圆为什么有360度?

(旧文一篇。。)

从太阳、满月,到向日葵的花盘、水面的涟漪,自然界中的圆无处不在。“圆,一中同长也”(《墨经》),两千多年前的墨子是世界上第一个给出圆定义的人。圆形的轮子是人类历史上最重要的发明之一。由其衍生出来的齿轮在工业革命中起到了无法替代的作用。圆与我们的生活息息相关。但是,你真的了解圆吗?

圆为什么有360度

大家都知道圆有360度,但是你知道为什么要这样划分吗?为什么不是300度、400度,而一定是360度呢?别急,这事儿要从公元前说起……

在古文明时期,人类把很多不能解释的自然现象归结为“天意”。 从对“天意”的判断与预知发展出了占星术,也促进了早期天文学的发展。经过长期肉眼的天文观测,古人终于有了一个重大发现——各星象的运动轨迹是一个圆……它们在夜空中的位置每天都会比前一天稍移一些,直到一个周期——也就是一年后,又会恢复原位。现在你有没有发现,一年有365天与一个圆有360度之间的微妙关系?

其中一种理论认为,古巴比伦人继承了同为美索不达米亚平原上公元前三世纪苏美尔人的六十进制计数方法,将一年划分为360天(12个月,每月30天),因此根据上所述原因,一个圆也可以被划分为360等份,每一份即为“一度”。在巴比伦帝国被波斯人消灭300多年后,希腊天文学家阿里斯塔克斯和喜帕恰斯重新系统归纳总结了巴比伦人在天文学上的成就,“星座”和“天球”的概念首次出现,六十进制被继续发扬光大,天象划分基础被确立,“一个圆有360度”的说法也开始成为科学标准渐渐得到人们的肯定。


图1 未来一年在北京观测大熊星座运行轨迹(绿色显示为大熊星座)

也许你又要问了,现在人类已经知道一年可以精确划分为365.242199天,那么圆的度数为什么不修正到365度呢?好吧,那让我们再来看看360这个数另一个更具有现实意义的性质:它有24个因数。这意味着可以用它来对世界进行时区划分,每一个时区横跨15个经度,正好可以划分为24个时区,同时又关联上了一天24小时的国际公约。

理解弧度

可能你还要说“火星年相当于地球的687天,那么在火星,一个圆岂不要有680度了?另外在欧洲有些地区使用‘梯度’的概念不是也可以把圆分为400度吗?看来人们对度数的确定还是很随意啊。”没错,你说的对,人类从自身考虑出发,用“度数”来看待自然界确实存在一定的主观性和“自私性”。那么现在让我们借用物理学中“参照系”的概念,换个思路,选择一种“无私”的方法来重新看待问题吧。这种方法就是“弧度”。

参考图2,假设你在田径场中观看长跑比赛,一方面运动员围着田径场绕圈跑,另一方面你的头也会因追随他们的身姿而转动。那么你是如何衡量一个运动员跑了多少距离的呢?嘿,别跟我说是你脑袋摆动过的距离!看,度数就是这样一个“自私”的角的量度单位,它是通过测量人头部转过了多少而被确定的。相反弧度则是由通过测量运动者的运动距离而被确定的。


图2 度数与弧度的关系

为了让弧度在不同大小的圆中都具有意义,我们需要对它进行归一化,便有了下面这个大家耳熟能详的公式:

弧度=距离/半径

这样一个圆就被划分为了360个度数或者2π个弧度——绕圆一周的距离除以半径(2π*r/r).所以一个弧度又等于57.3度。“57.3度?好怪的一个数啊!”感觉到奇怪吗?那是因为你还在用转脑袋的方式看问题啦!

让我们暂且忘了度数吧,来看看弧度正在为我们做哪些事情。事实上弧度在我们生活中的应用极其广泛。从绕地球转动的人造卫星,到汽车开动时的车轮,我们都是用与弧度相关的概念(“千米每小时”、“转数每分钟”)来定义它们的速度,这其实就是一种客观地站在运动者视角看问题的思考方式(“田径场中的长跑运动员跑了多少圈?”)。

甚至连正弦函数Sin(x)也可以用弧度来表示:

sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……

上式只有在x为弧度的时候才能成立。不要感到惊奇,这是因为正弦本身就是定义在运动距离而非“脑袋转动度数”上的。

度数和弧度的意义

在日常生活中,我们是基准点,以此希望了解世间万物是如何对我们产生影响的。因此当我们去调整天文望远镜、滑雪板、方向盘的时候,我们用的是“度数”。

但在自然界中,我们是观察者,我们需要换位思想来对其它物体的运动进行描述。“弧度”就是这样一种用来客观描述它们的方法。

角度可以有多种视角多种定义,而对弧度的理解无疑使得我们的数学和物理学方程变得更加直观。另外从角度量单位的发展(由“度数”到“弧度”,),我们也可管中窥豹,看到人类文明对这个世界认知的变化过程。

参考编译自:

[1]Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians

[2]wikipedia:Circle,Radian,Degree(angle)

[3]interactive night sky map

本文由D-Horse授权(果壳网)发表,文章著作权为原作者所有。
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D-Horse 生物信息学硕士生 D-Horse的新浪微博 发表于 2012-07-13 03:49

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