数学

如何证明一加一等于二?

特斯拉的信徒 发表于  2011-02-09 13:27

有这个必要吗?

如果你期待这里有哥德巴赫猜想的完整证明,我只能说哥们儿你失望了。我说的 1 和 2 可都是纯粹的自然数。你开始不屑一顾了吧:1 + 1 = 2 不是显然的吗?可是你是否考虑过,以前学几何的时候,我们总是从一些公理开始,逐渐推出需要的结论。然而,代数的学习却不是这样。我们有的是加法表和乘法表,而这些表早已成为计算的直觉刻在脑子里。一个靠直觉构建起来的体系似乎不太让人觉得可信。如果连 1 + 1 = 2 这样简单的算式都无法证明,那么所有经由此类运算得到的结果都是不可信的,至少是不科学的。看来,我们需要挖掘一些比 1 + 1 = 2 更基本的东西。

什么是 1,什么是 2?

在证明之前,首先我们要明白什么是自然数,什么是加法。类似于几何的公理化理论体系,我们需要提出几个公理,然后据此定义自然数,进而定义加法。

先来定义自然数。根据自然数的意义(也就是人类平时数数时对自然数的运用方法),它应该是从一个数开始,一直往上数,而且想数几个就可以数几个(也就是自然数有无限个)。据此我们得到以下公理:

公理 1. 0 是一个自然数。
公理 2. 如果 n 是自然数,则 S(n) 也是自然数。

在这里, S(n) 就代表 n 的“后继”,也就是 n 往上再数一个。没错,我们平时所说的 0, 1, 2, 3, ⋯⋯,无非就是表示上述这种叫做“自然数”的数学对象的符号而已。我们用符号“0”来表示最初的那个自然数,用“1”来表示 0 的后继 S(0),而 1 的后继 S(1) 则用符号“2”来表示,等等。

可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1, 2, 3 构成的数字系统,其中 S(3) = 0(即 3 的后一个数变回 0)。这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数。因此,我们要对自然数结构再做一下限制:

公理 3. 0 不是任何一个数的后继。

但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例:数字系统 0, 1, 2, 3,其中 S(3) = 3。看来,我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条:

公理 4. 若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m,则 S(n) ≠ S(m)。

也就是说,互不相同的两个自然数,它们各自的后继也是两个不同的数。这样一来,上面说到的反例就可以排除了,因为 3 不可能既是 2 的后继,也是 3 的后继。

最后,为了排除一些自然数中不应存在的数(如 0.5),同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理。

公理 5. (数学归纳法)设 P(n) 为关于自然数 n 的一个性质。如果 P(0) 正确,
且假设 P(n) 正确,则 P(S(n)) 亦真实。那么 P(n) 对一切自然数 n 都正确。

有了这以上的努力,我们就可以这样定义自然数系了:存在一个自然数系 N,称其元素为自然数,当且仅当这些元素满足公理 1 - 5。

什么是加法?

我们定义,加法是满足以下两种规则的运算:

1. 对于任意自然数 m,0 + m = m;
2. 对于任意自然数 m 和 n,S(n) + m = S(n + m)。

有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义,任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。

如何证明一加一等于二?

至此,我们可以证明 1 + 1 = 2 了:

   1 + 1
= S(0) + 1  (根据自然数的公理)
= S(0 + 1)  (根据加法定义 2)
= S(1)      (根据加法定义 1)
= 2         (根据自然数的公理)

事实上,根据加法的定义,我们不但可以证明每一个加法等式,还可以进一步证明自然数的加法结合律和交换率等一般规律。类似于加法的定义,还可以定义自然数的乘法并据此证明乘法的结合律、交换率和分配率等。如果大家对这方面问题感兴趣的话,可以看看参考文献[1].

看到这里,不知道你会不会有一种如释重负的感觉。原来,我们所知道的关于数学的一切,关于人类认识世界的一切,都不是建立在直觉之上,而是在接受几个公理的条件下通过理性的方法推导出来的。同时或许你还会有一种自由的感觉:正如你可以不接受欧几里得的公理而构造自己的几何体系一样,你也可以不接受上面的几个公理而建立自己的一套关于数的体系。你可以建立无数种奇奇怪怪的体系。不过如果是为了解释自然的话,至少从目前的角度看,现有的这套还是更好一些。

一些历史背景

上面所说的公理 1 - 5 便是著名的皮亚诺公理,它是意大利数学家皮亚诺在 1889 年发表的。虽然描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化,但这套体系本身一直延用至今。根据这个建立在公理基础之上的自然数体系,通过引入减法可以得到整数系,再引入除法得到有理数体系。随后,通过计算有理数序列的极限(由数学家康托提出)或者对有理数系进行分割(由戴德金提出)得到实数系 [2]。这一套公理化实数体系连同同时期魏尔斯特拉斯在微积分分析化过程中的贡献(例如极限定义中的 ε-δ 语言)一道,使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上 [3]。

参考文献
[1] Analysis [M]. Terence Tao
[2] 数学史概论(第二版)[M]. 李文林
[3] A History of Mathematics, an Introduction (Second Edition) [M]. Victor J. Katz

热门评论

  • 2011-02-09 16:37 已注销用户

    好复杂。。。。。。身为中学生的偶,看不懂啊啊啊啊!!!!

    [37] 评论
  • 2011-02-10 00:31 绿咸鱼
    引用 Janish 的回应:看到过一个帖子标题是“你才是数学家!你全家都是数学家!!”
    数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情

    理所当然?如果大家理所当然的认为欧几里得第五公理成立就不会有黎曼几何,没黎曼几何就没广义相对论,木有广义相对论,估计现在大家还在头疼gps的误差问题了...
    更别说早期微积分的建立了,如果没人刨根问底的弄出来ε-δ表达,估计现在微积分也没人敢用在工程上(因为会有好多种计算方式得出来不同的结果)...

    [30] 评论
  • 2011-02-09 18:27 KIMBLIN
    引用 lhb5883 的回应:我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?


    确实是的,S(n) + m = S(n + m),其中S(n+m)已经含有加法了,因此又回到了1+1=2的证明,相当于用结论证明结论了吧?

    [5] 评论

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全部评论(165)
  • 1楼
    2011-02-09 16:22 forhiding

    谢谢作者的介绍,优美的数学

    [3] 评论
  • 2楼
    2011-02-09 16:37 已注销用户

    好复杂。。。。。。身为中学生的偶,看不懂啊啊啊啊!!!!

    [37] 评论
  • 3楼
    2011-02-09 17:05 lhb5883

    我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?

    [1] 评论
  • 4楼
    2011-02-09 18:11 Paradise丶
    引用 Corvusy 的回应:那考虑这个:S(3)=3,S(2)=4,其它一样,即 0 1 2 4 5 6 ……、3(注意3不在其它数之前或之后),似乎也满足这个公理体系?

    他这上面定义的自然数是一整个数列,怎么会存在一个前后都没有数的3呢?

    [2] 评论
  • 5楼
    2011-02-09 18:15 绿咸鱼

    那个...常用的0不是自然数吧...当然你非要说文中的0就是常用的1也不是不行,不过至少说明一下吧...

    [0] 评论
  • 6楼
    2011-02-09 18:27 KIMBLIN
    引用 lhb5883 的回应:我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?


    确实是的,S(n) + m = S(n + m),其中S(n+m)已经含有加法了,因此又回到了1+1=2的证明,相当于用结论证明结论了吧?

    [5] 评论
  • 7楼
    2011-02-09 18:27 绿咸鱼
    引用 Corvusy 的回应:那考虑这个:S(3)=3,S(2)=4,其它一样,即 0 1 2 4 5 6 ……、3(注意3不在其它数之前或之后),似乎也满足这个公理体系?

    这个不满足归纳法...比如简单的命题,P:a属于{0,1,2,4...}
    显然P(0)成立,
    对任意的n,如果P(n)成立,那么P(S(n))也成立
    但是P(3)不成立。

    [2] 评论
  • 8楼
    2011-02-09 18:41 绿咸鱼
    引用 KIMBLIN 的回应:引用 lhb5883 的回应:我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?

    确实是的,S(n) + m = S(n + m),其中S(n+m)已经含有加法了,因此又回到了1+1=2的证明,相当于......

    这个不是这样的...公理2只定义了运算S,加法是通过0+m=m和n+m=S(S(n-1)+m)=...=S(S(...S(0+m)...))这种形式定义的...那个S(n+m)是要递归的向下展开的...

    [0] 评论
  • 9楼
    2011-02-09 18:52 KIMBLIN
    引用 绿咸鱼 的回应:引用 KIMBLIN 的回应:引用 lhb5883 的回应:我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?

    确实是的,S(n) + m = S(n + m),其中S(n+m)已经含有加法了,因此又......

    这么说貌似合理,但这不相当于设定两条定义证明一个结论了?

    [0] 评论
  • 10楼
    2011-02-09 19:06 绿咸鱼
    引用 KIMBLIN 的回应:这么说貌似合理,但这不相当于设定两条定义证明一个结论了?

    没错啊,这个其实是解释我们常用的数和运算符号背后是有着怎样的严格定义,就和欧式几何一样,5条公理弄出来那么多漂亮的结论...

    [0] 评论
  • 11楼
    2011-02-09 19:55 绿咸鱼

    呆...查了下维基百科,自然数确实有用非负整数来做定义的...果然还是接触太少了么?...捂脸爬走...
    另外...比较常用的还是正整数这个定义吧,至少maple里面的自然数就是从1开始的啊...

    [0] 评论
  • 12楼
    2011-02-09 20:29 暴走紫罗兰

    我也觉得公理用了加法了……

    [0] 评论
  • 13楼
    2011-02-09 21:37 CorvusY
    引用 小风 的回应:
    他这上面定义的自然数是一整个数列,怎么会存在一个前后都没有数的3呢?


    有了这以上的努力,我们就可以这样定义自然数系了:存在一个自然数系 N,称其元素为自然数,当且仅当这些元素满足公理 1 - 5。


    是一个“数系”,不是“数列”,定义没有强调有顺序,顺序是来自S(n)=n+1(当然是在一切有了定义之后)

    [0] 评论
  • 14楼
    2011-02-09 21:47 CorvusY
    引用 绿咸鱼 的回应
    这个不满足归纳法...比如......


    归纳法……这个倒是……不够后来发现似乎用公理2 就可以推翻了……

    [0] 评论
  • 15楼
    2011-02-09 21:49 sevenseas

    这个我记着陶哲轩的实分析那本书前面对整数什么的推理很详细 貌似中国教育缺这一块~~~

    [0] 评论
  • 16楼
    2011-02-09 21:59 AtheraLee

    Terence Tao
    同楼上 我赫然被这个名字闪亮了眼睛

    [0] 评论
  • 17楼
    2011-02-09 22:52 __子实__

    其实是人择原理...O(∩_∩)O哈!

    [0] 评论
  • 18楼
    2011-02-09 23:10 绿咸鱼
    引用 sevenseas 的回应:这个我记着陶哲轩的实分析那本书前面对整数什么的推理很详细 貌似中国教育缺这一块~~~

    ...翻出大学四年的教科书...将近一半的书里面第一章全是集合论的泪流满面...

    [0] 评论
  • 19楼
    2011-02-10 00:05 方程 应用数学专业

    挺精彩的哦!一切法则定理命题定律公式都建立在公理之上啊,真希望可以把公理给推翻了,亲眼看数学的全体崩溃。但是记得公理只要不自相矛盾(完备?)就成立,而且不可证明。想推翻它貌似不可能。因为公理其实在自圆其说呀……个人觉得而已。第一次回复,纪念

    [1] 评论
  • 20楼
    2011-02-10 00:05 Jannnnnnnnnns

    看到过一个帖子标题是“你才是数学家!你全家都是数学家!!”
    数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情

    [1] 评论
  • 21楼
    2011-02-10 00:06 sylnp
    引用 Corvusy 的回应:那考虑这个:S(3)=3,S(2)=4,其它一样,即 0 1 2 4 5 6 ……、3(注意3不在其它数之前或之后),似乎也满足这个公理体系?

    这个序列的确符合设定体系,但是注意作者其实只是用S(N)表示N的后继而以,在你的排列方式里,4就是2的后继。 可以理解为你在你的世界里,用符号“4”代替了现实世界中的符号“3”,用符号“5”代替了现实世界中的符号“4”,等等。这并没有什么矛盾,看起来有问题是因为你仍然把4理解为3的后继。
    比如我喜欢规定 S(3)=X, S(X)=5,S(5)=6,那么我的自然数列就是 0,1,2,3,X,5,6,... 其实只不过是人对数字符号的选择而已。

    [0] 评论
  • 22楼
    2011-02-10 00:15 sylnp
    引用 KIMBLIN 的回应:引用 lhb5883 的回应:我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?

    确实是的,S(n) + m = S(n + m),其中S(n+m)已经含有加法了,因此又回到了1+1=2的证明,相当于......


    一般可以这么理解,m+n 被定义为对m和n的一种操作,比如结果是f(m,n) 。 这种操作结果是什么我们一开始并不知道,但是确定的事实是: f(0,m) = m 以及 f(S(n),m) = S(f(m,n)),然后作者不过是从这里开始证明了f(1,1)=S(1)=2。 这样就不涉及未对加法进行定义的问题。

    [1] 评论
  • 23楼
    2011-02-10 00:31 绿咸鱼
    引用 Janish 的回应:看到过一个帖子标题是“你才是数学家!你全家都是数学家!!”
    数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情

    理所当然?如果大家理所当然的认为欧几里得第五公理成立就不会有黎曼几何,没黎曼几何就没广义相对论,木有广义相对论,估计现在大家还在头疼gps的误差问题了...
    更别说早期微积分的建立了,如果没人刨根问底的弄出来ε-δ表达,估计现在微积分也没人敢用在工程上(因为会有好多种计算方式得出来不同的结果)...

    [30] 评论
  • 24楼
    2011-02-10 00:44 sylnp
    引用 绿咸鱼 的回应:引用 Janish 的回应:看到过一个帖子标题是“你才是数学家!你全家都是数学家!!”
    数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情
    理所当然?如果大家理所当然的认为欧几里得第五公理成立就不会有黎......


    哈哈,兄台不要太费神试图跟外行解释这些. 多数人活了一辈子都用不到微积分. 就像你家楼下卖西瓜的大娘不明白为什么傅利叶级数展开很好用一样. 你用就觉得重要,不用就不觉得重要. 如果你试图跟她解释甚至争辩,那就是白费时间.

    [2] 评论
  • 25楼
    2011-02-10 03:33 Ov's Pianist

    数学把我们是生活打点的多有条理,要是现在说推翻它,太诡异了吧。一套乱的系统怎么能操作的如此猛烈?

    [0] 评论
  • 26楼
    2011-02-10 09:09 gildor

    精彩!
    数学最伟大!

    [0] 评论
  • 27楼
    2011-02-10 11:10

    太精彩了,看来几次和评论才看明白。数学就是一门严谨的科学。

    [0] 评论
  • 28楼
    2011-02-10 12:31 CorvusY
    引用 sylnp 的回应:这个序列的确符合设定体系,但是注意作者其实只是用S(N)表示N的后继而以,在你的排列方式里,4就是2的后继。 可以理解为你在你的世界里,用符号“4”代替了现实世界中的符号“3”,用符号“5”代替了现实世界中的符号“4”,等等。这并没有什么矛盾,看起来有问题是因为你仍然把4理解为3的后继。


    我说的问题并不是这个,而是独立于序列之外的另一个序列(在这里只有一个3),不过反正解决了。

    另外这个公理体系是不是隐含了这样一条:这个数系中的数(自然数)只能来自于公理1和2(即一个自然数要么是0,要么是另一个非自身直接或间接后继的自然数的后继而没有其它来源)?
    (注意到公理3 4是对S(n)的限制,而公理5是对整个数系的限制,直接说明自然数来源的只有公理1 2 )

    [0] 评论
  • 29楼
    2011-02-10 13:14 我是牛奶

    我晕

    [0] 评论
  • 30楼
    2011-02-10 17:07 herofeng

    一直对于“公理是不需要证明的”这句话心存疑虑,总觉得这样用公理推导只是为了符合结论而设定过程而已。。。

    [0] 评论

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