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骗小女生的神器:计算器上的五个小把戏

计算器不但是帮助大家计算的工具,也是很多数学小游戏施展的绝佳场所。如果你手边正好有一台科学型计算器的话,就跟着我们一起来玩一玩吧。如果你手上没有计算器,用 Windows 自带的计算器也行。

圆周率乱入

把计算器的角度运算设定为角度制(Deg)。输入 55555555 并按下“1/x”(或者直接输入 1 ÷ 55555555),再按下 sin。你会发现,屏幕上会显示 3.1415927 × 10 -10 ,这几个数字正好是圆周率的前几位。如果你还嫌不精确,第一步再多按几个 5 试试。

这并不是巧合。注意到 1/180 = 0.00555555... ,换句话说 55555...55 (连续 n 个 5 )的倒数就近似于 180 × 10 -n-2 。另外,当 x 很小很小的时候,sin(x) 会与 x 非常接近,但在角度制中,我们必须写作 sin(x) ≈ (π/180) x 。因此,sin(1/555..55) ≈ (π/180) × (180 × 10 -n-2 ) = π × 10 -n-2

神秘的 12345679

在计算器上输入 12345679(注意,没有 8)。叫你的朋友在 1 到 9 之间选择一个最喜欢的数。假设你的朋友选了数字 5 吧。然后在计算器上按 × 5,计算器上将会显示一个很奇怪的数——61728395,就好像魔术表演失败了一样。别急,再按一下 × 9,奇迹就出现了:计算器上将会显示出 555555555。

这是因为,111111111 正好可以分解成 12345679 × 9,因而 12345679 × 5 × 9 就等于 111111111 × 5 了。可能有的读者会问,为什么因数 12345679 里偏偏少一个 8 呢?难道 12345679 这个数仅仅是一个巧合?不是的。12345679 大有来头,死理性派以后慢慢道来。

又见 0.618

在你的计算器上输入 1,然后不断地按 “+”、“1”、“=”、“1/x”、“+”、“1”、“=”、“1/x”⋯⋯不一会儿,你就会发现,计算器上显示出越来越精确的黄金分割值:0.6180339887...。

这是因为,黄金分割有一个连分数表达:

/gkimage/ks/87/i7/ks87i7.png

我们可以证明,上述连分数就是黄金分割。令

/gkimage/zh/ci/lk/zhcilk.png

则有等式

/gkimage/e2/bj/xk/e2bjxk.png

可以解得

/gkimage/q6/k3/e9/q6k3e9.png

类似地,在你的计算器上输入 2,然后不断地按 “+”、“2”、“=”、“1/x”、“+”、“2”、“=”、“1/x”⋯⋯等到什么时候按累了,就按下“+”、“1”收尾。你会发现,计算器上显示着根号 2 的精确值:1.41421356... 。

这也是因为,根号 2 有一个连分数的表达:

/gkimage/to/pc/6h/topc6h.png

cos 的不动点

把计算器的角度运算设定为弧度制(Rad)。在计算器上随便输一个数,然后不断按 cos 键。你会发现,不管你最初输入的是什么数,如此按下去的最终结果总会是一个固定的值——0.739085...。

这个点就是函数 y=cos(x) 和 y=x 的交点,也就是 cos(x) = x 的唯一解。

/gkimage/e1/lo/kf/e1lokf.png

一个小魔术

让你的朋友在计算器上输入一个他喜欢的三位数,然后叫他把这个数乘以 91。让他把结果的前面部分用手指挡住,只露出结果的最后三位给你看。你便能立即说出你的朋友一开始输入的那个三位数。比方说,你的朋友选择了 516,则计算器上会显示 516 × 91 = 46956。你只看到 956 三个数字,便能很快猜出原数 516 来。

你的做法很简单:只需要把 956 再乘以 11,结果的最后三位就变回原数了。956 × 11 = 10516,末三位正好是 516。而乘以 11 是可以心算的,只要错位相加就可以了。

这个小魔术的原理很简单。91 × 11 = 1001,而任意一个三位数乘以 1001 后末三位都不会变。你的朋友把原数乘了 91,你再把结果(的末三位)乘以 11,相当于你们合作把原数乘以了 1001,末三位自然就和原来一样了。

The End

发布于2011-04-30, 本文版权属于果壳网(guokr.com),禁止转载。如有需要,请联系果壳

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matrix67

数学狂

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