虚数的物理意义是什么?

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47个答案

虚数的意义

作者: 阮一峰
日期: 2012年9月24日
有人在Stack Exchange问了一个问题: "
我一直觉得虚数(imaginary number)很难懂。
中学老师说,虚数就是-1的平方根。
可是,什么数的平方等于-1呢?计算器直接显示出错!
直到今天,我也没有搞懂。谁能解释,虚数到底是什么?
它有什么用?"帖子的下面,很多人给出了自己的解释,还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟,醍醐灌顶,原来虚数这么简单,一点也不奇怪和难懂!下面,我就用自己的语言,讲述我所理解的虚数。

一、什么是虚数?首先,假设有一根数轴,上面有两个反向的点:+1和-1。

这根数轴的正向部分,可以绕原点旋转。显然,逆时针旋转180度,+1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此,我们可以得到下面的关系式:
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)如果把+1消去,这个式子就变为:
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i :
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟,它就是虚数的定义公式。
所以,我们可以知道,虚数 i 就是逆时针旋转90度,i 不是一个数,而是一个旋转量。

二、复数的定义既然 i 表示旋转量,我们就可以用 i ,表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴,虚数轴看作纵轴,就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数,必然唯一对应这个平面中的某个点。
只要确定横坐标和纵坐标,比如( 1 , i ),就可以确定某个实数的旋转量(45度)。
数学家用一种特殊的表示方法,表示这个二维坐标:用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如,把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数(complex number),其中 1 称为实数部,i 称为虚数部。
为什么要把二维坐标表示成这样呢,下一节告诉你原因。

三、虚数的作用:加法虚数的引入,大大方便了涉及到旋转的计算。

比如,物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ,另一个力是 1 + 3i ,请问它们的合成力是多少?

根据"平行四边形法则",你马上得到,合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这就是虚数加法的物理意义。

四、虚数的作用:乘法如果涉及到旋转角度的改变,处理起来更方便。
比如,一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向,逆时针增加45度,请问新航向是多少?

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向,只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了(原因在下一节解释):( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以,该船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆时针增加90度,就更简单了。因为90度的航向就是 i ,所以新航向等于:
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义:改变旋转角度。

五、虚数乘法的数学证明为什么一个复数改变旋转角度,只要做乘法就可以了?
下面就是它的数学证明,实际上很简单。

任何复数 a + bi,都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di,可以将它们改写如下:
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘,( a + bi )( c + di ) 就相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展开后面的乘式,得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
根据三角函数公式,上面的式子就等于
cos(α+β) + isin(α+β)
所以,
( a + bi )( c + di ) = r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
这就证明了,两个复数相乘,就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。(完)

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tangcubibi只是学过物理

2012-11-12 11:43

反问一句先,实数的物理意义是什么呢?得分时候是吧。。。

物理运算中会引进很多抽象符号,正数负数,实数虚数,像我们从小学开始学数一样,每次都是发现不够用了——即我们需要更加复杂的指代的时候就会有新的数被创造出来。历史上有些数学上的突破来源于物理学家的需求(很经典的例子是物理学家狄拉克需要δ函数而产生广义函数理论,你在神秘的数学物理方法课上应该和它亲密接触过,感兴趣的同学可戳这里)。

郑童鞋是学物理的,应该对这些都清楚吧~复数在物理中应用广泛,虚数也就常被用于运算。但是我猜你困惑的物理意义应该是指称性吧,如果大胆地推进一步,设想夸克、暗能量和真空都是具有虚数的物理指称性的对象,恐怕又会有一门新物理和新数学产生了……

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虚数没什么特别物理意义,就如同实数里面“1”,“2”,“根号2”,“pi”,“e”并不是特指某某物理概念一样,它是纯是数学的产物,先人们的“万物皆有数”信仰在“根号2”出现后,就开始崩解了。

楼主你要区分物理和数学两门学科的不同。最早人们在生产实践中各个民族都会总结出一些数学知识,比如古埃及人,古中国人,巴比伦人等等,都被称为经验数学,最明显的例子是某些民族的计数方式超过”千“或者”万“之类的大数就没有了,因为他们生活中很少使用到那么多的数量,按照实用的观念,自然就不需要这些计数方式了。
但是我们现在学的是从古希腊人那边继承过来的逻辑数学。这种数学是通过先指定的基本公理然后用逻辑推理出来的数学知识。他只要公理定好了,就可以运用逻辑不断生产新的数学知识,无需要借助对现实世界的归纳。可以说“虚数”乃至于“复数”是不可能通过古代的经验数学得出来的,所以楼主,也不必纠结它的物理意义,要说物理意义那是有很多的,最常见到你以前学xy轴下的函数图形,都可以变成复数表示。你高中里学的计算人造地球卫星的椭圆形轨道,你现在学的是解析几何方程表示,但是也可以用复数来表示,最终的图形是一样的。所以你现在明白了物理和数学的区别了吧。从基本定义来说,数学里面的”点‘“线”也不是现实中的物体,数学里线的基本定义是没有宽度的,所以在一个很小的平面上可以存在无穷长的曲线,而现实中显然做不到,即使DNA那么高度扭转,也还是会占有空间。

虚数的发现比它被再工程中使用要早很多年,而最早使用的时候也仅仅是用于大地测量 的时候计算平面转动。数学家们也是经历了近百年才接受虚数的。虚数发现后,人们先发现它解决一些数学问题“有用”,但是不愿意接受他,所以才给了个这样的名字“虚构的数”。引入虚数概念后,产生的复数依然可以不破坏原先实数的运算法则,甚至在解析函数里面,微积分计算也没啥变化。但是复变函数却能解决很多原先实数函数解决不了的运算,而且新的运用方法不断被发现。最终人们发现了它的价值并接受它。

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虚数轴和实数轴构成一个二维平面,有的时候拿它做矢量运算比较方便,这种情况下虚数可有可无,比如在经典力学里。

更多时候,尤其是在量子力学里,虚数不可替代。你无法只用sin函数或cos函数简单地构造出物质波。你必须要用到欧拉公式的形式来描述物质波(主要是平面波),于是虚数必须出现。

你可以认为因为粒子具有波动性,你就必须要引入虚数来描述它,于是量子力学里充满了一大堆各式各样的共轭。但更深一层的秘密是什么?为什么粒子的波动性必须要用带虚数的e指数函数来描述?目前没人知道……所以曾有物理学家说过,这个i是量子力学最神秘的地方。

PS:描述自旋=0(标量)和自旋=1(矢量),可以不用虚数。想描述自旋=1/2(旋量),你必须要用到虚数,或者说你必须用复数。

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虚数没有物理意义。。。所有的物理公式,我们均可以用实数来表达。只不过某些地方用虚数要简单、明了很多。但是作为一种数学工具
1.虚数在解决平面场问题、波动问题、电感电容问题等方面上具有很大的优越性,比单纯用实数简单很多
2.虚数应用使得高等数学快速发展,当然物理也快速发展了起来,很多以前解不出来的微分方程变得so easy

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窃以为是跟实数轴正交的方向,为的是用一个数表达二维向量

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虚数没有物理意义。
物理学中引用虚数就是为了表达方便,所用到的场合大多数都是要用来讨论相位的问题。
而去获得真实可以测量的量时,都要保证最后的结果是实数。

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DTSIo成长中的数学工作者

2013-02-07 09:43
支持者: qfzklm mishung K.L.lambda

在场论里面有个i-trick,就是所谓的虚时间技术,是为了考虑收敛性而引进的。物理中复数的应用常类似于此。
另外在涉及到几何学的时候常常考虑复流形,当然要用到复数。
建议把复数集理解成实数域上二维向量空间,把虚数单位i理解成向量空间上的复结构。这样就比-1开根号要好很多。

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虚数,或者整数、实数等,只是单纯的数学概念,本来没什么物理意义,它的物理意义只有应用在具体的物理场景中才有意义,而且根据物理场景的不同,可能有很不同的意义。
例如自然数1,2,3,4,我们把它应用于描述苹果的个数时,分别代表一个苹果、两个苹果...;如果用来标识座位,那就是1号座、2号座。在这两种场景中,自然数的意义是完全不同的(一个表示数目,一个表示顺序)。
在单纯描述个数的应用场景中,负数是没有意义的,一般也不会有-1号座位这样的编号出现。负整数可在自然数中由加法和减法的封闭性要求扩充得到。不过这种数学概念上的扩充很快就找到了新的应用场合,它可以很方便地应用于存在欠费、借贷的场合。同样,负数在不同的应用场景中意义也是不一样的。例如-1秒,并不表示欠了一秒钟,而是指参考时间的一秒钟以前。
然后有理数,可由整数根据乘和除法封闭性要求扩充得到。
由于引入的极限的概念(还有诸如开根号这类的运算),有理数集是不完备的,需要扩充到实数的概念。
然后是虚数了,虚数的引入是为了让求根运算具有某种完备性。我们知道一般的一元二次方程,在实数范围内有可能有两个根,也有可能没有根。这还算是好的,如果一个任意的一元n次方程,要说明它什么情况下有几个实根简直烦死了,将实数扩充到复数之后,这个问题的答案就很简单,一元n次方程在复数范围内必然有n个根(包括重根)。
至于说复数可用来表示平面上的点,可用来表示闵可夫斯基时空上第四维等等这些,这都是后面的事了。虽然复数的几何表示有助于直观化的理解,为复数的讨论提供了便利,但这些都不是复数必须出现的原因。
复数的应用场景,最典型自然是用来表示平面上的点,但是并不是非如此不可,平面上的点也可以用向量表示,就好像排序并非一定要用1,2,3,4,也可以用a,b,c,d或者甲乙丙丁一样。平面上的点用复数表示还是用向量表示,取决于在具体的问题中,哪个用起来更方便一点。
复数作为实数的扩充,具有很多美妙的特性(例如欧拉等式),所以几乎在数学的所有领域(包括数论)都有广泛的应用。在物理上几乎所有涉及到波动、振荡的场合都会用到复数。

总结陈词:数只是一个数学上的概念,不能脱离了具体的应用场景去讨论数的意义。

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支持者: qfzklm

在物理中表示吸收和耗散

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我也一直想不明白这个,我就问一下,如果虚数有物理意义,那么应用到相对论中那个公式是不是也可以说明超越光速是有可能的,还有,如果是在计算中,物体质量为虚数貌似就没有意义了,但是自然界(不知怎么描述)中是不是可以存在质量为虚数的物体呢,其实这就涉及到我还不明白的一个问题。虚数有没有一个在数学物理上都是用的普适意义。。。。。。

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貌似某类粒子的自旋就是用虚数解释的

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我觉得虚数的物理意义是相位。

相位十一个很深刻的概念,比如 量子力学的作用量

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支持者: K.L.lambda

这是最大的物理之谜,居然能有人去解释

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positron理论物理、天文爱好者

2013-10-30 16:31

记得几年前有一期的《科学世界》或者是《环球科学》的一篇文章就是讲这个的。

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唉,上学期复变函数挂的惨烈。。。。

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我初识虚数的时候,老师讲过一句话,说,以前数系都是一维的,有了虚数以后,数系变成了二维......也就是实数轴变成了复平面。至于复数的应用,还是很广泛的,起码保证了一个N次的方程一定有N个解这一条,看着多漂亮~另外没记错的话,在相对论里,复数在计算时空滴距离时候有用....时间和空间之间可以发生转换,这里就有一堆复数神马的...好吧上学期大学物理课相对论现在忘得差不多了.........
总之,从我这个数学系的角度看就是,带来了好多课程,复分析啦,复变函数,复流形啊..............

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耐心的看了大部分回复...于是还是不懂...为什么要虚数。
比如之前所说的旋转量,虚数表示旋转量我可以懂,然后呢...然后呢...然后呢...要这个表示旋转干什么呢...
或者说,用虚数表示旋转量有什么好处呢?
再联系一下虚数的出现是因为鉴于某些原因,实数不够用了。那么...是什么原因呢?或者说,是缘于什么物理方程才使得实数不够用需要引进虚数呢?

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桎雨空灵万有青年养成计划入选者,电讯专业

2013-10-30 19:36

不知道大家有没有看过一本书叫《实数的扩展》,作者在书中完备的讲了目前的虚数复数理论有多么多么的不完备,多么多么的不好,然后作者自己完整的介绍了自己重新构建的数的理论,这里有这本书的介绍http://www.bookschina.com/5625675.htm,但是这么多年过去了,复数还是完整的存在在各个领域,这说明,复数的引入在工程学上的应用已经深入到最底层,难以被替代也无法被替代。

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柏拉图主义(实在主义)认为物理世界是理念世界的映像,数学属于理念世界,所以数学结构可以在物理中找到很多对应的存在。如果把实数称作一元数,复数叫二元数,那么在一元数,二元数,四元数,八元数…这个序列里,复数是保持域结构的最大扩展(四元数没有乘法交换律,八元数没有一般的乘法结合律)。群,环,域等数学结构在自然界中是真实存在的,从这个意义上来说,复数所构成的数学结构也是真实存在的。

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baiduqusi妹控爱好协会

2013-10-31 03:13

数学本质上是一种语言,它的基本定律从现实物理世界中抽象而来,再运用逻辑工具对其进行扩展。因为数学是从现实的物理世界抽象产物 因此和我们生存的现实世界十分契合,但是 他毕竟只是一门语言 并不是世界的真理, 数学的基本定律可能和真实世界有差异,而逻辑工具也可能本身就有错误。

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补充一下, 我记得某个纪录片里面说道, 假设没有虚数的概念, 那么雷达系统的计算量会大到无法承受, 就以现代的计算机能力来说, 也无法计算实时位置. 而虚数大大简化了这一计算的难度.
具体为什么我也是看了上面的回答才明白.

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halalia自认为保守的万金油

2013-10-31 08:13

其实虚也不虚
例如图像滤波的时候,其实就是一个滤波器的相位而已,实部对应的结果有意义,虚部对应的滤波结果也能用肉眼看懂

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我是来吐槽首页那张配图的,念出来纯属某种数码产品的广告啊!

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或许应该理解标题为:虚数存在的意义,好处,应用。。。 不过确实讲的很清楚。 中国的教育就缺乏这种比较有来龙去脉,过渡的东西。

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当年只知道i 今天才明白原来如此 中国的教育阿 再次感谢楼主

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经典物理里把实数括展到复平面的最大目的是为了简化计算。任何用了虚数的公式都可以用另一种只含有实数的方式表达。
在量子力学里,可以认为复数有实际的物理意义。

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我感觉其实楼主的意思是觉得虚数无法想象?
楼主那个图我学结构化学基础那会儿也像你这样画过,貌似还画过一个三条轴的……看见这个理解想象好感动TAT

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cobin植物学,生态学,原理控

2014-08-13 19:52

再问个问题,既然有复平面,为何还没出现3维数体?

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豆子狸电离层物理博士

2014-08-13 20:35

有了实数为什么还要有虚数?这个是因为在我们的世界里,有些量是标量,就是一个值可以表示的,比如温度,质量,密度,体积。还有些量,它们和温度质量这些量一样常见且有用。但是,它们是有方向的,需要更高级的表达方式。这些量我们叫它矢量。矢量需要特别的表达方式,因为光数量是不够的。但是人们发现它们有时候用两个量长度和在某个坐标中的方向,就表示出来了,也可以用别的方法来表示,比如每个固定方向上的长度。。。聪明人发明一种记法就是虚数。它有意义且可以能把矢量运算从几何直观倒腾到代数上来。几个数或者一组数,那肯定比尺规作图或者别的作图方法好掌握得多。这就是虚数存在的意义。
至于虚数单位i,这是一个前提。如果在复平面上的数中,假设有这种运算法则存在:它对应的值和1这个值之间是一种平方的关系,或者叫做自乘的关系,这样其它的数之间若有“旋转90度”这样的关系时候,我们也可以把它看成两个数之间的乘法运算。虚数单位的定义和矢量乘法的定义一样,是一种矢量变换的具有对应性的形象表述。矢量怎么会有类似于标量的乘法?它没有。或者说在矢量的世界里,乘法表示成其它的方式。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
当我们进入矢量的世界,我们就得用一个矢量的视角来看待问题。现在我们都是矢量了。我们矢量之间的运算是客观存在的东西。但是你们虽然是三维的却只有一维的思维习惯。这没问题,世界用0和1就能表述了,反正都要化简的。用数量这样的一维思维来理解我们矢量的习惯也好。你不能直接想象矢量,但是你知道它的长度(50km?)和方向(在正北方向上!)它也就跑不出你的复平面了。

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云新型电子设计工程师

2014-08-13 22:50

牛掰的人 都学数学啊。好严密

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虚数当年对我的物理意义就是……要去店里买到卡西欧最贵的991计算器才能做复数计算,为了给考试里算负荷潮流,那些不该是人算的东西。。。
噢,这么说来,电力中常用实数计算有功功率,也就是我们平常电表走的字;用虚数计算无功功率,这是实际存在的,无功功率一般都是消耗在了电机驱动上,但其实你用再多无功功率电力公司也不会收你钱(仅限居民用电)。这两者相加(其实还要加上电的传输中的各种损耗)才是电厂发出的电(视在功率)。
同样无功功率也很难理解,平时难以捕捉其踪影,和复数给我的印象还真是相似啊。
(学渣的渣解释,欢迎学霸们拍砖)

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qfzklm弱弱的物理学本科生

2014-08-14 02:21

这个问题首先就蛋疼,啥是物理意义?这一点能否说清楚?说不清楚,就会出现各种回答,让楼主觉得没有切中要害。

一楼的图解法很形象,算得上物理意义不?

相对来说,我个人比较赞同二楼和三楼的说法。虚数(复数)作为数学语言,本身不需要什么物理学背景与直觉。至于给这个数学语言找了各种形象化的理解方式和从应用角度出发的解释,反倒是舍本逐末了。实际上直接地抽象理解更为自然,也少有这样的疑问。

至于我个人的理解,物理学中引入复数,进行理论上的表达是一种对于“数学形式美”的追求,本身并不需要追究什么物理意义。

很多时候,实数表示的物理量都可以推广到复数表示,其中实部保留原有含义,虚部表示系统的耗散。这样的表达方式,基本存在于对“波动”的描述中,什么交流电、波、折射、反射等等。

当然,在另一些时候,通过复数可以将看起来毫不相关的东西联系起来,比如统计性质和随时间的演化性质,温度可以被理解为虚时间,在相对论中,虚时间被作为额外的维度进行理论处理。

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“虚数 i 就是逆时针旋转90度”那为什么3 i 不是逆时针旋转270度

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燕南数据控,物理学博士

2014-08-14 08:01

(这是个好问题,不过上面的解答都没有提到量子力学。)

在物理学中引入复数结构的必需性的根源和复数最重要的物理意义在于量子力学运动规律限定的数学结构。用群论的语言概括:概率守恒要求演化规律的数学结构是厄米群 U(n) (参见https://en.wikipedia.org/wiki/Unitarity_(physics)), 而 U(n) 恰好可以分解为正交群 O(n) 和实数阈的辛群 Sp(2n, R): U(n) = O(n) ∩ Sp(2n, R) , O(n) 的物理意义是概率守恒,Sp(2n, R) 的物理意义正是量子力学限定的运动规律。最妙的是GL(n, C) 这个复数域的群满足 O(n) ∩ Sp(2n, R) = O(n) ∩ GL(n, C) = Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) = O(n) ∩ Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) 。所以GL(n, C) 这个复数域上的群是把概率守恒和量子力学运动规律耦合在一起的一个数学结构,或者说量子力学运动规律自然具备的一个数学结构。

如果用矩阵力学的表述具体一点说,量子力学演化算符在矩阵表述下是厄米矩阵,因为观测值是演化算符的矩阵本征值,必须为实数值,所以演化算符必须是厄米矩阵。如果把厄米矩阵实部虚部分开写,实部是对称矩阵(对应O(n)群),虚部是反对称矩阵(对应实数阈的辛群 Sp(2n, R)),而复数阈的GL(n, C) 结构正是把这两部分始终耦合在一起的数学结构。所以即便不显式引入虚数单位 I,这个复数的数学结构还是必然存在于量子力学运动规律里的。

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超级吃货purdue Univ 量子物理博士

2014-08-14 13:52

楼主是来挖坑的么?这个问题就是写成一本书都很难专业的回答啊。要说实数最简单最代数闭的拓展吧,数学系的肯定说我蒙人。要说留数积分能解实数积分不能解的问题,微积分老师肯定劈死我。
说简单些,只能说是数学工具中一种很自然的实数第一代数拓展的中间域罢了,就像从整数过度到无理数一样中间一定会走分数这个过程。。。。

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一时接受不了很正常,几百年前很多大数学家也接收不了,不过时间长了,又加上发现有些问题用虚数很有用,比如涉及到旋转、矢量这些,就慢慢接受了。
对于我这个工科生来说,认识到复数是数系的又一次扩充,就像之前的无理数,实数一样,那么我就释然了。至于物理意义,旋转,表示矢量挺方便的,算是物理意义。

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刚看到, 请解答下

/因此,我们可以得到下面的关系式:
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)如果把+1消去,这个式子就变为:
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i :
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟,它就是虚数的定义公式。/

--------------
我理解, 不应该是
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度), 而应该是(+1) * [(逆时针旋转90度) + (逆时针旋转90度)], 不然那不就成了90度*90次转了8100度? 那是好几圈了吧.
+1逆时钟旋转90就是+1 * -90, 两次就是+1 * -180
则: (逆时针旋转90度)*2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i :
i*2 = (-1)
这应该得不出你的公式啊.

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复数的定义是,定义一个有序实数对(a,b),运算规则是
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
a就是实部,b就是虚部~
。。。
是不是特别无理头?但真是这么定义的。。
虚数的定义不是i^2 = (-1)啊,因为(-i)^2 还等于 (-1)
如果从那个定义怎么得出i^2 = (-1)呢?
其实就是(0,1)*(0,1)=(0*0-1*1,0*1+1*0)=(-1,0)=-1
然后称i=(0,1)就好了
复数在物理上太有用了,啥啥的在实数里做不出来,就弄到得数里去,一下子简单很多的
比如各种积分啊。。

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我觉得虚数就是一个单位,实数好比一群会赚钱的人,虚数好比一群会亏钱的人,正实数就是活着的会赚钱的人,负实数是死了的会赚钱的人,会亏钱的人亏了钱以后就相当于死了几个会赚钱的人……

0 1

因为1*-1=-1 所以虚数既可以等于1又能等于-1,那么它就能用来描述时空中某一时刻过去与未来之间的跨度,如果有时间虫洞存在的话那可以理解为从-1点到+1点之间的跨度它们之间的时间距离是0


-1———0———1 不经过0直接由-1到1,也能从1到-1




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冰火梦幻信息与计算科学学士,算法控,AI爱好者

2013-11-01 06:44

其实就是用一个复数替换二维坐标系的两个实数。

0 2

高中数学学过一点点,大学就没学过了,被楼主这么一解释,瞬间清晰了。
数学总有那么一瞬间,让人感觉很销魂。

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看过一种说法,不知对错

虚数i可以表示四维空间,是三维世界没有的那个维度。

0 7

大家是否都同意这样的观点:数学是物理抽象,最终要指导或服务于物理!否则,研究数学干嘛?所以说虚数最终是有物理意义的!

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