n个o(1/n)(n—>Infinity)的和是不是无穷小?

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3个答案
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支持者: 视界深处

调和级数

是发散的,也就是趋于无限

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小迷糊1991数学与应用数学专业学士

2013-01-15 08:56

无穷大乘以无穷小的结果是不定的,你知道罗比达法则吗?就是专门解决无穷大乘以无穷小的问题,其实就是比较无穷大和无穷小的阶数。也就是说谁的速度更快,明白吗?

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这个……因为这里是小o,直观上n个o(1/n)的和应该是o(1),也就是说其极限应该是零。

但实际上如何呢?我们得先把问题定义清楚。o(...)这样的记号平时意思是很明确的,用起来很方便,但像标题中那么用就有点过分了,多少有点歧义。

我觉得可以这样定义:
为关于自然数m和n的二元数列,且对于任意m满足(也就是说,对于任何一个给定的m,作为关于n的数列是o(1/n)的) 。此时,对于每个n定义,问是否成立

答案是否定的。我们令,则显然条件成立,但此时,因此.

这里的问题在于时的收敛性不是关于m一致的。随着n的增加,求和的项数增多,前面几项已经很小了,但最后那一项却很大;如果继续增加n,原来的那些项都很快趋于零,但又有新的大项冒了出来。

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