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从化圆为方到选择公理

化圆为方,与三等分角、倍立方体并称古希腊三大几何作图问题。给定一个圆,它要求我们用圆规和直尺画出一个面积相等的正方形。这个坑一挖开,从古希腊到现在不断有人往里跳。直到解析几何的出现,人们才从根本上证明了这个问题的不可能性:化圆为方相当于作出 π 的平方根,但尺规作图只能进行四则运算和开平方,对作为超越数的 π 无能为力。但这并不能阻挡某些“数学爱好者”的脚步。至今仍有人往这个大坑里跳,而且摔得乐此不疲。

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化圆为方问题,本质上就是要求作 π 的平方根。

达·芬奇的“解法”

有人跳坑,也就肯定有人耍点小聪明绕道而行。达·芬奇这位聪明人就想了一个很简单的办法:假设圆半径为 r,造一个半径为 r 高度为 r/2 的圆柱体,它的侧面面积恰好就是 πr 2 。接下来就好办了,用绳子把圆柱体的“腰围”和“身高”量一下,放到纸上形成一个矩形,然后用直尺圆规来将这个矩形化为正方形就好了。

这个方法相当狡猾,用“度量”的方法巧妙避开了“作出 π 的平方根”这个问题。当然,在欧几里德这些希腊人的眼中,这种方法只是取巧,因为一来不精确,二来太犯规,用了直尺圆规以外的工具。即使用直尺和圆规来度量也不行,尺规作图的规定就是,直尺只能拿来画直线,圆规则是画圆,它们不能有“度量”的功能。

塔斯基的问题

那如果我们用更基本的东西来完成任务呢?比如说将圆切成几块,然后拼成一个正方形?那虽然不能说是“尺规作图”,但在某种意义上比尺规作图更基本,不是吗?

数学家塔斯基(Alfred Tarski)在 1925 年提出的,正是这样一个挑战。用更精确的数学语言来说,就是要求把平面上的单位圆盘分割成有限块,每一块是一个点集,然后通过平移和旋转这些保持面积的方法,将这些点集拼成面积相同的正方形。怎么分割都无所谓,甚至是没办法做出来的分割也可以,唯独是“有限块”这种限制不能去掉。如果能分割成无限块的话,那就太简单了,只要把单位圆盘“磨成细末”,每一块都只有一个点的话,那别说是拼成正方形,就是拼成一幅对联也问题不大。即使是犯规,也是有底线的。

这乍听起来是个很无理的问题。别的先不说,要把圆变成正方形,总要先处理那弯弯的圆周吧?看起来无论怎么切,只要是有限块,那恐怕也不能将弯曲的边界拗成直线。实际上,可以证明,如果只用剪刀这样的工具的话(从数学上来说就是如果每一块的边界都是简单闭合曲线的话),这个任务是不可能做到的。但是,原来的题目中也没有限制只能用剪刀。只要是“点集”,无论是否连在一起,都符合要求,所以希望还有,不过就是更“犯规”一点而已。

拉兹柯维奇的答案

在 1990 年,匈牙利数学家拉兹柯维奇(Miklós Laczkovich)终于肯定地解答了塔斯基的这个问题。他证明了这样的先割后补的“化圆为方”方法是存在的。美中不足的是,他并没有实际给出一个割补的方法,而只是证明了这样的方法存在,而且粗略估计需要将圆切成大约 10 的 50 次方个点集。而更为犯规的是,这些点集是没有面积的。这些点集甚至不是面积为 0,而是我们根本无法定义它们的面积。在数学上,这些无法定义面积的点集叫不可测集。为了定义这些集合,拉兹柯维奇在证明中大量使用了选择公理,这是定义不可测集的唯一方法,也是令我们不能明确构造分割方法的原因。 [注1]

尽管现在大多数数学家都会自然地运用选择公理和它的各种变种,但在 20 世纪初,公理集合论起步伊始之时,是否允许使用选择公理曾经是热门的争论话题之一,直接与针对数学基础的第三次数学革命扯上了关系。整场风波围绕着一个问题:什么是可以被接受的数学推理?这场关于数学基础的争论持续了几十年才慢慢平息下来。其中也产生了一些饶有趣味的结果,比如说同样利用选择公理,我们可以将一个球分成几个不可测集,然后用这几个不可测集拼成两个和原来相同大小的球!尽管在直观上很难接受,但在数学上这的确成立。这个定理叫巴拿赫-塔斯基悖论,这位塔斯基正是提出上文中问题的那位塔斯基。

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巴拿赫-塔斯基悖论:可以把一个实心球分成有限块,然后重新拼成两个和原来一模一样的实心球。

如果提出尺规作图化圆为方问题的希腊人来到今天,看到这个犯规的割补法竟然与数学推理的基础有着联系,他们会做何感想呢?

[注1]:关于不可测集与选择公理,可以参见木遥在科学松鼠会上的文章 长度是怎样炼成的

The End

发布于2011-02-10, 本文版权属于果壳网(guokr.com),禁止转载。如有需要,请联系果壳

我的评论

方弦

科学松鼠会成员,信息学硕士生

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