如何证明(√2 -1)^n的表达式总可以写成这个模样?

n是正整数,求证(√2 -1)^n的表达式总是符合”√(m)-√(m-1)"这个模样。(m是整数)

这是在某处看到的一道。。。好像是自主招生题,百度没人会,来果壳求助高手啦~

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3个答案
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支持者: 卡特尼普 小潘君额

我是这么想的。很单纯,我觉得没有必要用高级的数学思想。
1.n==1时,满足
2.假设n==k时,满足,
则有:
当n==k+1时,

其中p==
因而成立了!↖(^ω^)↗

可以把前几个带进去验证一下!

p一定是整数
1.当k是偶数时,sqrt(m)=,sqrt(m)一定是整数,毫无疑问。
则m=
显然m-1=,这是个完全平方,sqrt(m-1)=,那么这个式子里面没有整数了,他可以写成sqrt(2)*K,其中K是整数。
p的前面有一个sqrt(2),乘进去就是整数了。
2.当k是奇数时,几乎一样一样的。
你可以带进去自己演算一下,就会发现了,只是看是不容易看出来的!( ⊙ o ⊙ )

如果你又要说,m是怎么得到的,那你就去死吧!!!!!!二项式展开。
(sqrt(2)-1)^(2k)就得到了………………,哦我上面的k都是2k…………

0 0

并不需要实际地把√2-1的n次方算出来或者表达出来。
你只要知道这个n次方可以写成k-√l或者√l-k的形式,而对应的√2+1的n次方必然是k+√l或者√l+k的形式,就足够了。
而k^2-l=(k-√l)(k+√l)={ (√2-1)(√2+1) }^n=1(另外一式省略)。那么k^2和l就是我们要找的两个相差为1的整数。

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