哥德尔不完备定理是什么?

看了维基百科,仍然无法理解这个定理。
请问各位有没有较为通俗易懂的理解?

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5个答案
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穷梦诗词科普作家

2013-06-08 07:04

《江城梅花引·哥德尔不完备性定理》
是非对错有逻辑,对唯一,错唯一。
“我在说诳”,真假怎分析?
悖论推敲忽醒悟,纵真理,也难全、自证齐。

证齐,证齐,算术题!桃李蹊,万众期。
数论体系,理是否、自证无遗?
否定回答,哥氏写传奇。
不再忧天臣电脑,依定理,任聪明、定可敌。

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D-Horse生物信息学硕士生

2012-07-16 07:54
支持者: 紫毫

科学松鼠会上的文章:《希尔伯特之梦,以及梦的破灭》@方弦

哥德尔不完备性定理,一共有两个。
第一,他证明了,对于任意的数学系统,如果其中包含了算术系统的话,那么这个系统不可能同时是完备的和一致的。也就是说,要是我们能在一个数学系统中做算术的话,那么要么这个系统是自相矛盾的,要么有那么一些结论,它们是真的,我们却无法证明。
第二,他证明了,对于任意的数学系统,如果其中包含了算术系统的话,那么我们不能在这个系统内部证明它的一致性。这就是希尔伯特第二问题答案的一部分。
其实,这里“任意的数学系统”之中的“任意”并不是完全的任意。这些系统必须是可以显式地规定出来的,用数学的术语来说就是可有效生成的。但对于我们熟悉的像欧几里德公理这样的形式系统来说,这的确是相当任意了。

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那啥,这货信息量很大,比较有用的就是在某个至少是一阶算术系统中必然有无法被证明和证伪的命题,例子就太多了,最有名的大概是……“我在说谎。”

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就是不能被证伪的命题
比如说
我在说谎

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一个逻辑体系要是复杂到拥有了递推能功能(即皮亚诺公理),那它内部就必然会存在用它内部的规则无法推定真伪的命题。你可以附加外部规则来实现对这些悖论的判定,但是这样附加有新规则的新体系又会有在它内部判定不了的命题了。

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