数学

复活节闲扯:一场激动人心的数学公开挑战赛

物体沿怎样的曲线下滑最快?最速降线问题 复活节挑战智力

aifreedom 发表于  2011-04-24 07:55

最速降线问题

“想象一个小球,仅受重力,从点 A 出发沿着一条没有摩擦的斜坡滚至点 B。怎样设计这条斜坡,才能让小球在最短的时间内到达点 B?”

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这个在数学史上被称为“最速降线”的知名问题,最早是由著名的意大利科学家伽利略(Galileo Galilei)于 1630 年提出来的。他在研究后认为最速降线应该是圆弧,但可惜的是这个答案并不是正确的。时间又过了 60 多年,1696 年 6 月,来自瑞士巴塞尔(Barsel,这座城市不仅是数学世家伯努利的故乡,也是欧拉的故乡,有一个由欧拉解决的著名数论问题就是以这座城市命名的)的约翰・伯努利(Johann Bernoulli)在《教师学报》(Acta Eruditorum)上又重新提出这个问题,并向全欧洲的数学家提出公开挑战。这个别出心裁却又十分容易理解的问题吸引了当时全欧洲的数学家,而最后给出了正确解答的人也都是数学史上赫赫有名的巨人。这也让这次挑战成为了数学史上最激动人心的一场公开挑战。

数学家之间公开挑战的传统要追溯到 16 世纪在意大利的博洛尼亚(Bologna)。16 世纪初的博洛尼亚曾是欧洲数学思想的大熔炉,全欧洲的学生都会来到博洛尼亚大学。他们甚至还“发明”了一项新的观赏运动——数学比赛。这听起来有些匪夷所思,但在当时确实有大批的观众从各地涌来,围观数学家们互相之间用数学斗法。其中最有名的一次,是在塔塔里亚(Tartaglia)和费奥(Fior)间上演的,是一场关于求出一元三次方程通解的世纪智力大战。

言归正传,在约翰・伯努利发出挑战后的半年里,他收到的唯一一份答案来自《教师学报》的主编,他的老师莱布尼茨(Gottfriend Wilhelm Leibniz)。在莱布尼茨的要求下,他将接受答案的最后期限推迟到 1697 年的复活节,以便有更多的数学家能参与到这场挑战中来。

我们都知道,过两点的直线段是两点间的最短路径。但使质点的运动时间最短的运动轨迹,却不是那么的显而易见。这个问题和以往人们见过的那些求极值的问题是有本质区别的。借助微积分,人们可以求出一个函数的极值;但最速降线问题要求的并不是某个传统函数的极值点,而是要在一簇曲线(过 A、B 两点的所有曲线)中,求出能让质点运动时间最短的那条。这是一个以函数(小球的运动轨迹)为自变量,以实数(小球运动的时间)为函数值的函数,也就是所谓的泛函。我们要求的就是这样一个泛函的极值。正如后文将要介绍的那样,这类问题形成了一个全新的数学分支——变分学。

1697 年的复活节很快就到了,约翰・伯努利一共收到了五份正确答案。这五份答案分别来自他自己,他的老师莱布尼茨,他的哥哥雅各布・伯努利(Jakob Bernoulli),他的学生洛必达(Guillaume Francois Antonie de L'Hospital),还有一位来自英国的匿名数学家。最后这份答案虽然没有署名,但显然出自赫赫有名的牛顿(Issac Newton)之手。虽然五人的解法各不相同,但他们的答案全都一样——最速降线就是摆线。

同一个答案

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所谓摆线(cycloid),就是当圆沿一条直线运动时,圆周上一定点所形成的轨迹。其实当时的数学家对这种曲线并不陌生,帕斯卡和惠更斯都曾研究过这一重要的曲线。但大部分人都没有想到,这条线同时也是人们苦苦追寻的最速降线。

而我们大家对摆线也不陌生。还记得小时候玩过的那种能够画出各种漂亮曲线的玩具吗?一块塑料板上开着几个圆形的大洞,还有几块较小的圆形塑料片,不同半径处留有一些孔。把这些看似普通的小圆片放进大圆孔中,再将圆珠笔插在小孔里并带动小圆片沿着大圆的圆周运动,就能在纸上留下各种美丽的曲线。这些曲线也都是摆线,只不过是另一种被称为“内摆线”(hypocycloid)的摆线。它们是由给定圆在另一个圆内运动时,圆周上一定点形成的轨迹。

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不同的解法

让我们回到众人给出的最速降线的解法上。莱布尼茨、牛顿、洛比达都是用他们擅长的微积分来解决这个问题的。伯努利兄弟的解法就值得特别地说一说了。

约翰的解法应该是最漂亮的解法了。他利用了费马原理(Fermat's principle),将小球的运动类比成光线的运动。费马原理又叫做“最短光时”原理,说的是光线在传播时总会选择光程极短的那条路径。那么,“最速降线”就是在光速随高度下降而增加(加速度恒为重力加速度 g)的介质里光线传播的路径。用这样的类比思想,约翰成功地算出了这条曲线就是前面提到的摆线。

这种解法出人意料地用到了费马原理,实在是太巧妙了!在物理学中,费马原理被认为是“最小作用量原理”(principle of least action)在几何光学中的特例。 而最小作用量原理则是物理学定律普遍遵循的规律,甚至被称为“物理定律的定律”。

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不知你想过没有,当我们将一个小球抛出后,它为什么会沿着所谓的抛物线运动?你可能会说,因为小球只受重力作用,根据牛顿第一定律,它在水平方向上速度恒定不变;而根据牛顿第二定律,它在竖直方向上做匀变速运动。这两个运动合起来就使得小球的运动轨迹成了一条抛物线。

这确实不错,但现在让我们换一个角度来考虑这个问题。从整体的角度考虑,小球在被抛出后,为什么不沿着其他的路径运动,却总是沿着抛物线运动呢?同样,我们在考察了连接小球起点和终点的所有曲线后,会发现只有在沿着抛物线运动时,小球的动能和势能的差在运动过程中对时间的积分(这就是所谓的“作用量”)才是最小的。注意,在这里我们同样是在一簇曲线中,求出一条曲线使得某个量达到极值。这种在一簇曲线中,求出某条曲线使得函数取到极值的思想就是变分的核心思想。也就是说,我们又是在用变分求泛函的极值。

再回过头来看看约翰・伯努利的哥哥——雅各布・伯努利的解法。虽然雅各布的解法相对于约翰的解法来说更复杂更麻烦,但他的解法更具有一般性,体现了变分的思想。约翰的学生,伟大的数学家欧拉吸收了这一思想,并从 1726 年开始发表相关的论文,最终于 1744 年首先给出了这类问题的解法,并创立了变分学这一新的数学分支。投资者用它来计算最大利润,工程师用它来计算最小损耗,建筑师用它来优化架构。它成为了微积分理论中最强大的工具之一。

热门评论

  • 2011-04-24 10:45 颠颠颠三倒四

    看到那五份正确答案的作者,我无语了……

    [15] 评论
  • 2011-04-24 13:03 Fangio

    《周礼·冬官考工记》:“轮人为盖……上尊而宇卑,则吐水疾而溜远。”
    做车轮的工匠也做车盖,车盖的作用就是尽快将雨水排出。而出土文物显示,车盖的形象正是中国传统建筑大屋顶的形象。由此可以推想旋轮线与中国传统建筑屋面曲线之间存在的关系。

    [5] 评论

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全部评论(154)
  • 1楼
    2011-04-24 08:54 酵母君

    [2] 评论
  • 2楼
    2011-04-24 09:21 sqybi 计算机科学与工程专业本科生,口琴控,动漫迷

    来顶AI的文了。。

    [0] 评论
  • 3楼
    2011-04-24 09:22 聊斋 生物技术专业

    强大的数学

    [0] 评论
  • 4楼
    2011-04-24 09:25 LenenTom

    Perfect!

    [0] 评论
  • 5楼
    2011-04-24 09:26 LenenTom

    第二个图好象是维基百科的

    [0] 评论
  • 6楼
    2011-04-24 09:50 Destiny.Sky

    沙发果然木有了....我就飘过吧~

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  • 7楼
    2011-04-24 09:53 KittMo

    用费马原理太精妙了!

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  • 8楼
    2011-04-24 09:58 physixfan 数学物理控

    进来顶一下~

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  • 9楼
    2011-04-24 10:04 科学电子猫

    数学就要这样才有意思

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  • 10楼
    2011-04-24 10:07 严酷的魔王 统计学专业本科生,数学控
    引用Destiny.Sky的回应:沙发果然木有了....我就飘过吧~

    你来晚了~

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  • 11楼
    2011-04-24 10:39 yux 环境工程专业,图书主编

    意犹未尽

    [0] 评论
  • 12楼
    2011-04-24 10:45 颠颠颠三倒四

    看到那五份正确答案的作者,我无语了……

    [15] 评论
  • 13楼
    2011-04-24 11:47 方程 应用数学专业

    请问我可以这样理解么:在四维时空中的所有物体会沿着它在时空中最短的路线“直线”运动。

    [0] 评论
  • 14楼
    2011-04-24 12:01 啊哈哈哈捞星星

    用费马原理的想法简直太奇特了……普通人就只能在求泛函的极值上被卡死了……

    [0] 评论
  • 15楼
    2011-04-24 12:04 Sheldon 理论物理博士,科学松鼠会成员

    求解法详情

    [1] 评论
  • 16楼
    2011-04-24 12:05 连博连博 作物遗传育种硕士生

    除了八卦对此文基本不能看懂。。。
    那个塔塔利亚的名字听过,《教父》里。。。

    [0] 评论
  • 17楼
    2011-04-24 12:21 A-

    是啊,为什么将物体抛出,它会自然延抛物线运动呢?它会自己选择?一种自然淘汰法吗?那是因为它只受两个力吧,由两个力的作用形成的吧。物质会选择最适合自己的方式存在吗?那么存在的就是最好的形式吗?那么以后只要对现在存在的事物做研究就可以啦?或者当我们不知道怎样做时,可以让物质自由去发展,反而会找到最合适的方法吗?期待有人回应啊。那不会是最长的路线吧。哈哈!

    [1] 评论
  • 18楼
    2011-04-24 12:22 amber2076

    数学作为研究科学最基本的工具有着非常重要的作用,生活离不开数学

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  • 19楼
    2011-04-24 12:25 壳牌花生奶

    看到他们5个人的名字就凌乱了。。。

    [1] 评论
  • 20楼
    2011-04-24 12:35 海马体

    Excellent !!!

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  • 21楼
    2011-04-24 12:38 白秋城

    看到这几个名字就燃烧了……

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  • 22楼
    2011-04-24 13:03 Fangio

    《周礼·冬官考工记》:“轮人为盖……上尊而宇卑,则吐水疾而溜远。”
    做车轮的工匠也做车盖,车盖的作用就是尽快将雨水排出。而出土文物显示,车盖的形象正是中国传统建筑大屋顶的形象。由此可以推想旋轮线与中国传统建筑屋面曲线之间存在的关系。

    [5] 评论
  • 23楼
    2011-04-24 13:06 AtheraLee

    求约翰兄弟的详细解法。。

    [2] 评论
  • 24楼
    2011-04-24 13:08 lawakaha

    擺線

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  • 25楼
    2011-04-24 13:11 moot

    这么说起来,中国古建筑的屋顶的孤度,不只是美观,而是有实用性。

    [2] 评论
  • 26楼
    2011-04-24 13:21 Metaverse 录音爱好者,万有青年养成计划入围选手

    优雅……

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  • 27楼
    2011-04-24 13:51 Shiva_guokr

    看那五个人名字凌乱中。。。。。。

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  • 28楼
    2011-04-24 14:13 justin

    cool

    [0] 评论
  • 29楼
    2011-04-24 15:23 transit

    身为工科研究生,木学过泛函鸭梨好大

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  • 30楼
    2011-04-24 16:03 未知量

    我是来看那5个人的。。。。。。

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