尼玛这是初中数学吗

它的难点我直接说出来吧我不想一个一个发过去了(后悔没有一开始就把话说清楚啊Orz)
很多同学都会直接用SAS证明三个三角形全等
问题就在这里
如何证明3个夹角相等
要知道,等边三角形这一条件只能推出小三角形三个内角都为60度
继而推出如角BDE加角ADF的和为120度
那三个夹角相等是怎么得来的
这就是关键了
各位同学不要直接地就得到。。。。。。

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24个答案
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先证明一个基本原理:当两边固定长时,它的夹角增加时,对应三角形的另外两个角随着减少。(画图可很容易证明)
假设∠A∠B∠C中∠A最大,则BC大于其它两边,所以BE>CF和AD,所以∠BDE在对应的3个角中最大,根据上述原理可得所以∠B在对应的三个角中最小
因为∠A在对应的三个角中最大,所以∠ADF在对应的三个角中最大(相等边的底角)
∠ADF+60度=∠BED+∠B
因为∠ADF>∠BED,所以∠B>60度
三角形中,最小的角大于60度,是不可能的。所以三个角都等于60度,三角形ABC是正三角形

假设ΔABC不是正三角形。不妨设∠A是最大的角,∠B是最小的角。则必有∠A>60°,∠B<60°
在ΔABC内侧取一点M,使∠DAM=60°且DM=DA,则ΔADM为正三角形。连接EM并延长交AC于N。
在ΔABC外侧取一点G,使∠EBG=60°且EB=EG,则ΔBEG为正三角形。连接FG交AB于H。
显然ΔADF≌ΔMDE(边角边),∴∠DEN=∠DFA,∴DEFN四点共圆,∴∠DNE=∠DFE=60°,∠ENF=∠EDF=60°
同理ΔBED≌ΔGEF(边角边),∴∠EDB=∠EFG,∴DHEF四点共圆,∴∠DHF=∠DEF=60°,∠EHF=∠EDF=60°,∠DFH=∠DEH
而∠ADM也是60°,于是∠DHF=∠ADM,∴DM∥GF,∴∠MDF=∠DFH=∠DEH
由于∠DMF=∠DNF+∠NDM+∠NFM>∠DNF=∠DNE+∠ENF=60°+60°=120°,而∠DHE=∠DHF+∠EHF=60°+60°=120°,同时∠DMF=180°-∠MDF-∠MFD<180°-∠MDF=180°-∠DEH
即180°-∠DEH>∠DMF>∠DHE=120°,因而必然可以在线段EH上取一点P,使∠DPE=∠DMF
于是ΔDPE≌ΔDMF(角角边),∴DM=PE
在ΔEGH中,∠EHG=180°-∠EHF=120°为钝角,根据“大边对大角原则”,必然GE>HE
于是GE>HE>PE,但是根据题意,GE=BE=AD=DM=PE,矛盾!
所以假设不成立,最大的∠A与最小的∠B相等,即ΔABC是正三角形。

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IBM 1998年8月的公开难题An Equilateral Dilemma(等边困境) http://t.cn/zWQdpxR,IBM自己给了个分五种情况讨论的证明过程(PDF版http://t.cn/zWQdpx8),直到2005年才有Fuxiang.Yu给出了一个简短而精巧的答案

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乐乐.胡卜士我谁也不是···

2012-08-21 19:53

既然题目没有“如图所示”
我这样可以不
肿么算呢····

【配贱脸图一张】

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支持者: 霸绝天下 cben

题目即是说:△ABC有三分点D、E、F使△DEF为正三角形且 BD=CE=AF,问△ABC形状

证明:△ABC为正三角形
首先,易证当△ABC为正三角形时满足题意,设此情形下各角度大小如图

下面证明△ABC不能为其他三角形
若△ABC不是正三角形,必有一角小于60°,设∠C<60°(即图中∠C变小)
已知 BD=CE=AF DE=EF=FD
由正弦定理sin∠C/EF=sin∠EFC/EC及大边对大角
得∠EFC<∠1(即∠EFC随∠C变小),从而∠FEC>∠4(即∠FEC变大)
而∠DEB+∠FEC=120°
∴∠DEB<∠2(即∠DEB变小)重复△EFC中的过程得
∠B<60°,∠BDE>∠5,∠ADF<∠3,∠A<60°
此时∠A+∠B+∠C<180°,与三角形内角和定理矛盾,上述假设不成立。
故△ABC为正三角形

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bay618粒子物理博士

2012-08-24 12:06
支持者: 电气

能不能证明若ABC不是正三角形, 则DEF也不是呢

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金是默沉致力兴趣中。。

2012-08-19 22:36

AD BD如何得知为同一直线

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用圆规把里面那60度角复制到外面那大三角形里,之后重合不就好了。。。。

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F无限靠近A,其他的也同理,三角形ABC不就是等边的了。

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怎么不给ADB三点共线的条件?另外两边也是?

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可以先证3个三角形全等,就可以得到DE=DF=EF,就可以证明三角形是正三角形,楼主,这很难吗?

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正着来还没想到 反着来倒是可以。。。

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Jaawee机械系本科生、摄影爱好者、CG爱好者

2012-08-20 21:42
支持者: 蜡笔桶装鬼小戏

很简单,建个平面坐标系,把A、F点设出来,可以算出直线AD、直线AF函数式,根据AF=BD和直线AD函数式,可以求出点B坐标,这时可以求出直线BE函数式,再求直线BE与直线AF交点坐标,然后A、B、C三点坐标都已知了,证三边相等就行了。
避开证全等的方法,要证的话步骤混一下计算量不算很大。
好久没有算这种东西了,不知道这种做法有没有问题。
P.s.初中学过平面直角坐标系吧?或者设D为极点的极坐标系算起来更容易。
配图:

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其实我想问问有没有原题的链接,或者LZ能不能给个完整的题目?

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那帮说很简单的连题都没看懂吧!本人觉得可以用反证法

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my.seven医学影像学工程师

2012-08-19 20:19

不难啊。证明ABC三个角一样也成

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送分题,初二无压力,SAS全等+三边相等为正三角形

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设ABC为等边三角形
由BD=CE=AF和A,B,C为60度,则边边角可是那三个是全等的,则DE=EF=DF
这样可以吗?

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大哥 这也算是经典例题了吧 我虽然忘了怎么做了 可这道题确实有年头了 是道老题 应该是用边角边定力证明ADF,DBE,FEC全等 然后三边相等 然后就差不多了 好像是这样

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lz想复杂了,这个只要证明三边相等就可以了啊,不要证明每个角是60度啊

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支持者: 小名天送

初三刚毕业的表示这是道送分题……

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