数学

最极致的服务是体会不到的:A4纸为什么是最广泛被使用的打印纸?

为什么纸张的常见规格是A4?什么是白银比例?A4纸有什么神奇之处?什么是利希腾贝格比例?

賴以威 发表于  2014-03-17 10:26

图片来源网络。

我向来对于高声嚷嚷着“客人至上,服务第一”的口号,有种无法完全信服的感觉。毕竟说起服务这种事情,应该不是以“让客人感受到的程度”为指标。举例来说,逛街时要是专柜小姐一直如影随形地跟在一旁,贴心介绍每一件你只有食指碰到的商品,再拿五种颜色让你试穿,虽然服务周到得没话说,压力却也大得让人没办法说话。最极致的服务,应该要让客人以自己喜欢的方式,从事喜欢的行为,完全察觉不到正在被服务。

就这点来说,我认为可以跟复印机里的A4纸学习服务的精神。

利希腾贝格比例

A4纸是生活中最常用的纸规格。A系列的纸张规格特色在于:

  1. A0、A2、…、A5,所有尺寸的纸张长宽比都相同。
  2. A0对裁后可以得到2张A1,A1对裁可以得到2张A2,依此类推。

这两项特色让A系列规格的纸张非常好用,画在A4纸上的图画可以等比例放大到A0海报上。手边只要有某一款A系列的纸,即能做出任意大小的A系列。但事实上不是任意一张纸对裁,都可以得到比例跟原来的纸一模一样的两张纸。只有A系列纸张特殊的长宽比——利希腾贝格比例(Lichtenberg ratio)的特殊比例,才能带来这种特性。

举实际的数字给各位看:A4是21厘米×29.7厘米 ,29.7/21 =1.41;A5是29.7/2 = 14.8厘米×21厘米,21/14.8= 1.41;A0是84.1厘米×118.9厘米,118.9/84.1=1.41,都趋近于

换句话说,我们都享用了利希腾贝格比例的好处,却很少人知道利希腾贝格比例是什么,某种程度上,这就是最极致的体贴,让人享用到它的好,却察觉不到它的存在。

嗯,我不是在讲女性用品广告台词,虽然两者间很相似(以每一种距离来说都是)。

躲在A4里面,还有更了不起的比例

黄金比例(golden ratio)1.618可以称之为比例之王,不管从Google搜寻或被应用的范围来说,他都是最常见的比例。不过,事实上还有类似黄金比例的比例,和利希腾贝格比例一样隐藏在A4纸里面,名字刚好跟《圣斗士星矢》里圣斗士的阶级相同,是黄金圣斗士之下的白银圣斗士,不,白银比例(silver ratio)——2.414。只要以A4纸的短边为边长,划出一个正方形并裁掉,剩下长方形的长宽比即是白银比例。我们可以验证一下,A4纸的长宽比是,用短边划出正方形并裁掉后,剩下长方形的长宽比将会是1: [] = 2.414。

我们也可以把白银比例表示成,它和()/2的黄金比例有许多相似之处。例如,他们都和某个数列有关。先前介绍过黄金比例和费波那契数列(Fibonacci series):1、1、2、3、5、8、13、21、…。后一组数字除以前一组数字,便可以得到近似于黄金比例的比值。白银比例则用上了佩尔数列(Pell series):1、2、5、12、29、…。拿前后两组数字相除,可以得到2、2.5、2.4、2.41、…越来越接近白银比例2.414。我们可以用图形的方式来解释,为何费波那契数列和佩尔数列中产生黄金比例或白银比例。

首先,费波那契数列的第n组数字是前两组数字的和,意即Pn = Pn-1 + Pn-2,例如21=8+13。佩尔数列的第n组数字前一组数字的两倍加上再前一组数字,意即Pn = 2Pn-1 + Pn-2。例如29=12×2+5。再将费波那契跟佩尔数列的递归表示法除以Pn-1,可以得到

Pn/ Pn-1 = 1+ Pn-2/ Pn-1

Pn/ Pn-1 = 2 + Pn-2/ Pn-1

第一个式子表示,大的黄金比例长方形是一个正方形加上一个小黄金比例的长方形。

第二个式子则是,大的白银比例长方形可以由两个正方形,加上一个小的白银比例长方形组合而成,如下图所示。

图示由作者提供。

白银比例的服务精神

利希腾贝格比例让纸张的使用更加便利,黄金比例跟白银比例的用途更广泛,其中之一是在艺术上的贡献。例如下面的绿色菱形,对角线的长宽比刚好是白银比例,因此可以用方才的几何规则“两个大的加一个小的”,将三个这样的菱形,其中两个横放,三个并排,制造出一个等比例放大的蓝色菱形,放大的比例刚好是白银比例。

图示由作者提供。

这种特殊的菱形与正方形,是下图复杂的伊斯兰风格拼贴镶嵌的基本元素。

图示由作者提供。

比起一般地板磁砖的正方形,或蜂巢状的六角形镶嵌,这种镶嵌更华丽美观。这么复杂的镶嵌,除了基本构成的菱形需要白银比例,镶嵌过程也需要用上白银比例,最后构成的众多正八边形里,依然也有白银比例。

可以看见,白银比例一样提供了最佳的服务,让使用者察觉不到,却因为它获益良多。最起码豪宅里使用了这种镶嵌技术(Ammann-Beenker tiling)的土豪一定不知道背后有白银比例,不然他铁定会把设计师叫过来臭骂一顿:

“为什么不用黄金比例,要用白银比例呢?!”

有噢,有黄金比例的镶嵌,称之为彭罗斯拼图(Penrose tiling),数学可是最有服务精神,服务最周到的科学了。

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全部评论(88)
  • 31楼
    2014-03-17 21:14 冰火梦幻

    这彭罗斯是不是写皇帝新脑那个?

    [0] 评论
  • 32楼
    2014-03-17 21:20 梧桐清声 生理学博士

    US Letter, US Legal笑而不语...

    [1] 评论
  • 33楼
    2014-03-17 21:27 话痨白玄

    既然A4是完美的黄金比例,是极致的服务,那么为什么印书不用这种尺寸?比如16开,和A4差不多大,具体尺寸是大度285×210,正度 260×185,统统不是黄金比例
    同意楼上,归根结底,16开、32开的大小是根据全开的大小决定的,而A4也是根据A0大小决定的

    [0] 评论
  • 34楼
    2014-03-17 21:39 纳兰清欢

    有看没有懂……数学啊,太差~~~

    [0] 评论
  • 35楼
    2014-03-17 22:04 我叫昵称
    引用@橡胶万岁 的话:讲数学就好好讲数学,这跟服务有毛线关系~~蛮好一篇干货,就这么毁了~~


    引用@橡胶万岁 的话:讲数学就好好讲数学,这跟服务有毛线关系~~蛮好一篇干货,就这么毁了~~


    +1,

    [0] 评论
  • 36楼
    2014-03-17 22:25 adven_vaca

    在美国几乎看不到A4,都是11'*8.5'的Letter size。个人感觉更美观更好用

    [0] 评论
  • 37楼
    2014-03-17 23:17 贪婪的冒险者

    我赞同回复里作者想的有点多的观点...
    这种工业产品的规格 既然已经形成规范很久了,那么考虑它为什么是现在这个样子,入手点应该是工业生产还不发达的时候将这种产品生产成什么样子最方便。简而言之就是,它是这个样子,原因是几十年前这么生产是最方便的,将低号纸割成两半就成了高标号纸,这对机器来说简直是再好不过的消息——产品的生产步骤利用率很高。
    但是话说回来,A4这种尺寸未必就是什么用户看着最习惯舒服的,因为美国这边通用的是letter size,一种比A4短一点的奇怪纸张。我并不是说letter size的尺寸有什么优越性,而是说,纸张的尺寸会受到工业体系和人习惯的影响

    总而言之,人类的成熟又初级的工业产品,例如纸张或者啤酒瓶盖之类的东西,设计出来是让机器效率更高的。如果你对这种设计感到舒适,不要特意去证明它符合某种定理,因为设计工业产品和流程的人也会兼顾人的感受

    [4] 评论
  • 38楼
    2014-03-18 00:03 exu

    摆弄了一堆黄金、白银比例的,其实是在凑数而已

    [0] 评论
  • 39楼
    2014-03-18 02:07 MC晕猫

    这要看当初那人是怎么想的。

    来自果壳精选

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  • 40楼
    2014-03-18 05:36 Flughafencon

    不光A系列,B系列和C系列都是这个比例。B系列更好明白,B0纸直接就是1000x1414mm

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  • 41楼
    2014-03-18 08:34 scythe7

    土豪骂工匠+1

    [0] 评论
  • 42楼
    2014-03-18 08:55 饭呢 通信工程、计算机硕士
    引用@狐狸42 的话:就像或者 “金字塔中的某某数字恰好是宇宙中的某某数字”一样,A4纸为什么这么长这么宽?不是因为什么黄金比例白银比例,而是因为A4纸的老祖宗——A0纸的尺寸是按照要求设计好的:1.对折前后长宽比例...

    为了好计算价格,这才是王道啊,顶。

    [0] 评论
  • 43楼
    2014-03-18 08:57 饭呢 通信工程、计算机硕士

    其实我觉得b5更舒服,因为a4相对于我的体型来说太大了。
    最开始打印的时候,用b5的人更多一点,不过由于b5和a4的纸打印一张的价格是相同的,而a4显然可以打更多的东西上去所以可以省纸。时间长了,大家都用a4打印,然后打印店连b5的纸都没了。

    [1] 评论
  • 44楼
    2014-03-18 09:00 胡世华

    其实我一直觉得A4有点大了。普通书本16开那种就好。

    [0] 评论
  • 45楼
    2014-03-18 09:36 lugana

    我们来说说B4吧

    [0] 评论
  • 46楼
    2014-03-18 09:55 conceded
    引用@全机种制霸 的话:A3或者A5不觉得过大过小么?这是客观原因。B系列的优先度低于A系列,只有在A系列无法满足需要的情况下才启用B系列。

    小时候的用的8K 16K 32K 都是用这个比例的

    [0] 评论
  • 47楼
    2014-03-18 11:06 拍风

    16K.32K不也一样的原理,印象中好像绝大部分纸规格都是这样

    [0] 评论
  • 48楼
    2014-03-18 12:46 骆桂鹏
    引用@狐狸42 的话:就像或者 “金字塔中的某某数字恰好是宇宙中的某某数字”一样,A4纸为什么这么长这么宽?不是因为什么黄金比例白银比例,而是因为A4纸的老祖宗——A0纸的尺寸是按照要求设计好的:1.对折前后长宽比例..
    你的解释,让我想起了,马屁股的故事:

    美国铁路两条铁轨之间的标准距离是四点八五英尺。这是一个很奇怪的标准,究竟从何而来的?
    原来这是英国的铁路标准,因为美国的铁路最早是由英国人设计建造的。
    那么,为什么英国人用这个标准呢?
    原来英国的铁路是由建电车轨道的人设计的,而这个四点八五英尺正是电车所用的标准。电车轨标准又是从哪里来的呢?
    原来最先造电车的人以前是造马车的。而他们是用马车的轮宽做标准。好了,那么,马车为什么要用这个一定的轮距离标准呢?
    因为如果那时候的马车用任何其它轮距的话,马车的轮子很快会在英国的老路上撞坏的。为什么?
    因为这些路上的辙迹的宽度为四点八五英尺。这些辙迹又是从何而来呢?
    答案是古罗马人定的,四点八五英尺正是罗马战车的宽度。如果任何人用不同的轮宽在这些路上行车的话,他的轮子的寿命都不会长。我们再问:罗马人为什么用四点八五英尺为战车的轮距宽度呢?
    原因很简单,这是两匹拉战车的马的屁股的宽度。故事到此应该完结了,但事实上还没有完。
    下次你在电视上看到美国航天飞机立在发射台上的雄姿时,你留意看,在它的燃料箱的两旁有两个火箭推进器,这些推进器是由设在犹他州的工厂所提供的。如果可能的话,这家工厂的工程师希望把这些推进器造得再胖一些,这样容量就会大一些,但是他们不可以,为什么?
    因为这些推进器造好后要用火车从工厂运到发射点,路上要通过一些隧道,而这些隧道的宽度只比火车轨道的宽度宽了一点点。
    故事是颇有趣的。从一定意义上说,今天世界上最先进的运输系统的设计,或许是由两千年前两匹战马的屁股宽度来决定的。历史惯性的力量是多么的强大,要冲破由惯性形成的规则又是多么的艰难。
    好习惯将不只影响您的一生,您的后代子子孙孙,皆会因而受益。
    [2] 评论
  • 49楼
    2014-03-18 15:25 0简记0

    知道越多,越惊叹现代社会的先进~网上就是那么多人,一味的以为古代什么技术很牛逼,现代技术退化,却不知一张小小的A4纸蕴含这么多智慧!

    [0] 评论
  • 50楼
    2014-03-18 16:02 PuNaDSmile 果壳“万有青年”品牌负责人

    看完此文,不由得膜拜了一下身边的A4纸!

    [0] 评论
  • 51楼
    2014-03-18 17:31 巢鹏

    北美常见的是Letterlegalledgertabloid。。。

    [0] 评论
  • 52楼
    2014-03-18 17:33 snail

    召唤青铜分割比:

    [0] 评论
  • 53楼
    2014-03-18 20:01 金虎CP5190

    等下我搜搜16开纸对折是32开纸.... 印象里A4和16开 不一样

    来自果壳网移动版
    [0] 评论
  • 54楼
    2014-03-18 21:04 橙子和叶子
    引用文章内容:只要以A4纸的短边为边长,划出一个正方形并裁掉,剩下长方形的长宽比即是白银比例。


    引用文章内容:第一个式子表示,大的黄金比例长方形是一个正方形加上一个小黄金比例的长方形。




    并不是非常明白,不矛盾么?
    [0] 评论
  • 55楼
    2014-03-18 23:15 烹洽洽只吃一颗苹果

    果壳真是个有趣的地方,不过这种文章文科生真是没耐心看一下去
    😱

    来自果壳精选

    [0] 评论
  • 56楼
    2014-03-19 10:04 seanzhang

    我始终觉得B5或者letter是适合纸质阅读的尺寸,A4这个尺寸很别扭,也不知道谁规定各种文件用A4纸的。

    再说一点,我们现在用的10寸平板基本就是B5大小,这个尺寸应该是手持设备里面看文档最舒服的,7寸的太小了。至于A4,大概相当于14寸,先别说14寸的平板你能不能拿动,你不觉得看这么大的文档,眼睛需要不停地上下左右扫描吗?

    我不是“相关”专业的,我只能说说我自己的感觉:虽说人类视界角度超过±80,但是敏感区域其实小得多,只有中间一点,感兴趣的可以拿起一张正常页边距下打满文档的A4纸,按照30cm的阅读距离(其实就是A4纸长边的长度)从头看到尾,你会感觉眼睛焦点进行了大量和横向移动,反正我的感觉是这样很累,如果看B5或letter上打印的东西,这种移动就少很多,也舒服的多,对于不求甚解的部分,甚至不需要焦点的横向移动,只要从上往下一行一行的移动就行了。
    当然,要是作图就另当别论了,本人机械设计出身,忘不了趴在0号图板上日以继夜画图的日子,不过,对于画图来说,确实越大越好...

    个人推测,A4称王基本应该是路径依赖或者说是路径锁定,与数学无关啊。

    【吐槽】
    你现在明白为什么看文献很累,看小说很轻松了吧...
    纳尼?!你把小说打印到A4纸上看??!!
    ......壕,我们做朋友吧~~~~


    [1] 评论
  • 57楼
    2014-03-20 15:57 夏杺
    引用@I老蔡 的话:实, 好吧, 可能还有一种纸, 大家的更熟悉,并且一般不大会把A3折成A4来用,或者A4折成A5来用.但是这种纸, 所有人不敢说, 至少使用它的人中超过90%是会折着用的.那就是:手纸,...

    哈哈哈 ,,你说的也很有意思

    [0] 评论
  • 58楼
    2014-03-20 22:51 火星人的葬礼

    貌似很深奥

    来自果壳精选

    [0] 评论
  • 59楼
    2014-03-21 14:13 羽毛麦子

    这个,这个,噢

    来自果壳网移动版
    [0] 评论
  • 60楼
    2014-03-23 00:38 Lydia要喝奶

    再也无法草率地对待一张A4纸了!

    来自果壳精选

    [0] 评论

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賴以威
賴以威 电子工程博士

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