数学

献给业余数学之王:澄清对费马原理的误解

费马原理,过空间中两定点的光,实际路径总是光程(或者时间)最短,这样的理解正确吗?

physixfan 发表于  2011-08-17 18:52

2011年8月17日,是费马(Pierre de Fermat)诞辰410周年。今天, 谷歌推出新涂鸦——费马大定理以纪念这位最专业的业余数学家。

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除了费马大定理,相信大家也一定都听说过费马原理。它通常被表述为过空间中两定点的光,实际路径总是光程(或者时间)最短。费马原理是一条十分令人着迷的原理,从它可以推导出光的直线传播定律、反射定律和折射定律,几乎包含了几何光学的全部内容。然而,对于这个原理,很多人都存在着或多或少的误解,这是由于费马原理表述有误造成的。在今天这个有纪念意义的日子里,本文就来一一澄清。

首先说明一点,在费马原理的表述中,光程和光传播所用的时间是等效的,因为这两个量之比就是真空中的光速c。所以本文中后面只说光程而不说时间。

百度百科的不靠谱说法

不妨先看看 百度百科 给出的费马原理的定义:光波在两点之间传递时,自动选取费时最少的路径。这是一种很常见的错误表述,只要看下面这个平面镜反射的例子就知道了。

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从A发出的光线,经过平面镜的反射到达B点,这条光线必然是可以真实存在的。可是这是光程最短的路径吗?显然不是,从A发出直接到达B的光线光程更短。所以使用“最小”一词是绝对错误的,费马原理其实是个局域性的原理,所有诸如最小的词均应当替换为极小。只要光程取极小值,无论是否是最小,它都是真实存在的光线。

用“极值”表述正确吗

那如果费马原理表述成:过两个定点的光总走光程极小的路径,是不是就正确了呢?其实这仍是一种错误的表述。光程取极小值只是一种常见情形,也存在其他情形。

首先举一个光程是定值的例子,如下图的椭圆形反射镜。

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从椭圆的一个焦点A出发的光线,经过椭圆形镜子上任意一点的反射,一定会汇聚到另一个焦点B。这是因为椭圆的数学性质保证了这样光线的反射角一定等于入射角。在这个例子当中,任何一条真实光线都不是极小值了,因为不管反射点是椭圆上的哪个点,光程都是定值(是椭圆的定义:到两定点的距离之和为常值的点的轨迹)。

再举一个光程取极大值的例子,如下图:

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图中A、B是蓝色椭圆的两个焦点,在椭圆内任取一条黑色曲线为镜面。假设椭圆对称轴上的O点为黑色曲线和蓝色椭圆的切点。根据椭圆的性质,我们可以知道过O点的黑色光线确为真实光线。而在镜面上随意选取O’作为反射点形成的红色光线,则比黑色光线光程更短(只要记得椭圆的定义并注意到黑色曲线在椭圆内部即可知道这一点)。然而红色光线却并不满足反射角等于入射角,也就说它并非真实的光线。因此在这个例子中,光选取的路径实际上取了极大值。

什么是最正确的表述

那如果费马原理表述成:过两个定点的光总走光程为极大值、极小值或者定值的路径,是不是就正确了呢?这是物理专业课本中的表述,但仍然不够准确。仍以上图为例,说黑色光线取了极大值,其实是不准确的。因为只要本该是直线的光线稍微一弯曲,光程就会变得更长,从这个角度来讲,这又是一种极小值了。所以单说它是极大值还是极小值都不够准确。理解这种既极大又极小的函数也很简单,看看双曲抛物面的形状就可以了

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上图的P点,就既是极大值点又是极小值点(也可以说它二者都不是)。而费马原理中的光程,往往和这种情形类似。

因此如果把以上种种情形都考虑进去的话,费马原理将被叙述得很长。但其实在数学上有一种表述方法既准确又精炼,那就是:过两个定点的光总走光程的一阶变分为零的路径。

至于什么是变分,可以做如下理解:变分之于泛函,就相当于微分之于函数。而泛函则是函数的函数(以函数为自变量的特殊的函数),因为光线的路径本身是函数,而光程又是路径这个函数的函数,因此光程是泛函。所谓一阶变分为零,其实就和一阶导数为零意思相近。这种表述就自动包括了取极小值、极大值、定值、鞍点这些种种情况了。

最后,为了更加严谨,突出费马原理的充分必要性,其实费马原理的最准确表述应该是:过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。

费马原理最早由费马在1660年提出,阐述了光沿着所需时间为平稳的路径传播这一重要事实。但现在由于表述的不严谨,让人们对它的理解出现了很多偏差。

“我发现了一个美妙的证明,但由于空白太小而没有写下来。”——谨以此文纪念伟大的业余数学家之王,皮埃尔•德•费马。

热门评论

  • 2011-08-17 22:31 eggcar 古典吉他控,通信工程专业

    很多人无法理解这个貌似显而易见的原理的重要性,那是因为他们没有接触到变电磁导率介质中电磁波的传播问题~在均匀介质中光程最短就是直线,而变导率介质中光程最短极有可能是空间上歪歪扭扭绕好几个弯的曲线~

    [8] 评论

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全部评论(113)
  • 1楼
    2011-08-17 18:55 少个螺丝 乳品专业博士,科学松鼠会成员

    沙发?

    [1] 评论
  • 2楼
    2011-08-17 18:56 少个螺丝 乳品专业博士,科学松鼠会成员

    果然是沙发!

    还是不太明白那个泛函,,函数的函数不仍然是函数么?

    [0] 评论
  • 3楼
    2011-08-17 18:57 SuperRock

    ....板凳被人抢了

    [1] 评论
  • 4楼
    2011-08-17 19:00 少个螺丝 乳品专业博士,科学松鼠会成员

    地板也抢了吧,,,

    还有一点不明白的是,这个原理说明了什么呢?过2个定点的光,可以认为是从一个定点发出的光要通过另一个定点。

    这个发出去的光就跟泼出去的水一样,一旦发出,不就只依靠各种反射定理了么。。。只要知道光沿直线传播(引力的影响暂且忽略的话),就可以知道如何才能反射到B点。

    [1] 评论
  • 5楼
    2011-08-17 19:06 VOG

    虽然看不太懂。还是支持~~

    [1] 评论
  • 6楼
    2011-08-17 19:16 费马

    作为我的偶像,这是必须支持的!!

    [1] 评论
  • 7楼
    2011-08-17 19:21 她在笑我

    看不懂

    [2] 评论
  • 8楼
    2011-08-17 19:31 苍山负雪

    关于泛函,请看《泛函分析》。或者《实变函数与泛函分析》

    [2] 评论
  • 9楼
    2011-08-17 19:35 果壳的宇宙

    不懂···············

    [0] 评论
  • 10楼
    2011-08-17 19:39 lydy1993 矿晶控

    那个是锑度百科!!!

    [0] 评论
  • 11楼
    2011-08-17 19:39 剑心 物理专业本科生

    不错,费马原理是几何光学中最重要的定理之一。其实费马原理的思想可以用在生活中,比如虽然你知道两点之间距离最短,但是考虑路况,也许你会舍弃荆棘丛生的直线而选择平坦的马路曲线,因为根据光程概念,马路付出更小

    [2] 评论
  • 12楼
    2011-08-17 19:48 贱人谷贱人

    《实变函数与泛函分析》!!!我恨你!!!

    [0] 评论
  • 13楼
    2011-08-17 19:58 吾一凡夫

    恐怕楼主就理解错了吧——费马原理是说空间中两定点的光,实际路径总是光程(或者时间)最短。也就是说,在空间里的两定点所发出的光在可能的行走路线里,两点之间的距离最短。

    [0] 评论
  • 14楼
    2011-08-17 20:03 馒头老妖 有机化学博士,法学学士

    咦,和我同一天生日啊。

    [1] 评论
  • 15楼
    2011-08-17 20:28 wheeler 软件工程师

    物理其实就是一句话。 作用量的变分是0.

    这句话说完了。。物理学家就开始研究对称性去了。。。

    [1] 评论
  • 16楼
    2011-08-17 20:29 wheeler 软件工程师

    话说。。 费马是我们民科的骄傲啊

    [1] 评论
  • 17楼
    2011-08-17 20:47 荷蛋

    我记得果壳的数学2.0 增加了费马同学所读书的边缘空白面积

    [0] 评论
  • 18楼
    2011-08-17 20:55 assfas123

    doodle太小
    Google太有喜感了有木有啊~

    [0] 评论
  • 19楼
    2011-08-17 21:00 严酷的魔王 统计学专业本科生,数学控
    引用JunkFood的回应:doodle太小
    Google太有喜感了有木有啊~


    当年费马也是这么搞笑的~

    [0] 评论
  • 20楼
    2011-08-17 21:42 博弈

    约翰 伯努利就是用费马原理,解出最速下降线是摆线~~http://www.guokr.com/article/22018/

    [0] 评论
  • 21楼
    2011-08-17 22:31 eggcar 古典吉他控,通信工程专业

    很多人无法理解这个貌似显而易见的原理的重要性,那是因为他们没有接触到变电磁导率介质中电磁波的传播问题~在均匀介质中光程最短就是直线,而变导率介质中光程最短极有可能是空间上歪歪扭扭绕好几个弯的曲线~

    [8] 评论
  • 22楼
    2011-08-17 22:42 3分糖
    引用少个螺丝的回应:果然是沙发!

    还是不太明白那个泛函,,函数的函数不仍然是函数么?

    你可以說他是一個函數啦, 本質上也是一個集合到像集的映射, 但是泛函的變量也就是原像是函數.

    [1] 评论
  • 23楼
    2011-08-17 22:49 kj123

    分析的很深入,好多数学和物理的知识都不记得了。

    [1] 评论
  • 24楼
    2011-08-17 23:01 Sheldon 理论物理博士,科学松鼠会成员

    鞍点!没想到还有这么多一眼就能看懂的例子

    [0] 评论
  • 25楼
    2011-08-17 23:26 地铁

    哇。。果壳专家好多。。可惜看不懂啊。。极大极小是什么意思我都不知道。。

    [0] 评论
  • 26楼
    2011-08-17 23:36 AlephAlpha Mathematica玩家
    引用少个螺丝的回应:果然是沙发!

    还是不太明白那个泛函,,函数的函数不仍然是函数么?


    对啊!泛函可以说就是一种函数,不过自变量是函数。

    [1] 评论
  • 27楼
    2011-08-17 23:57 on9

    介电常数不均匀的介质里面,光显然不走直线啊,计算光的路径就不容易了。最简单的,光从空气进入水面的折射就不是直线传播。这个定理几乎是几何光学计算光路的奠基啊。

    引用少个螺丝的回应:地板也抢了吧,,,

    还有一点不明白的是,这个原理说明了什么呢?过2个定点的光,可以认为是从一个定点发出的光要通过另一个定点。

    这个发出去的光就跟泼出去的水一样,一旦发出,不就只依靠各种反射定理了么。。。只要知道光沿直线传播(引力的影响暂且忽略的话),就可以知道如何才能反射到B点。
    [0] 评论
  • 28楼
    2011-08-18 00:40 Playdaye

    如果只是在经典物理的范畴话...那么一阶变分为零确实足够了....

    [0] 评论
  • 29楼
    2011-08-18 01:29 已注销用户

    我看到的好像是“光进入一个透明物体时产生的折射路径为它在该物体中最省能量的路径”

    [0] 评论
  • 30楼
    2011-08-18 01:55 库拉绮

    在无耗媒质中,电磁波的传播并不消耗能量,当然,光是电磁波的一种,所以“最省能量”是个错误概念

    [0] 评论

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