数学

用死理性派的眼光看自然:万物皆会掷骰子

掷骰子的学问 大自然的数学规律 大自然是个数学家

D-Horse 发表于  2011-08-22 18:18

传说骰子的发明人是三国的曹植,为了占卜之用,后来作为赌具流行。其实,数学家们曾依靠掷骰子的实验研究了概率论中一个最重要的定律,大数定律。但令人惊奇的是,就连大自然也会掷骰子,不同的是,它是通过掷骰子选择生命延续的方式。

从投针到掷骰子

1777年,法国数学家蒲丰发明了一种稀奇的计算π的方法:随机投针法。他在平面上画一组间距为D的平行线,将一根长度为 L( L

之所以可以用随机实验处理这个确定性的数学问题,是因为数学家在经过大量独立重复试验和统计大量同类数据之后发现,某一事件发生的频率趋于一个稳定值。这就是数学概率论中的大数定律(Law of large numbers)。当试验次数足够多的时候,事件发生的频率趋于稳定,偏差几乎为零。

让我们举一个直观的例子:掷骰子试验。因为掷骰子的结果符合二项分布,容易算出掷骰子的期望值是3.5,根据大数定律,它就应为实验最终得到的稳定值。事实也确实如此。

/gkimage/ht/a1/u3/hta1u3.png

随着投掷次数的增加,骰子的平均点数趋于3.5(图片来自维基百科)

细菌掷骰子吗

爱因斯坦曾说,上帝不掷骰子。上帝掷骰子吗?这是20世纪量子力学留下的一个谜题,我们暂且不论。但让人惊奇的是,就连自然界的万物,也会经常掷掷骰子。

设想这样一个理想化的试验。在一个盛了足量营养液的培养皿里,生活着几千只细菌。这些细菌体内的基因除了某个位点其他全部相同,而这个位点上的基因由 A 和 B 构成, A 、B 各自的基因频率均为 50% 。刚开始,这群细菌在“桃花源”里毫无压力地繁衍后代,数量急剧增长。但是好景不长,随着营养液内水分的蒸发,培养皿开始渐渐枯竭,导致细菌大量死亡,最后只剩下了四只细菌。种群数量大幅度减少的事件,在自然界时有发生,生物学上称之为瓶颈效应。

不妨来看看最后四个幸存者在那个特殊位点上的基因情况吧,有如下16可能:

{A,A,A,A}  {A,A,A,B}  {A,A,B,A}  {A,A,B,B}

{A,B,A,A}  {A,B,A,B}  {A,B,B,A}  {A,B,B,B}

{B,A,A,A}  {B,A,A,B}  {B,A,B,A}  {B,A,B,B}

{B,B,A,A}  {B,B,A,B}  {B,B,B,A}  {B,B,B,B}

因为 A 和 B 是等可能存在的,所以上述16种情况每一种情况出现的概率均为 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/16 。我们再根据 A 、B 在集合中不同的数量进行划分,得出下表

/gkimage/om/uv/oi/omuvoi.png

从上表中我们可以看到, A 和 B 基因频率相同(即数量相等)的概率只有 6/16 ,而 A 、B 基因频率不相等的概率却有 10/16 。初始时 A 和 B 的基因频率是相等的,而现在 A 和 B 的基因频率更倾向于不相等,且有12.5%的概率使得等位基因A或者B在这一代彻底消亡。由于不可抗拒的力量让种群数量急剧下降时,细菌开始掷骰子般地作出选择,使得基因频率大幅度改变,某一基因倾向消失(另一相对基因倾向固定)。这就是遗传漂变,在生物遗传学中,瓶颈效应将有可能导致遗传漂变。

寻找“掷骰子”的真相

为什么会这样呢?让我们来简单地分析一下。

很明显,试验中细菌在那个位点上的基因的遗传规律符合概率论中二项分布,我们先用二项分布对这一假想实验进行描绘:

/gkimage/84/rm/6k/84rm6k.png

其中n表示细菌的数量,k 表示等位基因 A (或者 B )的数量, 1/2 是等位基因A和B的基因概率。当 n 值足够大时,根据大数定律,只要细菌的繁殖数量始终保持在这一数量级上,那么基因A和B的频率将保持恒定,即初始的 50% 。但当细菌大量死亡,比如本例中所举的一个极端,最后仅幸存四只的话,那么显然已构不成“大数”,就会和上述掷骰子试验投掷次数小于100的情形一样,基因频率将呈现出极大的波动。

这一分析同样适用于所有动物。实际上,研究表明自然界里几乎所有的生物都遵循这个规律。

用死理性派的眼光看自然

目前自然界中很多生物濒危的原因都与瓶颈效应造成的遗传漂变有关。例如2002年的一份 研究报告 就指出,大熊猫在4.3万年前遭遇瓶颈效应,种群数量急剧下降,是使其陷入今日绝境的主要原因。物种的某个或某些基因永久消失,其实质是降低了该物种的遗传多样性。而遗传多样性越高,就越有利于族群的生存及演化。大熊猫本身生育率低,对生活环境的要求又高,种群在遭到重创后,遗传多样性贫乏,在野外更难存活。再加之19世纪末和20世纪初国内外人士对大熊猫的猎杀和对其栖息地的破坏,使得大熊猫的生存现状雪上加霜。直到1958年四川卧龙自然保护区的建立,大熊猫的生存才在一定程度上得到了保障,数量也开始逐年增加。

虽然如此,但大家在读完本文后也不必要走入另一个误区,认为种群数量越少,则遗传多样性也越低,或遗传多样性越低,则其种群数量一定很少。其实这二者虽有相关性,却没有必然的因果关系。比如川金丝猴濒危程度也比滇金丝猴小,但实际上滇金丝猴的遗传多样性并不比川金丝猴低。而国二级保护动物穿山甲,它的遗传多样性甚至要高于家猪。

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全部评论(51)
  • 1楼
    2011-08-22 19:20 sp

    杀花神马的最讨厌了

    [0] 评论
  • 2楼
    2011-08-22 19:30 馒头老妖 有机化学博士,法学学士

    最后一段没看懂,为啥呢?

    [0] 评论
  • 3楼
    2011-08-22 19:34 少个螺丝 乳品专业博士,科学松鼠会成员

    物种的某个或某些永久消失,其实质是降低了该物种的遗传多样性。

    ==========

    这里是掉了个因呢?还是想说对于任何物种,搞“基”都有利于增加遗传多样性。。。?

    [1] 评论
  • 4楼
    2011-08-22 19:35 D-Horse 生物信息学硕士生
    引用馒头老妖的回应:最后一段没看懂,为啥呢?

    参考资料:濒危动物遗传多样性研究

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  • 5楼
    2011-08-22 19:47 朱英豪

    我去年刚学完生物的遗传与进化 理解这篇文章不难

    [0] 评论
  • 6楼
    2011-08-22 19:49 果断

    个人觉得有些因为自身原因应该被淘汰的物种,不应该强加保护。
    所谓逆潮流而动吧!

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  • 7楼
    2011-08-22 20:26 千克每二次方秒每米

    为什么不是自然控发表此文……
    好吧领域重叠了。。

    所谓物竞天择,原来就是这样么。。?

    [0] 评论
  • 8楼
    2011-08-22 20:31 已注销用户

    骰子是不确定性的意思?

    [0] 评论
  • 9楼
    2011-08-22 20:34 吴师傅 数学专业
    引用少个螺丝的回应:物种的某个或某些基永久消失,其实质是降低了该物种的遗传多样性。

    ==========

    这里是掉了个因呢?还是想说对于任何物种,搞“基”都有利于增加遗传多样性。。。?

    已改正。。

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  • 10楼
    2011-08-22 21:05 听雨
    引用:
    ...他总共投掷了 3408 次针,得到 π 的值为 355/113,精确到了小数点的第6位...


    这个显然不成立啊, 3408次实验不可能得到这个组合,355/113是祖冲之发现的著名的“密率”,几千次实验就恰好精确到这个数的可能性极小。

    [0] 评论
  • 11楼
    2011-08-22 21:15 Ryne_exp618

    为神马IUPAC会有和大熊猫基因有关的论文?

    [0] 评论
  • 12楼
    2011-08-22 21:58 icyowl
    引用听雨的回应:

    这个显然不成立啊, 3408次实验不可能得到这个组合,355/113是祖冲之发现的著名的“密率”,几千次实验就恰好精确到这个数的可能性极小。


    有可能的,当年我们概率论老师也举了这个例子,我很惊讶的问过了,得到了他的确认,当然我没有继续追查下去,但那个老师很严谨的

    我觉得原因可能是投针实验这么著名,有无数的人进行了无数次试验,统计数据多了去了,只是这个结果是如此的精巧,才被人记住并大肆宣扬。我没有进行过试验,不过那个老师的研究生说他们也做过二十几组投针实验,数据基本都在3.0到3.3之间,还出现过一个2.9的异类。

    当样本空间足够大的时候,任何结果都有可能,何况这个结果不过是个距离期望值最近的一个。

    [0] 评论
  • 13楼
    2011-08-22 22:02 312353
    引用CRASH!的回应:为什么不是自然控发表此文……
    好吧领域重叠了。。

    所谓物竞天择,原来就是这样么。。?

    这不是物竞天择,是遗传漂变,物竞天择是达尔文的进化论,而遗传漂变是被达尔文忽视的,被后来人加入到了现代进化理论

    [0] 评论
  • 14楼
    2011-08-22 22:05 312353
    引用icyowl的回应:

    有可能的,当年我们概率论老师也举了这个例子,我很惊讶的问过了,得到了他的确认,当然我没有继续追查下去,但那个老师很严谨的

    我觉得原因可能是投针实验这么著名,有无数的人进行了无数次试验,统计数据多了去了,只是这个结果是如此的精巧,才被人记住并大肆宣扬。我没有进行过试验,不过那个老师的研究生说他们也做过二十几组投针实验,数据基本都在3.0到3.3之间,还出现过一个2.9的异类。

    当样本空间足够大的时候,任何结果都有可能,何况这个结果不过是个距离期望值最近的一个。

    不是这样的,投针试验是有数学基础的,只要有一点简单的积分知识,就能算出这个概率是与派有关的

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  • 15楼
    2011-08-22 22:34 神之疯神

    高于家猪什么的没有可比性吧?
    人工饲养的家畜都是多样性越少越容易成规模的

    [0] 评论
  • 16楼
    2011-08-22 23:10 PPCOIN

    我没搞明白跟骰子有什么关系,内容倒是懂了

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  • 17楼
    2011-08-22 23:41 孤狼啸天

    物竞天择,优胜劣汰。难说剩下的就是最好的,是已经进化了的版本

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  • 18楼
    2011-08-23 00:32 icyowl
    引用312353的回应:
    不是这样的,投针试验是有数学基础的,只要有一点简单的积分知识,就能算出这个概率是与派有关的

    是的,学过高数和概率论的都知道。
    但是用积分算出来的是理论值,他们的实验不是要验证投针实验,而是想做多组实验,看看究竟投多少次能多接近理论值,有个学姐甚至投了10000次,也没有到达355/113的精度,但是也很接近了。后来她们换了个思路,每投一次针,就计算一下统计的Pi,后来还真得到了一个355/113,再后来得到了一个3.1416,很不错了——这活计真够无聊的,还没有论文,纯粹就是陪导师玩。

    我想说的不是投针实验的理论,而是无限猴子定理。那么多人做了那么多次试验,结果要覆盖(3.0,3.5)个这区间中的500000个六位小数并不太难。甚至假设以一百次投针作为一组实验,只要做足够多的实验,有一组数据是0都不是不可能。出现355/113,就像大家都去买彩票,总会有人中奖一样,我们只能惊讶于他的好运气。

    [0] 评论
  • 19楼
    2011-08-23 00:49 D-Horse 生物信息学硕士生
    引用神之疯神的回应:高于家猪什么的没有可比性吧?
    人工饲养的家畜都是多样性越少越容易成规模的

    是为了表明“遗传多样性低”的未必都是濒危物种。
    家猪的人工驯养历史已经很久了,它的遗传多样性低是由于长年的近亲繁殖造成的(一些“劣势”基因都被人类人工淘汰掉了,只保留人类需要的)。

    [0] 评论
  • 20楼
    2011-08-23 00:51 D-Horse 生物信息学硕士生
    引用骨子里的理科生的回应:我没搞明白跟骰子有什么关系,内容倒是懂了

    引用食物链征服者的回应:骰子是不确定性的意思?

    用骰子比喻生物遗传学中涉及的概率问题。

    [0] 评论
  • 21楼
    2011-08-23 01:10 muzique
    引用听雨的回应:

    这个显然不成立啊, 3408次实验不可能得到这个组合,355/113是祖冲之发现的著名的“密率”,几千次实验就恰好精确到这个数的可能性极小。

    我记得有资料不是这么说的,本身就不可能那么精确。

    [0] 评论
  • 22楼
    2011-08-23 02:32 D-Horse 生物信息学硕士生

    对意大利数学家Mario Lazzarini投针问题感兴趣、想知道他是怎么投出这么精确的数值的,可以查看下面wikipedia“Buffon's needle”词条关于Mario Lazzarini投针“作弊”的那段描述。
    Buffon's needle:http://en.wikipedia.org/wiki/Buffon%27s_needle

    [0] 评论
  • 23楼
    2011-08-23 04:35 已注销用户

    呃……可是一个骰子是随机的,并不能说明什么概率吧?

    [0] 评论
  • 24楼
    2011-08-23 04:59 D-Horse 生物信息学硕士生
    引用食物链征服者的回应:呃……可是一个骰子是随机的,并不能说明什么概率吧?

    我没明白你想说什么。。“概率,又称或然率、机会率或机率、可能性,是数学概率论的基本概念,是一个在0到1之间的实数,是对随机事件发生的可能性的度量。”

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  • 25楼
    2011-08-23 09:40 fengfeixue0219 植物分子生物学博士

    其实我吐个槽吧...细菌是没有等位基因的....估计改成酵母会更好~

    [0] 评论
  • 26楼
    2011-08-23 09:41 fengfeixue0219 植物分子生物学博士

    酵母也是单倍型的...还是用动物悬浮细胞吧~

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  • 27楼
    2011-08-23 10:01 D-Horse 生物信息学硕士生
    引用fengfeixue02...的回应:其实我吐个槽吧...细菌是没有等位基因的....估计改成酵母会更好~

    谢谢指正~但是“等位基因”(allele)也是可以用于细菌的,比如这篇论文《Improving the Estimation of Bacterial Allele Frequencies》。对于单倍体生物,等位基因可以定义为”单个基因座上一个基因的不同形式“。


    在单个生物个体里,某个基因的基因型是由该基因所拥有的一组等位基因所决定的。双倍体的基因型由两个等位基因来决定,而细菌只由一个来决定。

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  • 28楼
    2011-08-23 10:19 御手洗破·厕

    着重说说上帝那个嘛……

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  • 29楼
    2011-08-23 10:50 luciferxy

    概率论。上学期学的。例子很有意思啊

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  • 30楼
    2011-08-23 21:28 小0e

    算pi的那个例子感觉挺奇妙的,但是不理解到底为啥

    [0] 评论

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