一个初始状态的魔方,不断的重复某一套任意步骤,总能在有限次的重复后又恢复到初始状态吗?

作为一个魔方爱好者,偶然发现了这个规律,即取任意设计的一套步骤,一直重复,最后总能恢复到原始状态,我只用最普通的三阶魔方试过,尚未发现反例;
我想知道这个规律是否是绝对的,如果是,怎么证明?如果不是,反例是什么?以及如果这个规律是绝对有效的,那是否适用于高阶魔方和异形魔方?

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9个答案
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证明题生化药学博士生 世界魔方协会(WCA)代表 桌游...

2012-06-13 13:45

命题:
对任何的公式X,都存在整数N,使得公式X作用于一个还原的魔方N次,能重新到还原的状态。

公理:
1.魔方的变化种类是有限的,假定为NAN个状态。
2.A状态经过一个公式只有唯一确定的B状态
3.A经过一确定公式得到状态B,则必定存在逆公式从B到A

由于魔方状态数有限,所以做一个公式不超过变化种类的次数,就会出现重复的状态(因为抽屉原理)。记第一次出现重复状态为A1,这两个相同状态的变化为 A1->A2->A3->...->AN->A1,这两个相同的状态如果恰好是复原的状态,那么命题得证。如果不是复原的状态,那么它就是复原状态的一个置换t(),t相当与一个变换函数,t(复原状态)=A1。现在将t施加在整个链上 A1->A2->A3->...->AN->A1,变成 t(A1)->t(A2)->t(A3)->...->t(AN)->t(A1)也就得到了两个复原状态的循环,得证。

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这个规律是正确的,虽然对于那些相对复杂的“步骤”来说周期会……略大。
证明思路大致如下。
关注那些在一次操作中所涉及到的方块,假设有n个棱块和/或m个角块,给这些方块编上号,然后仔细观察操作前后它们是怎么移动的,以棱块为例,一次操作前后可能是这样的效果:1号棱块移到4号棱块(原来)的位置、4号棱块移到2号的位置、2号移到3号的位置、3号移到1号的位置,5号和6号原地翻转。因为每个方块都要占据并只占据一个位置,且我们只关注操作中涉及的方块,因此这些方块必然处于一条或几个“环”中,所谓的环在上面的例子中就是1-4-2-3-1,5-5',6-6'这几条移位(翻转)序列(移位序列中是否翻转不太好判断,不过这不妨碍下面的结论)。对某一个环而言,操作一次会使环中涉及的方块移位一次,故长度为k的环在k次操作后,其涉及的方块就都会回到原来的位置(如果有方向上的问题,再进行k次就行,证明留作课后习题)。因为一个魔方中方块数量是有限的,所以一套确定的“步骤”必然只能产生有限个“环”,取所有环长度的最小公倍数,显然在(这个最小公倍数)次操作后,每个环涉及的方块都回到了原来的位置,整个魔方也就回到了最初的状态。
此规律对高阶及部分不规则魔方同样有效

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Fishingsnow数学系博士生,TBBT资深爱好者

2012-06-07 05:18
支持者: AlephAlpha 非乌龟

在高等代数中,魔方的所有变换可以构成一个“魔方群”,而且这个群显然是有限的。我对这个不是很了解,不过我个人猜测证明这个结论应该不是很难,而且应该可以推广到n维。对于异形魔方很可能也是对的。

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每一个魔方状态相对与给定公式都有唯一先导状态和后继状态。因此给定公式将所有状态组成了链条。又因为魔方状态有限,所以链条长度有限,所以这链条必然是一个环。

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仙术经物理控 求学者 爱旅行 最近学乐理中

2012-06-06 21:03

魔方神马的最讨厌啦。。。

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以后谁说我不懂怎样复原魔方,就会死得很难看。

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状态有限所以必定有环。
操作可逆,就去掉rho形的情况了,所以一定可以恢复初始状态。

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  • 初始状态,设后面的每一次做公式就使得的下标增加,从而我们会得到序列
  • 我们知道,魔方的状态总数是有限的,从而根据鸽笼原理,一直使用,肯定会有一个与某个相同,即,s.t.
  • 现在我们从开始一直使用,直到得到这条序列中有两个状态是一样的为止,即有,对于某个。这时我们要去证明,如果我们假设先任意给定一个初始状态,然后一直去做公式,直到产生了这样一种必然结果下,在这一条序列中,【居然还没有出现过某个(0<j<i+k),这个是与相同的状态】是假的
  • 【使用反证法】我们先假设【还没有出现过某个(0<j<i+k),这个是与相同的状态】是真的。假设完后开始证明,我们现在已经有,然后,通过(这是把公式往回做的意思),就可以知道有;再做一次,就可以知道有;;依此类推,由于是一个有限的数字,所以我们可以通过有限的步骤,得到 (y≤i)。由于我们已经假设,【不会出现某个(0<j<i+k),这个是与相同的状态】,所以知道,这个只能是,即有。由于做一次,所以就是;而且我们知道,已经有,所以我们让模仿,这样就可以知道,会变成,并且得到的这个状态(即)会跟这样去做的状态(即)完全一样(因为都是在做而得到的),从而说有;而我们已经有,所以会有
  • 基于这些讨论,就会发现,这里的大于0的(因为已有(y≤i)),也就是说,我们在序列中发现了一个状态跟是一样的状态,这个状态就是,但它却不是初始状态,而是这个序列中的其他某一个,而这一个状态又必然是在初始状态的基础上通过不断操作来得到的。所以说,我们这里导出了矛盾,从而否定掉我们的假设。现在我们就得出结论:【还没有出现过某个(0<j<i+k),这个是与相同的状态】是假的。也即:【必然已经出现过某个(0<j<i+k),这个是与相同的状态】是真的
  • 既然如此,就说明,在给定初始状态的情况下,选定任何一个,不断地操作,则必然可以在有限次操作下得到与初始状态一样的状态,也即所谓的必然可以回到初始状态。
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danjon地理学史博士生

2012-06-07 17:19

这个显然可以,不需要任何魔方或数学知识。
只需知道魔方的总状态数是一个有限的数字,哪怕你的步骤能够遍历所有的状态,最后总会回到初始状态。

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