数学

最让人纠结的等式:0.999...=1

最简单最纠结的数学公式得证明,0.999...循环等于1吗?

pondering 发表于  2011-04-06 13:50

0.999... = 1 吗?此问题在国内外大大小小的网络社区里出现了无数多次,每次都能引来上百人激烈的争论,可谓是最经久不衰的老问题了。其实,在学术界里,这个问题也是出了名的争论热点。让我们来看看,数学家们都是怎么来看待这个问题的。

最简单的“证明”

最简单的证明是这样的:1/3 = 0.333...,两边同时乘以 3,1 = 0.999... 。1998 年,弗雷德·里奇曼(Fred Richman)在《数学杂志》(Mathematics Magazine)上的文章《0.999... 等于 1 吗?》中说到:“这个证明之所以如此具有说服力,要得益于人们想当然地认为第一步是对的,因为第一步的等式从小就是这么教的。”大卫·托(David Tall)教授也从调查中发现,不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。仔细想想你会发现,“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致,它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样,“0.333… 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在。问题并没有解决。

另一个充满争议的证明

大卫·福斯特·华莱士(David Foster Wallace)在他的 《Everything and More》一书中介绍了另外一个著名的证明:

令 x = 0.999...
所以 10x = 9.999...
两式相减得 9x = 9
所以 x = 1

威廉·拜尔斯(William Byers)在《How Mathematicians Think》中评价这个证明:“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程,也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程,但是 1 是一个数,过程怎么会等于一个数呢?这就是数学中的二义性⋯⋯他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生,可能还没有真正懂得无限小数的含义,更不用说理解这个等式的意义了。”

逐渐靠谱的证明

等比级数具有这么一个性质:如果 |r| /gkimage/qb/ts/ws/qbtsws.png

那么我们就又有了一个快速的证明:

/gkimage/1z/l7/of/1zl7of.png

这个证明最早出现在 1770 年大数学家欧拉(Leonhard Euler)的《代数的要素》(Elements of Algebra)中,不过当时他证明的是 10=9.999... 。

之后的数学课本中渐渐出现了更为形式化的极限证明:

/gkimage/2g/d6/sp/2gd6sp.png

1846 年,美国教科书《大学算术》(The University Arithmetic)里这么说:在 0.999... 里,每增加一个 9,它都离 1 更近。1895 年的另一本教科书《学校算术》(Arithmetic for School)则说:如果有非常多的 9,那么它和 1 就相差无几了。意外的是,这些“形象的说法”却适得其反,学生们常常以为 0.999... 本身其实是比 1 小的。

随着人们对实数更加深入的理解,0.999... = 1 有了一些更深刻的证明。1982 年,巴图(Robert. G. Bartle)和谢波特(D. R. Sherbert)在《实分析引论》(Introduction to Real Analysis)中给出了一个区间套的证明:给定一组区间套,则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中;0.999... 对应于区间套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] ... ,而所有这些区间的唯一交点就是 1,所以 0.999... = 1。

弗雷德·里奇曼的文章《0.999... 等于 1 吗?》里则用戴德金分割给出了一个证明:所有比 0.999... 小的有理数都比 1 小,而可以证明所有小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999... (因而小于 0.999... ),这说明 0.999... 和 1 的戴德金分割是一模一样的集合,从而说明 0.999... = 1 。

格里菲思(H. B. Griffiths)和希尔顿(P. J. Hilton)在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中,用柯西序列给出了另一个证明。

从未停止过的讨论

尽管证明越来越完备,学生们的疑惑却从来没有因此减少。在品托(Pinto)和大卫·托教授的一份调查报告中写到,当学生们用高等方法证明了这个等式之后,会大吃一惊地说,这不对呀,0.999… 显然应该比 1 小呀。

在互联网上,这个等式的魅力也依然不减。辩论 0.999… 是否等于 1 被讨论组 sci.math 评为“最受欢迎的运动”,各类问答网站中也总是会有网友激烈的讨论。 诺贝尔奖获者费曼(Richard Feynman)也用这个等式开过一句玩笑。有一次他说到:“如果让我背圆周率,那我背到小数点后 762 位,然后就说 99999 等等等,就不背了。”这句话背后有一个很奇怪的笑点:从 π 的小数点后 762 位开始,出现了连续的 6 个 9,偏偏在这里来一个“等等等”,就会给人感觉好像后面全是 9,这相当于把 π 变成了一个有限小数。此后,π 的小数点后 762 位就被戏称为了费曼点(Feynman Point)。

热门评论

  • 2011-04-06 15:28 Ent 古生物学博士生,科学松鼠会成员

    ”x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间“
    能理解这句话的人也不用担心弄不明白这个问题了……

    [57] 评论
  • 2011-04-06 15:51 黑色里的微笑

    确实哦,0.9999....代表的是一个过程,代表的是无限接近1,这个过程不能停下来,一旦停下来,就成了有限的接近1。

    [45] 评论
  • 2011-04-06 15:08 赵承渊 医学博士,科普作者,外科医生

    作为数学白痴,我早就被1/3那个证明说服了

    [24] 评论

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全部评论(431)
  • 1楼
    2011-04-06 14:35 Ent 古生物学博士生,科学松鼠会成员

    看到"最受欢迎的运动" 笑了……

    记得我第一次琢磨这个问题是在初三,被数学老师的1/3理论说服了……后来等比级数的貌似也见过。上高数的时候区间套又接触了一次。9x、柯西序列和戴德金的都没见过……(坑爹的高数根本不讲戴德金,我都忘了在哪学的了……)

    [8] 评论
  • 2楼
    2011-04-06 15:08 赵承渊 医学博士,科普作者,外科医生

    作为数学白痴,我早就被1/3那个证明说服了

    [24] 评论
  • 3楼
    2011-04-06 15:11 凌风牧云 药学博士生,计算机辅助药物设计

    话说以前也想过的,并且始终想不通
    总会觉得有一个0.0……1和0.999……相加才能是1
    所以我更倾向于去相信,这是一个过程和结果的比较,不是同一个东西,就不能用来比较
    但又一想,确实找不到一个比1小又比0.999……大的数不是么
    总之这是个非常让觉得纠结的问题

    [9] 评论
  • 4楼
    2011-04-06 15:15 Derek同学 软件工程硕士

    也就只有死理性派才会探讨这个了 :-D

    [2] 评论
  • 5楼
    2011-04-06 15:28 Ent 古生物学博士生,科学松鼠会成员

    ”x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间“
    能理解这句话的人也不用担心弄不明白这个问题了……

    [57] 评论
  • 6楼
    2011-04-06 15:29 推倒

    有深意

    [0] 评论
  • 7楼
    2011-04-06 15:30 TMD

    1.如果借助第三个数来进行验证好像是比较不出差别,但这样就可以说明1和0.999....两者间相等了吗?
    2.“所有比 0.999... 小的有理数都比 1 小,而所有小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999...”这个好像有点问题吧? 这个说法是建立在0.9999....=1的基础上的,而现在又用来证明0.9999.....=1, 不会成为循环论证吗? 如果不知道0.9999.....是否等于1, 则所有小于1的有理数就有可能包括0.9999.....了。

    [3] 评论
  • 8楼
    2011-04-06 15:47 TMD
    引用 Ent 的回应:”x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间“能理解这句话的人也不用担心弄不明白这个问题了……

    但是这是对于“等于”的定义吗?两个数间放不进东西只能证明无限贴近,但不代表重合吧?

    [5] 评论
  • 9楼
    2011-04-06 15:51 黑色里的微笑

    确实哦,0.9999....代表的是一个过程,代表的是无限接近1,这个过程不能停下来,一旦停下来,就成了有限的接近1。

    [45] 评论
  • 10楼
    2011-04-06 16:11 幾小米

    这世上总是有很多像1L那样的装逼犯....我通常把脑残的人和这种装逼的化为一类人,统称为...算了...不吐槽了

    [7] 评论
  • 11楼
    2011-04-06 16:13 东东躲西藏

    纠结的数字 那么1-0.99999……后面会有0.0000……00001吗?

    [0] 评论
  • 12楼
    2011-04-06 16:25 comein 无机化学硕士生,DIY爱好者

    “x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间(比如x和y的算数平均数),而0.999...和1之间显然插不进新的数了。 ”
    这个赞唉

    [0] 评论
  • 13楼
    2011-04-06 16:27 焖烧大排 环境工程硕士

    无限趋近就是相等吧~忘了高中学极限的时候是怎么推导的了~

    [0] 评论
  • 14楼
    2011-04-06 16:55 鴨頭綠

    我只知道我看得头痛了。

    [0] 评论
  • 15楼
    2011-04-06 17:04 jcw214

    很同意这个说法

    引用 Derek.Ye 的回应:也就只有死理性派才会探讨这个了 :-D
    [0] 评论
  • 16楼
    2011-04-06 17:08 一毛

    数学盲路过
    首先想到的是物理上的“测不准原理” 数字“1”本身 并不是个绝对的量 一只苹果叫1 一堆苹果也叫1 没有“1”这个基准 所谓的0.99999......也不会有意义 就像用一把尺去度量它自身的长度

    另外,在1=0.999.....的基础上 就有1-1=1-0.999...... 即0=0.00......1 ,这是不是有点像道家的“无中生有”?

    [3] 评论
  • 17楼
    2011-04-06 17:16 sider

    确实很纠结

    [0] 评论
  • 18楼
    2011-04-06 17:24 pondering
    引用 Ekoms 的回应:M67那里有个很简单的证明:

    x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间(比如x和y的算数平均数),而0.999...和1之间显然插不进新的数了。


    恩,加一句著名数学Geek Matrix67曾于半夜偶得一解

    [1] 评论
  • 19楼
    2011-04-06 17:24 落日六号领航员

    除了戴德金分割那个其他上课时都见过,还是觉得0.99999.....和1不等。。。

    [0] 评论
  • 20楼
    2011-04-06 18:09 jianjunjie

    1/3理论...

    [0] 评论
  • 21楼
    2011-04-06 18:12 小魔怪

    我茫然了...

    [0] 评论
  • 22楼
    2011-04-06 18:14 gltjk

    感觉到后面都直接用实数完备性的定义在证明了。。

    否认0.999...=1就是否认实数的完备性吧。。

    [1] 评论
  • 23楼
    2011-04-06 18:20 许凉。

    我纯洁的笑了

    [0] 评论
  • 24楼
    2011-04-06 18:30 春哥纯爷们

    ε-N定理啊,很好证明

    [0] 评论
  • 25楼
    2011-04-06 18:32 Sheldon 理论物理博士,科学松鼠会成员

    费曼这个坏蛋!

    [2] 评论
  • 26楼
    2011-04-06 18:39 二宜

    然后呢,我一直在纠结这个问题…………

    [1] 评论
  • 27楼
    2011-04-06 18:57 眼镜崽崽

    1-0.999...=0,而不是0.000....1因为0.999...是无限循环小数,9没有尽头,也就不存在所谓“无限个零后面有个一”,就是0.000...=0

    [1] 评论
  • 28楼
    2011-04-06 19:09 看上去腐的死宅
    引用 Ekoms 的回应:M67那里有个很简单的证明:

    x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间(比如x和y的算数平均数),而0.999...和1之间显然插不进新的数了。

    这里的0.999...应该理解为一个趋势(一个无限接近1的趋势)不是一个数。

    0.999... = 1
    0.999...理解为一个趋势(一个无限接近1的趋势)

    0.999... ≠ 1
    0.999... 为0后面有有n个9的话
    n为正整数,n→∞且不存在n+1,
    且∞定义为不存在比∞大的数。
    前面几个证明很容易就可以给出反证
    例如:
    a=0.999…=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……9*10^(-n+1)+9*10^(-n)

    10a=9+9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n+1)

    10a-a=9a=【9+9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n+1)】
    -【 9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n+1)+9*10^(-n)】

    9a=9-9*10^(-n)

    a=9a/9=【9-9*10^(-n)】/9
    =1-10^(-n)
    =9*10^(-1)+9*10^(-2)+……9*10^(-n+1)+9*10^(-n)

    重点就是0.999....是看做一个数还是一个趋势

    [10] 评论
  • 29楼
    2011-04-06 19:11 凡尘游

    从来就没明白过

    [0] 评论
  • 30楼
    2011-04-06 20:05 蜗牛Nim

    别纠结了
    因为 1/3 = 0.3循环是错的!1/3≈0.3循环
    所以 1≈0.9循环

    [0] 评论

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