽低就可以类比为水面的波动。不过在当时,这个理论与实际数据吻合的并不好,这是由于交通流与实际流体仍有一些差别。比如说这一模型没有考虑到速度与惯性的影响。同时这些方程适用的条件是流体处于平衡态,当道路上的车辆不多的时候这一假设还没有什么问题,但当处于交通高峰期的时候(这恰恰是我们经常要分析的情况),这一假设就不太适用了。而且速度与密度的关系也并不像之前假设的那样。但是这一模型最早提出了用流体模型来模拟交通流的思路,从此“车流”不再仅仅只是个比喻,而是实实在在的数学模型。

“爆炸波”模拟交通堵塞

在此之后,车辆的交通流模型又经过了许多次的改进。例如引入高阶连续条件以计算速度与惯性的影响,或是引入液体中的音速与粘度系数等参数,不是把车流比拟为水流,而是把车流比拟为粘稠的蜂蜜或者焦油。这方面最近的一项研究成果就与堵塞的产生与传播有关。来自 MIT 的一个研究小组发现,与惯常所认为的堵塞往往是由某个司机的错误操作引起的不同,即使所有的司机都没有犯错堵塞仍然会产生,这也正是幽灵堵车的原因。由于不同车辆的速度之间往往存在着细小的差别,而这些差别会积累并在某处形成一个车流密度的极大点。他们把超过一定阈值的极大点称为“堵塞子”。这个“堵塞子”移动的速度比车流略慢,而且不会自行消失。这样堵塞就会在队列中传播并逐渐积累,最终发生车流密度的跳变形成一个波峰,所谓的“堵塞波”就这样产生了。下面这个视频就形象地说明了这个过程。通过计算他们发现,这个“堵塞波”的传播方式与爆炸产生的震波非常相似,而它的行为也可以通过某些波动方程加以预测。

实际上,这个理论已经可以应用到实际交通的控制中。采用一种被称作“绿波”的交通模式引导交通可以有效解决文章开头提到的“幽灵堵车”,这一方法的思路是既然车流的密度是像水波那样波动的,那么只要对每一个波包,当其到达路口时给他们绿灯,当高峰通过后再放行其他方向的车辆。这样总体的等待时间就得到了优化。同时这样也对车辆的速度进行了控制,高于平均速度的车辆将被迫等待,而低于平均速度的车辆则会努力赶上波峰。交通流理论是将物理学现有模型应用于跨领域情况的一次成功尝试。随着对这方面研究的深入,也许彻底解决交通拥堵问题的答案就蕴藏其中。

关于“绿波”的细节问题,松鼠会曾详细介绍过: 明天的智能交通

参考资料:

[1] Denos C. Gazis.交通理论的创立。运筹学报,2002(作者是早期通用交通流模型研究小组的成员之一,本文是Operations Research第50卷第1期纪念该杂志发行五十周年的特稿中的一篇,记录了交通流理论早期开拓者的研究经历)

[2] 吴正,低速混合型城市交通的流体力学模型。力学学报,1994

[3] Traffic Modeling - Phantom Traffic Jams and Traveling Jamitons

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全部评论(67)
  • 1楼
    2012-04-25 20:33 foolx

    来杀一个

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  • 2楼
    2012-04-25 20:43 ysc123

    又没杀到

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  • 3楼
    2012-04-25 20:54 Unic豆

    我倒觉得是事故车辆也会造成很大的影响啊
    一路畅通、103.9 应该更有发言权

    [0] 评论
  • 4楼
    2012-04-25 21:53 we_cry 空间信息与数字技术专业

    前五。

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  • 5楼
    2012-04-25 21:58 飞翔的鱼

    前排。
    这才是我喜欢的死理性文章。

    话说,今天有同学说我被果壳毒害了,过分死理性。

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  • 6楼
    2012-04-25 22:12 其人甚远

    有意思

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  • 7楼
    2012-04-25 22:16 亚当吃苹果

    如果实现车辆的自动驾驶,很多问题都会得到解决吧

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  • 8楼
    2012-04-25 22:21 Morgoth

    着让我想起了某国家,为了缓解交通压力增设一条路结果更堵了。后来被迫封了那条增加的路。。。

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  • 9楼
    2012-04-25 22:35 jazkim

    还是某市聪明,为了缓解堵车,大量设置单行道,领导英明啊。。。。。

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  • 10楼
    2012-04-25 22:42 Maxwellsdemon 电子工程专业
    引用@Morgoth 的话:着让我想起了某国家,为了缓解交通压力增设一条路结果更堵了。后来被迫封了那条增加的路。。。

    死理性派@严酷的魔王 同学有过文章说这事

    人家才没有用羊驼君的果壳网自动签名脚本
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  • 11楼
    2012-04-25 23:50 BH4TLU

    这题图。。。是哪里地十字路口啊?

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  • 12楼
    2012-04-25 23:55 cestlaviae

    晚了,晚了,幽灵堵车比较感兴趣

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  • 13楼
    2012-04-26 02:47 Cloudten

    武汉的交通啊……活生生的设计缺陷问题

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  • 14楼
    2012-04-26 04:31 蜜糖玛奇朵

    这个有意思。。。

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  • 15楼
    2012-04-26 06:17 裤叔Kuso

    哟~同样那个转圈圈的视频在上数值流体的时候看过耶~~~

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  • 16楼
    2012-04-26 09:49 cocorico

    ............................成都的禁左转啊......太可怕了

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  • 17楼
    2012-04-26 10:03 April18thzZ

    城市规划预见性太弱,规划不合理,古城没法推倒重建等原因。
    就像帝都怎么拓宽马路都会堵,深圳就基本不堵车

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  • 18楼
    2012-04-26 10:22 tianchao

    我自己都这样想过啊,事实也就这样的。

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  • 19楼
    2012-04-26 10:58 Derek同学 软件工程硕士
    引用@Unic豆 的话:我倒觉得是事故车辆也会造成很大的影响啊
    一路畅通、103.9 应该更有发言权

    这个真有发言权阿,不过貌似也就是几个堵点,西二环,长安街,东二环,北四环西段,入京方向。。。

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  • 20楼
    2012-04-26 11:14 Uroboros

    我们有一教数学建模的老师。。。每次上课就给我们炫耀他做了一个交通管理的数学模型的项目,只要政府采用就再也不会有堵车出现。。。但是政府却没有采用!然后就开始各种愤慨,各种黑政府、黑党国。。。抱怨社会不公。。。

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  • 21楼
    2012-04-26 11:22 snowmark-zhang 电子信息硕士,高校教师,奶爸

    之前做过一个智能交通的项目,实际现在用的方案远比文中的简单,核心只有一个:随车流密度与速度变化的绿波带算法。

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  • 22楼
    2012-04-26 11:35 狼君

    看不太懂耶。

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  • 23楼
    2012-04-26 11:38 Maxwellsdemon 电子工程专业
    引用@snowmark-zhang 的话:之前做过一个智能交通的项目,实际现在用的方案远比文中的简单,核心只有一个:随车流密度与速度变化的绿波带算法。

    写点什么介绍一下吧?

    人家才没有用羊驼君的果壳网自动签名脚本
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  • 24楼
    2012-04-26 12:58 紫墨涟月

    给力啊 必须顶

    [0] 评论
  • 25楼
    2012-04-26 13:24 snowmark-zhang 电子信息硕士,高校教师,奶爸
    引用@Maxwellsdemon 的话:写点什么介绍一下吧?

    简单的说吧,就是让主干道的车流一路绿灯。默认把车流量最大的路作为主路,主路所有绿灯长度一致,将每个绿灯和其后一个绿灯的开始和结束时间用两条平行线连接起来,连线上x轴(时间轴)宽度称为绿波窗口,窗口大小由挨得最近的一组平行线决定。窗口值必须符合y轴(路程轴)除以车辆平均速度的时间t。然后就是把路网按照流线和繁忙程度画成小区,每个小区按测得的车速和车流量配一个绿波带,然后再考虑小区边际节点,也就是两个主路口的交叉点的匹配问题,尽量让多的交叉点绿波能够通。
    额……基本是这样……

    [0] 评论
  • 26楼
    2012-04-26 13:31 snowmark-zhang 电子信息硕士,高校教师,奶爸
    引用@焦糖白兔 的话:城市规划预见性太弱,规划不合理,古城没法推倒重建等原因。
    就像帝都怎么拓宽马路都会堵,深圳就基本不堵车

    深圳的智能交通在亚洲都是前列的,学习了很多日本和澳大利亚的先进经验。

    [0] 评论
  • 27楼
    2012-04-26 15:22 Maxwellsdemon 电子工程专业
    引用@snowmark-zhang 的话:简单的说吧,就是让主干道的车流一路绿灯。默认把车流量最大的路作为主路,主路所有绿灯长度一致,将每个绿灯和其后一个绿灯的开始和结束时间用两条平行线连接起来,连线上x轴(时间轴)宽度称为绿波窗口,窗口大小由挨得最近的一组平行线决定。窗口值必须符合y轴(路程轴)除以车辆平均速度的时间t。然后就是把路网按照流线和繁忙程度画成小区,每个小区按测得的车速和车流量配一个绿波带,然后再考虑小区边际节点,也就是两个主路口的交叉点的匹配问题,尽量让多的交叉点绿波能够通。
    额……基本是这样……

    可以考虑开个日志详细谈谈嘛

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  • 28楼
    2012-04-26 15:27 snowmark-zhang 电子信息硕士,高校教师,奶爸
    引用@Maxwellsdemon 的话:可以考虑开个日志详细谈谈嘛

    不是太了解,不敢乱说。我是负责做计算车流的感应部分的~

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  • 29楼
    2012-04-26 17:09 blog9
    引用@焦糖白兔 的话:城市规划预见性太弱,规划不合理,古城没法推倒重建等原因。
    就像帝都怎么拓宽马路都会堵,深圳就基本不堵车

    深圳不堵?!我承认深圳没有帝都堵,可是现在本地车都突破200w辆了,全市面积才1900多平方公里,何况内四区。再过几年车上路都能把所有路面铺满……

    [0] 评论
  • 30楼
    2012-04-26 17:13 blog9

    每个周一早上8:00左右就听新洲-红荔路口,新洲-莲花路口都是要等3-5个信号周期,梅林关、布吉关进关时间都是30分钟以上,还有北环-南海立交、春风高架、北环转彩田匝道……106.2报一次综合路况5min都说不完啊

    [0] 评论

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