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【果壳网专访】哈洛德•贺欧夫各特:彻底证明弱哥德巴赫猜想

陶哲轩是谁?最近十年最有名的数学家?强哥德巴赫猜想是什么?最困难的数学证明题?

方弦 发表于  2013-09-16 14:00

哈洛德•贺欧夫各特(1977年 -),秘鲁数学家。2013年5月13日,贺欧夫各特在网络上发表两篇论文,宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。

“任一大于 2 的整数都可以写成三个质数之和。”271 年前,德国人哥德巴赫告诉欧拉这句话时,可能自己也没想到一下就在解析数论这个领域挖了一个东非大裂谷级别的“坑”。

那时 1 还是素数。如今数学界已不用这个约定,原话用现在的语言来表示是,“任一大于 5 的整数都可写成三个质数之和。”

欧拉后来回信哥德巴赫,说这句话可以更简洁——“任一大于 2 的偶数都可写成两个质数之和”。后人将这句话记为“1 + 1”。这个表述如此简单,以至于很多业余爱好者也想在这个问题上一展身手。但它实际上却是那么难,出现之后的 160 年里,没有任何进展。1900 年希尔伯特在第二届国际数学大会提到它后,又重新燃起数学家们挑战和解决它的热情。

然而,至今也没有人证明哥德巴赫猜想。

不过,数学家们已经从 271 年前的出发点走的很远了。从上面关于偶数的哥德巴赫猜想,又可以推出:

任一大于 5 的奇数都可写成三个素数之和。

这被称为“弱哥德巴赫猜想”。1923 年,英国数学家哈代与李特尔伍德证明,假设广义黎曼猜想成立,弱哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的。

1937 年,苏联数学家伊万•维诺格拉多夫更进一步,在无需广义黎曼猜想的情形下,直接证明了充分大的奇数可以表示为三个素数之和,被称为“三素数定理”。不过他无法给出“充分大”的界限。他的学生博罗兹金于 1939 年确定了一个“充分大”的下限:314348907。这个数字有 6846169 位,要验证比该数小的所有数完全不可行。

1995 年,法国数学家奥利维耶•拉马雷证明,不小于 4 的偶数都可以表示为最多六个素数之和。莱塞克•卡涅茨基证明了在黎曼猜想成立的前提下,奇数都可表示为最多五个素数之和。2012年,陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。

2013年5月13日,法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德•贺欧夫各特,在线发表两篇论文宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。贺欧夫各特在文章“Minor arcs for Goldbach's problem”中,给出了指数和形式的一个新界。在文章“Major arcs for Goldbach's theorem”中,贺欧夫各特综合使用了哈迪-利特伍德-维诺格拉多夫圆法、筛法和指数和等传统方法,把下界降低到了1030左右,贺欧夫各特的同事 David Platt 用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想,从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。

哈洛德•贺欧夫各特出生在秘鲁,高中毕业后获得了美国大学的奖学金,后在普林斯顿大学读博士,2003年获得博士学位,目前在巴黎研究数学。果壳网前不久对他进行了一次采访。


证明弱哥德巴赫猜想

果壳网:你最近宣布证明了弱哥德巴赫猜想,能简单介绍一下这个猜想以及你的工作吗?

贺欧夫各特:对的,希望我没有搞错吧(笑)。

有两个哥德巴赫猜想:弱哥德巴赫猜想和强哥德巴赫猜想。强哥德巴赫猜想成立,弱哥德巴赫猜想就成立。如果每一个大于 2 的偶数都可以写成两个素数的和,那对于任意的一个大于 5 的奇数,减去 3 之后就是一个偶数,可以写成两个素数的和。

19 世纪的数学家只能做点手工验算。对于强哥德巴赫猜想,他们验算到了大约两百万。用这个结果,他们将弱哥德巴赫猜想验算到了十亿。怎么做的呢?写出从 3 到大概十亿的一串素数,相邻两个素数之间相差不到两百万。用这条“素数天梯”就能验算弱哥德巴赫猜想。对于任意十亿以下的奇数,我们只要找出素数天梯中恰好比它小的素数,它们的差一定是个不超过两百万的偶数,所以能写成两个素数的和。也就是说,这个奇数能写成三个素数的和。虽然这个方法不错,但只靠手算的话,推进不了多远。

真正的进展始于 20 世纪。不过罗兹金给出的 314348907 实在太大。陈景润和王天泽将常数改进到了大概 10 的 30000 次方,或者是 20000,我记太清了。陈景润就是那位证明了充分大偶数可以表示为一个素数和一个至多只有两个素因子的所谓“殆素数”的和的数学家,我想你们的读者应该对他很熟悉。他们改进的常数比维诺格拉多夫的要好得多,但还远远不够。

后来又有一位中国数学家(指香港大学的廖明哲——编者注),将常数改进到了 10 的大约 1300 次方。这挺好,但也不够。

即使能将常数减小到 10 的 100 次方,还是不够。这个数比宇宙中所有的粒子数再乘以自大爆炸以来的秒数还要大。计算机很难在足够短的时间内将猜想验证到 10 的 100 次方。所以,我们要做的就是将常数降低到计算机能处理的范围。

2005 年我开始关注这个问题。在此之前,我看过维诺格拉多夫的证明,那时我就意识到要将常数降得很低,我当时能将它降到 10 的 100 次方,但这对猜想的完全证明没有决定性作用。

从 2006 年左右开始,我一点点地去做这个问题,发掘不同的小想法。也有别人在干类似的事。大概一年半前,陶哲轩证明了每个奇数都可以写成最多五个素数的和。从这个节奏来看,我要赶紧点,当时可能我也有些毛了(笑)。所以从去年开始,我就放下了手头上别的工作,加班加点把所有的小想法拼在一起。最后我发现它们能行得通,这无疑很棒。

我把常数降低到了 10 的 29 次方。实际上还可以降低到 10 的 27 次方,但这没什么意义,因为我们的程序已经能验证到大概 8 × 1030,比实际需要的还高 80 倍,再搞下去就没必要了。

论文已经投到期刊了,现在就是等待审稿的结果,这大概要一年时间吧。

果壳网:你在证明中用到了计算机,那你对计算机在未来的数学证明中发挥的作用有什么看法?

贺欧夫各特:在我们的证明里,计算机做的就是验证一些有限的陈述,跟 19 世纪的手工验证没什么区别。

但现在计算机还能独自证明一些简单的小引理。最近有篇论文,其中一个引理的证明就来自计算机。那是一个很小的不等式,就像那些在高中数学竞赛中出现的不等式。这类不等式并不容易证明,所以它们才能出现在高中数学竞赛中。但现在,你可以将这种不等式输到计算机里,计算机就有可能直接给出证明,或者帮你判断对错。

这也就是最近的事。这类小引理的证明算是偶尔会出现的新奇事物。这也是个很有希望的方向,需要发展一下这方面的算法。

不过要分清计算机证明与数值实验。数值实验就是比如说我把某个东西验证到了一百万,然后我说它大概是对的,但这不是一个证明,而只是一种经验式的证据。而计算机证明,我们用到的就是对有限陈述的验证,原则上用笔和纸也能完成的那种。这种有限的验证是不可避免的,在数学分析中,如果变量小于某个数值,主项和误差项相差不够远,这种情况就要一一验证。要分清证明和证据,证据只能指引方向,而证明就真的是无误的逻辑证明。

 

谈谈张益唐

果壳网:这几个月对于解析数论来说挺忙碌的,我们有你对弱哥德巴赫猜想的证明,还有张益唐对素数间距方面的突破。你对张益唐的工作有何评价?

贺欧夫各特:还没仔细看过证明,不过我觉得他的证明令人印象深刻。在 Facebook 上我看到了他在哈佛做讲座的消息,宣布了他证明了对于某个有限间距,存在无穷对小于这个间距的素数对。

一开始大家都不太相信,我的 Facebook 好友也持怀疑态度。但很显然他并没有将他的工作发在网上,他可能怕大家不相信他,不会去认真对待他的工作。于是他将论文投到一个期刊,请这个期刊审阅,过了一个月审阅就完成了,对于数学期刊来说这相当高速,非常罕见。几位数论方面的专家匿名审阅后,没有挑出很大的问题,他才将论文放到网上。

在张益唐的证明中,他改进了邦别里-维诺格拉多夫定理的一种特殊情况。其实之前也有人做过各种各样的改进,但都不太适合素数有限间距的问题。

张益唐的证明里给出了一个常数。对张本人来说,常数本身是多少并不重要,重要的是这是个有限的常数,现在人们在尝试降低这个常数。我个人希望相关的论证能弄得简洁一些,因为如果论证太复杂,这种努力就不太吸引人了。

果壳网:张益唐没有正式的研究职位却取得了重要的成果,在数学界中这很普遍吗?

贺欧夫各特:其实不太普遍。一般说的“纯粹的研究职位”也不是只搞研究,还有些行政方面的工作,也带一些学生。而更普遍的是研究和教学兼有的职位,在法国这很普遍,我相信在中国和其它国家这也是主流。

张益唐特别之处在于,他是大学讲师,大家不会期望一位讲师去做研究。一位讲师证明了这么重要的定理,这不寻常,一般的讲师大概连论文都不太发。

当然,即使张益唐没有正式的研究职位,但他受过专业的数学训练,所以才能解决素数间距的问题。


果壳网:张益唐和陈景润在不太好的境遇中做出了非常好的成果。有些人觉得他们也能想这两位数学家那样解决世界难题,即使他们没接受过数学训练。

贺欧夫各特:总有一些人,他们没有数学背景,不知道何谓数学证明,却整天幻想解决重大的数学猜想。这是一件悲哀的事情,但总有这样的人。我偶尔也会收到这些人给我发的邮件。我真的觉得这是件很悲哀的事,他们应该找点别的事情做。

要想做数学,需要多年的训练,还要与别的数学家交流。对于做数学的人来说,总会碰到艰难的时期。这时陈景润和张益唐的遭遇就会提示我们,只要有坚实的数学训练,再加上坚强的意志和艰苦的工作,常常可以度过困境。但正式的数学训练是必须的。

 

全球化的数学教育和高层次的数学普及

果壳网:你平时是怎么工作的呢?

贺欧夫各特:你看,我会看书(指着桌上的一大堆书)。在法国我大部分工作时间花在了数学研究上,不过我也会跟数学家朋友们聊聊天,也会带博士,偶尔教教课。我觉得对于数学家来说教课是很重要的。我挺喜欢教课,讲一些大家都比较熟悉的东西,但是用一些新的理解和思路。我不太喜欢那种每个学年的例行讲课。

法国的这个职位有一点好处,就是比较自由。除了研究以外,我可以到全球各地与别人合作。这是一件好事,我相信数学的未来在于全球合作。在欧美的数学家也应该多去欧美以外的地方,像是南美和亚洲,去传播数学。

果壳网:你曾经到印度和秘鲁授课,这就是你的动机吗?

贺欧夫各特:正是如此。那里有不少有才能的学生。我很快就要在秘鲁主持一期暑期学校了。我在秘鲁授课的一个原因当然是我出生在秘鲁,但我觉得每个人都应该走出去传播数学,每个人都可以由此得益,不失为很好的体验。

果壳网:对于希望学数学的中国学生,您有什么建议?

贺欧夫各特:这是个好问题。我就从数论方面讲。如果希望学数论的话,需要掌握很多领域的知识。全面的数学教育是很重要的。另外,数学不仅仅是理论的构建,还包括对实际数学问题的解决,应该注意到这一点。

我最喜欢的一本数学书是维诺格拉多夫的一本小书,《数论基础》。这是我 13 岁的生日礼物。这本书不难,而且有很多很好的习题。我现在的证明改进了维诺格拉多夫的结果,这纯属巧合。

兴趣对于做数学是很重要的。数学研究不仅仅是一种职业(job),更是一种使命(vocation)。人生苦短,虽然在工作外还有生活,但工作还是占据了很大一部分时间,这些时间还是花在自己感兴趣的事情上为好。我们应该做有用的事,但同时最好也做最适合自己的东西。

果壳网:对于数学科普,你怎么看?

贺欧夫各特:数学普及很好,数学研究可以由此传达给大众,但我们也应该指导对数学感兴趣的年轻人接受更严肃的数学教育。数学研究者一般在很年轻的时候就开始做数学,比如说高中毕业后或者在大学里。我认为面向大众的数学普及是很好的,但面向有志成为数学家的年轻人的较高层次的数学普及也很重要。

当然,这两个层次之间还有一层,就是面对科学家和工程师的。数学是他们重要的工具,但不是他们研究的领域。他们明白更多的概念,因此可以更深入。

果壳网:职业数学家在数学科普中可以起到什么样的作用?

贺欧夫各特:在我刚才说到的三种数学普及中,职业数学家更适合做中高层次的数学普及。已经有不少人在做面向大众的普及,而且都做得不错。但中高层次做的人很少。我自己也在做一些这方面的东西,比如之前说的去世界各地讲课。我还有个数学博客,但几乎没什么内容,因为我最近忙着做论文。不过,过些时间我会写一篇有关弱哥德巴赫猜想的博文,大概工程师的水平就能看懂,敬请期待。

(本文编辑:吴师傅

编辑注:在采访时,果壳网和贺欧夫各特也聊到了证明的细节和具体的方法。限于篇幅,没有写在正文中。有兴趣的读者可以点击下面两个链接阅读:

 

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热门评论

  • 2013-09-16 15:07 Dr.smile

    沙发他没看完。

    [10] 评论
  • 2013-09-16 17:53 神采洋

    总有一些人,他们没有数学背景,不知道何谓数学证明,却整天幻想解决重大的数学猜想。这是一件悲哀的事情,但总有这样的人。——————我要证明强歌德拔河猜想~

    [3] 评论

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全部评论(41)
  • 1楼
    2013-09-16 14:40 AlephAlpha Mathematica玩家

    看完还能沙发。

    [1] 评论
  • 2楼
    2013-09-16 15:07 Dr.smile

    沙发他没看完。

    [10] 评论
  • 3楼
    2013-09-16 15:17 we_cry 空间信息与数字技术专业

    Top 3?

    加入 眼与视觉 小组
    [0] 评论
  • 4楼
    2013-09-16 15:51 木南子曰

    看了半天没看懂,是大于所说的“下界”的奇数可以被证明,而小于下界的奇数只能拿计算机验证了?

    [0] 评论
  • 5楼
    2013-09-16 17:34 一峰t

    小于下界的奇数只有有限多个,而且数量上也没多到计算机不能处理,那当然可以一一验证了。


    来自果壳精选

    [0] 评论
  • 6楼
    2013-09-16 17:34 crayoncareful

    xhki-

    m

    来自果壳精选

    [0] 评论
  • 7楼
    2013-09-16 17:53 神采洋

    总有一些人,他们没有数学背景,不知道何谓数学证明,却整天幻想解决重大的数学猜想。这是一件悲哀的事情,但总有这样的人。——————我要证明强歌德拔河猜想~

    [3] 评论
  • 8楼
    2013-09-16 21:03 McMorning

    到时候能把他的博文翻译过来吗?

    [0] 评论
  • 9楼
    2013-09-16 21:29 柏拉图的沉思
    引用文章内容:贺欧夫各特:总有一些人,他们没有数学背景,不知道何谓数学证明,却整天幻想解决重大的数学猜想。这是一件悲哀的事情,但总有这样的人。我偶尔也会收到这些人给我发的邮件。我真的觉得这是件很悲哀的事,他们应该找...

    各有所长,
    人,不可能什么都懂的~~

    [0] 评论
  • 10楼
    2013-09-16 22:06 AI油泳的鹰 勘查技术与工程专业,编程爱好者

    Top 10

    [0] 评论
  • 11楼
    2013-09-17 10:27 赤门拉面

    看第一张照片我以为是影帝尼古拉斯凯奇

    [0] 评论
  • 12楼
    2013-09-17 13:55 z1w1j

    陈景润和王天泽将常数改进到了大概 10 的 30000 次方,或者是 20000,我记太清了。
    应该是“记不太清”

    [0] 评论
  • 13楼
    2013-09-17 17:50 b16-6er

    怎么没问问他对望月新一的看法呢……

    [0] 评论
  • 14楼
    2013-09-18 12:43 bluesky365

    不明觉厉。。

    [0] 评论
  • 15楼
    2013-09-20 17:03 Hanan
    引用@木南子曰 的话:看了半天没看懂,是大于所说的“下界”的奇数可以被证明,而小于下界的奇数只能拿计算机验证了?

    应该是这个意思

    [0] 评论
  • 16楼
    2013-09-25 10:49 lyounger 粒子天体物理博士生

    “我记太清了”
    少了一个“不”字

    [0] 评论
  • 17楼
    2013-09-25 10:51 lyounger 粒子天体物理博士生
    引用@木南子曰 的话:看了半天没看懂,是大于所说的“下界”的奇数可以被证明,而小于下界的奇数只能拿计算机验证了?

    证明的难点就是“所有数”啊,证明了某个数往上都符合的话,小于这个下界的数可以一一验算

    [0] 评论
  • 18楼
    2013-09-25 10:55 时秋水

    本文编辑--------吴师傅。。

    [0] 评论
  • 19楼
    2013-09-25 11:16 SunZZYY

    贺欧夫各特:总有一些人,他们没有数学背景,不知道何谓数学证明,却整天幻想解决重大的数学猜想。这是一件悲哀的事情,但总有这样的人。我偶尔也会收到这些人给我发的邮件。我真的觉得这是件很悲哀的事,他们应该找点别的事情做。”
    ——原来民科是全世界普遍面临的问题……

    [0] 评论
  • 20楼
    2013-09-25 20:13 JoyNeop

    [这个数比宇宙中所有的粒子数再乘以自大爆炸以来的秒数还要大]他是想说费米子?还是费米子和玻色子总量?

    [0] 评论
  • 21楼
    2013-10-04 19:38 Noeth

    我火星了。。今天才知道

    [0] 评论
  • 22楼
    2013-10-09 08:17 从此不再想念

    嘛,证明这个猜想有什么实际意义么?

    [1] 评论
  • 23楼
    2013-10-09 10:21 钛钢具足虫
    引用@从此不再想念 的话:嘛,证明这个猜想有什么实际意义么?

    从此强迫症们可以去忙别的去了...

    [0] 评论
  • 24楼
    2013-10-09 14:26 木二
    引用@从此不再想念 的话:嘛,证明这个猜想有什么实际意义么?

    证明这个猜想的过程中,发展了数学很多的理论,其中一个应用好像和密码学的发展有点关系吧.

    [0] 评论
  • 25楼
    2013-10-09 15:59 杜拉克草与天锥树


    不明。。但觉厉..话说这种级别的数学家该怎么理解呢?对于科学发展的贡献是什么呢?

    [0] 评论
  • 26楼
    2013-10-16 23:10 石户霞

    肯定会有漏洞的。

    来自NOKIA Lumia 920T
    [0] 评论
  • 27楼
    2013-10-21 09:17 浮长川

    求大神解释,下界以下的奇数是用电脑一一验证的,是不是没有从理论上彻底证明来的更彻底?假如说再过一段时间,又有一个数学家提出了一套纯理论的证明,是不是比有验证的证明更好?

    [0] 评论
  • 28楼
    2013-10-21 13:10 lotusfire
    引用@谷草转氨酶 的话:求大神解释,下界以下的奇数是用电脑一一验证的,是不是没有从理论上彻底证明来的更彻底?假如说再过一段时间,又有一个数学家提出了一套纯理论的证明,是不是比有验证的证明更好?

    当然,现在这样逻辑上完全覆盖所有数而已,表明这个不是猜想已经是定理。后面会不断有人可以提出更好更简洁的证明,但是就不会吸引大多数非专业的人士了而已。

    [0] 评论
  • 29楼
    2013-10-21 15:54 流氓神猫

    我可以证明……“有限个”……嘻嘻(^ω^)/

    [0] 评论
  • 30楼
    2013-10-21 17:40 浮长川
    引用@lotusfire 的话:当然,现在这样逻辑上完全覆盖所有数而已,表明这个不是猜想已经是定理。后面会不断有人可以提出更好更简洁的证明,但是就不会吸引大多数非专业的人士了而已。

    李菊福,表示感谢!

    [0] 评论

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方弦
方弦 科学松鼠会成员,信息学硕士生

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