假如你是一名大侠，为了维护自己的江湖地位，在寒风中和另一名大侠约战紫禁之巅。一切看上去都很飘逸，你的造型和动作也早已练得很潇洒。但死理性派提醒你，风大，小心冷。一阵风来，冻得浑身哆嗦，未免有失大侠风范。
大侠们可能都会诧异，就是因为穿的少，特地看了天气预报选了一个温度并不低的时间决战，怎么出门这么冷？到底是天气预报不准还是自我感觉出了问题呢？其实，天气预报和大侠们自己的感觉都没有错。
风吹到脸上到底有多冷
在有风的时候，如果空气温度比我们体表温度低，运动速度越快的冷空气通过热对流从我们身上带走的热量就越多。因此，即使气温并不算低，风很大的话我们还是会觉得冷，这时我们的感受可以称为感觉温度（也叫做风寒指数，wind chill factor），代表我们在无风情况下会有同等感受的空气温度。
数学杂志 Mathematics Today 在 2011 年 12 月份的刊登了一篇文章[1]，作者 Townie 对这个问题就进行了简单的分析。他计算出在空气温度为 0 ℃ 时，感觉温度随着风速变化如下图所示：
上图横坐标表示的风速都比较大，气象学家常用的风速指的是离地面 10 米处的数值。而实际计算中，用这个数值的 2/3 来估计人头部的风速的[1][3]。从图上可以看到，风的速度越大，感觉到的温度越低。刮 6 级以上的风（大于 40 km/h ）[4]，感觉到的温度比空气的温度（ 0 ℃ ）要低 10 ℃ 以上。
感觉温度是怎样计算的
这是怎么算出来的？不妨让我们来看看其中的道理。人体的头部一般暴露在外，更容易感到寒冷，为了简化问题， Townie 只考虑头部失去的热量，并将头部简化为直径 15 厘米的球体。尽管人的头有大有小，但这个简化结果的基本数量级是没错的。我们在中学物理里学过，热传递有 3 种方式：热传导，热对流，热辐射。 Townie 忽略了人体向周围发出的热辐射，选择用牛顿冷却定律来估算热量的损失速度。在稳定的情况下，人体表面温度恒定，牛顿冷却定律可以表达为：
其中 q 表示单位面积的皮肤在单位时间内失去的热量， h 是热传导系数， T s 表示头部表面皮肤的温度， T a 是空气的实际温度。皮肤的温度基本上恒定，一般比体内温度稍低一点，大概是 33 ℃ ~ 34℃的样子，我们对外界温度的感觉和 q 有关， q 越大，说明热量失去的越快，我们也就越觉得冷。
在这里，热导系数 h 和空气相对人运动的速度有关，假设某个速度下求出的热导系数记做 h fc ，那么在这个速度下，单位面积失去热量的速度是
在没有风的时候，热导系数 h calm 要比 h fc 小一些，这样，要得到同样的热量损失，需要的外界温度 T wc 就相应的要低一些，对应的公式为
注意，这里的 T wc 就是我们感觉到的温度。对上面两个公式进行适当的整理，可以得到
由此可见，问题的关键在于推导或者测量出有风和无风时空气热导系数的比值。
如何求出热导系数比值
如何求出这两个热导系数的比值，真要靠测量吗？不需要。由于这个问题涉及到空气（一种流体）的运动和导热，因此热导系数的比值可以根据流体力学的理论来估计。一般流体力学涉及到的物理量比较多，这些物理量可以构成许多无量纲的数字，能够表征在不同问题里什么影响因素更重要。
在流体力学里经常见到的一个数字叫做雷诺数（Reynolds），Re = ρvD/μ。 μ 是流体的粘滞系数，ρ 是流体的密度， v 是流体的速度， D 是问题涉及到的特征长度[2]，具体到本文所述的问题就是头部的直径。雷诺数给出了流体运动过程中，流体的惯性力和粘滞力的比值。当雷诺数比较大时，流体流动较不稳定，比如小溪里面的水流，这时可以将系统近似为非粘性流体，忽略掉液体的粘性；而雷诺数比较小时，流体流动稳定，比如室温下粘稠蜂蜜的运动，则可以近似地将惯性力忽略掉。 Townie 参考了这些知识，得到公式
Nu （ Nusselt 数）包含了热传导系数 h，它和 Re 、 Pr （ Prandtl 数）都是流体力学里面的无量纲数，根据这个数我们就能得出有风和无风时空气热导系数比值。这里就不仔细介绍各个无量纲数的含义了，有兴趣的读者可以自行学习。据此，Townie 就得到了文章开头给出的结果。
更精确的经验公式
当然，要说的是 Townie 的计算还比较粗略，其中用了很多的近似和假设，得到的结果在数量级上是对的，但并不精确。气象学家通常用的是通过人体实验和数据修正总结来的经验公式，如果温度 T 以摄氏度为单位，风的速度 V 以千米每小时为单位，那么感觉温度可以表达为[3]：
细心的读者会注意到公式里如果取 T = 0，在 V = 0 的情况下得到的感觉温度不是 0。这是因为这个公式是经验拟合公式，只在一定的速度范围内适用，超出这个范围得到的结果就不那么精确你。而且，在实际计算中，“无风”的情况下用的速度 V 不是0，而是 4.8km/h （ 3 英里每小时），代表的是人在无风的情况下行走的速度。
Townie比较了这个经验公式的结果和用前面我们介绍的方法估计的结果。在空气温度是 0℃ 和 -15℃ 的情况下，两种方法计算出的感觉温度如下图所示
可以看出， Townie 方法的估计结果（红色线段）和经验公式（蓝色线段）给出的结果还是比较接近的，随着风速的增加，都比空气温度（虚线）低出几摄氏度甚至十几摄氏度。单看经验公式的结果，在温度比较低的时候（比如 -15℃ ），感觉温度随着风速的增加，降低的更快，也就更冷。
最后要说明一下，本文只考虑了暴露在外的头部而没有考虑有衣服包裹的躯干部分。因为衣服包裹的地方散量流失的就会慢很多，尤其是像厚羽绒服或者冲锋衣那种衣服，相当于在皮肤和空气之间放了一层厚厚的隔热层，热量的流失会更小，身体表面的温度会和体温很接近。所以，讨论感觉温度就要讨论裸露在外的头部等部位。
了解到这些，你是不是觉得做一名大侠其实也挺不容易的？
如此说来，还是蜘蛛侠考虑的全面……
参考资料：
| [1] | (1, 2) A.Townie, Urban Maths: Chill with Newton! Mathematics Today 294, December 2011. |
| [2] | 维基百科： 雷诺数 |
| [3] | (1, 2) FCM-R19-2003. US Department of Commerce: National Oceanic and Atmospheric Administration, Report on wind-chill temper-ature and Extreme Heat Indices : Evaluation and Improvement Projects. 2003. |
| [4] | 维基百科： 蒲福风级 |