欧洲杯决赛近在咫尺，在这个关键时刻，又一只队伍倒在了 12 码。自古无数豪门，一遇点球都歇菜。点球大战之所以可怕，就在于它充满变数和意外，这种变数对那些飞奔了 120 分钟的球员来说，实在是沉重的心理负担。当球员走上点球点时，他会选择把球射向哪边？而守门员又会扑向哪边？这无疑是一场博弈，经济学家和统计学家对此就做过不少研究。
从未罚失过点球的巴洛特利罚球瞬间
经济学家的研究
在观看过法国与意大利国内联赛中共 459 个点球的录像后，《魔鬼经济学》作者 Steve Levitt 与他的朋友一起撰写了一篇关于点球的论文。他们觉得，测试现实世界中的博弈理论能让他们获得独特的视角，而点球恰好就是博弈论在现实世界中的最典型的例子。
就和猜硬币一样，始终选择同一个方向显然是不明智的——对方只要知道你的模式，就可以用相应的策略打败你。搬弄一下博弈论的术语，就是“纯策略不是最优策略”。永远选择同一个方向的纯策略很直观，最优策略解释起来就有点麻烦。简而言之就是说，在对方知道你的策略的前提下跟你玩，你选择某个策略比选择其他策略收益都高，那么这个策略就叫最优策略。
但是，如果对方知道你的策略，难道不是总能找出应对立于不败之地么？那么，我们来看看一个叫“混合策略”的做法：罚球员的策略是扔一个骰子，然后 1/3 的概率选择三个方向之一。即使守门员知道罚球员是扔骰子决定的，他也没办法选择该扑哪个方向；而无论他怎么选，最后都是 1/3 概率扑中， 2/3 概率扑不中，最后结果是罚球员可以拿到2/3*1=2/3分。这比罚球员选择只踢左边的纯策略要好得多：守门员知道罚球员选择这样的纯策略的话，就可以每扑方向必中，这无疑就大大提高了扑出的概率。
在博弈论里，但凡这种带有随机决定的策略，都称作混合策略。不同的概率分布对应不同的混合策略：例如罚球员可以选择2/3概率踢左边，1/3概率踢右边的混合策略——当然这样的话守门员只要选择只扑左边，就可以以2/3概率扑对方向，所以这样的策略就不如刚才说的那种混合策略。如果考虑纯策略和混合策略的话，所有零和游戏里必然所有人都有最优策略，而所有人都执行相应最优策略的情况，则被称为纳什均衡。
当然，实际点球可不会这么简单。最重要的一点在于，无论选对还是选错方向，球都不是必进或必不进的。根据 Steve Levitt 论文里的统计数据，球员向惯用的左侧踢球比向右侧的进球率高：球员向左侧踢球的话，守门员即使选对了也有 63.6% 的概率进球；向右则是 43.7%。而守门员选错的情况也不是必进的，根据罚球员向左还是向右踢有 5% 和 10% 的概率不进球。
如果把这一点应用在模型上，虽然具体数据有所差异，但模型表现和上面说的那个简单模型是类似的——守门员和罚球员都存在唯一的最优策略，而且这个策略是一种混合策略。但是，根据具体的进球率数值不同，选择哪种混合策略的概率也会有所不同。
靠小纸条能赢得点球大战吗？
（接上图）巴洛特利点球罚中
不过经济学家的研究终归是纸上谈兵。实际上，无论选择什么策略，在选择的时候球员并没有办法判断这个策略是好是坏。这也是每逢关键时刻，总有人走上点球点，深呼吸，然后立刻崩溃的原因。
既然是选择什么策略最好是如此的不靠谱，那么统计球员罚球习惯或许更加靠谱。在 2006 年世界杯四分之一决赛，德国对阵阿根廷的点球大战上，一张小纸条送阿根廷回了老家。在那张提前准备好的小纸条上，记载了阿根廷一些可能主罚点球的球员倾向性：
无独有偶，还记得 08 年，莫斯科那场大雨吗？在切尔西对阵曼联的决赛点球大战之前，切尔西球员也准备一张“小纸条”，他们不仅统计了曼联队友的罚球习惯，甚至统计了曼联门将范德萨的扑救特点。不过这次小纸条却没能发挥神奇效用，切尔西不幸输掉了点球大战。直到 4 年后的欧战决赛，切尔西在点球大战中轻松战胜了几乎崩溃的拜仁。
在我们日常的行为中，如果出现了零和博弈的情况，一个比较传统的方法是分析对手的行为习惯，根据统计结果选择策略。在之前提到的研究中，Steve Levitt和他的合作者们发现，样本显示对于对方踢过来的8个点球，有一位守门员全部都选择向左扑救，而在这8个点球中只有2个是朝向左边的，也就是说，对方球员注意到了他倾向于向左扑救。但他们也同时指出：在我们的样本中没有一个球员在 4 次以上的罚球过程中永远朝着同一个方向射门。
说了这么多，或许你早就发现真正的规律就是没有规律。如果不是被吓坏了，那么莱曼的那张小纸条其实也没大用。如果双方在120分钟不能凭实力解决战斗，到了点球大战，那就只能“尽人事听天命”了。
参考资料：
[1] Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer
[2] 《足球经济学》