如果修改了空间里「距离」的定义,那么圆周率会变化么?圆周率可以作为距离函数的一个指标么?

假如线性度量空间中,两点 PQ 的距离用函数 h(P, Q) 表示
再假定此距离满足平移不变(h(P, Q) = h(P + R, Q + R))
以及比例性质(P - Q = k (R - Q) 则 h(P, Q)= k h(R, Q))

定义单位圆 U = {P | h(O, P) = 1}
那么单位圆周长的一半就是函数 h 对应的圆周率 Pi[h]

请注意:修改了距离的定义,曲线长度也会变化

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1个答案
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当然不一样。非欧几何中以圆周率就和欧氏空间中的pi值不一样。比如说,想象一下球面。
但是你对问题的表达是有毛病的,首先你要定义函数h(P, Q)定义域是什么,数学上谈论空间的时候,未必是在说R^n空间,加减运算就更无从下手了。那么光有距离未必能定义测度,没有测度也就没有一般的“曲线”长度。也就没有圆周率。另外只要空间的加减法满足交换律和结合律,你的第二条性质就可以从第三条性质中推出。所以第二个问题是没有意义的。
如果对于第二个问题还需要进一步说明,考虑一下这样一个距离空间:定义距离为当P=Q时,距离为0,其余情况为1。显然是没有圆周率的说法的。

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