“三龟聚头问题”应该怎么解?

三龟聚头问题:
三只乌龟ABC构成边长为1的正三角形,A始终朝着B、B朝C、C朝A运动,假设三龟速度均为1。

求:
1,经过多久三龟聚头
2,一只乌龟的轨迹数学方程式
3,乌龟绕过的弧度

A朝着B和C的连线1/3处走,B朝着A和C的连线1/3处走,C朝着A和B的连线1/3处走,结果又是多少?

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20个答案
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我不知道这道题的初等解法,只能给个比较直观的微积分解法:

因为速度相同的的对称性,所以任何时间三个点都会组成一个正三角形。

设t时间的三点组成的的正三角形边长为a,那么t时间的三角形面积就是,求导得到

考虑某一个时刻的瞬时变化,面积减少了三个三角形,用微分边长进行一阶逼近可以得到:

其中,除上之后取极限得到:

联立上式可得:。所以正三角形边长减少的速度是3/2,初始边长是1,那么相会时间应该是2/3。


你可以想象三个点在正三角形的外接圆上,然后这个圆在减小,所以研究曲线的轨迹时候,用极坐标更好。三个点按照逆时针螺旋收缩到中心,设中心为极坐标,底边水平,某个时刻底边左边那个点到了极坐标下的,按照对称性,底边右边那个点到了,那底边的斜率变为:


而这个斜率又正好是底边左面那个点的,再利用

两个等式相等,观察可看出,分离变量积分得到

现在就可以用外接圆的技巧了,因为r和a的比例始终随着时间不变,一个是外接圆半径,一个是三角形变长,所以

而我们知道初始条件,就是变长为1的等边三角的外接圆半径:

所以

带入到的表达式可得:

带入下面初始时刻的值

可以得到c. 不同的极坐标建立方法得到的方程应该都不同,但是除去常数应该都是相同的。

最后算弧长,用极坐标下的弧长公式可得:

这里不必解出c,只需要知道在初始的时候即可。
这个是和用最简单的逻辑线速度为1,走了2/3秒得到一样的结果。

另:应Dr Sewer的要求,加入轨迹图,每个点的轨迹都是一样的,是著名的等距螺线(logarithmic spiral),正多边形定点上起始,偷wolfram的图如下:

正三角形和正方形的轨迹向量图如下:

正多边形也有类似的图,这种曲线汇聚的点叫Brocard点,理论可以证明:任意三角形都都存在Brocard点,而对于非等边的多边形Brocard点则不一定存在。(http://benisrael.net/STABILITY.pdf


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如果是朝着1/3的位置走的话,开始计算面积变化的时候会麻烦一些:


其中是对应1/3边长的那个角,算得

带入可得

之后的解法几乎是一样。

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上面解的那个太麻烦了。简单来想是这样的,三只乌龟位置对称,速度不变,它们始终构成等边三角形,而且这个等边三角形边长缩小的速度也是匀速的。后边就简单了,只要算出这个等边三角形边长缩短速度即可。

算这个速度,可以考虑两只乌龟互相接近的速度,譬如说A追赶B,A的速度矢量沿着AB连线方向,所以A贡献速度为1,B的速度矢量与AB成60度角,投影后等于1/2,因此合速度为3/2。这样三只乌龟构成的三角形在2/3单位时间缩短到0。

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"3,乌龟绕过的弧度" 这个恐怕有问题,MathChief解的是轨迹长度,这个值是有限的(速度乘以时间,这个值显而易见),但如果要求乌龟绕圈的角度,就是无穷大了。考察这个螺旋曲线的中心比较有意思,如果乌龟是质点,在相遇前的一瞬间三只乌龟会疯狂旋转,角速度在有限时间内达到无穷大,中心是个奇点。有点像芝诺悖论:阿基里斯永远追不上乌龟,这个是:乌龟永远无法相遇。

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再补充一点儿。关于这个螺旋曲线“中心是奇点”可以这样来看,我们直觉上会认为一条光滑曲线上的每一点都可以做一条确定的切线,比如阿基米德等速螺线的中心就可以(某人的回答里说乌龟爬的是阿基米德螺线,那是错的)。然而这条特殊螺线的中心是做不了切线的,不信你试试~

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半醉小妖物理学博士 经济学学士

2013-03-29 23:26
支持者: Ekoms

直接用向量做,简单得很~考虑两个乌龟之间的相对速度与方向~

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云心梦曦力学在读硕士

2013-05-25 19:42
支持者: 凤凰院麻由理

乌龟转过的弧度应该是无穷度……这意味着最后时刻乌龟的加速度要趋于无穷。

1 0

NgZaakNgai科技爱好者,机电工程系学生

2013-05-25 22:07
支持者: Ekoms

这个有个“屈机”的做法:
因为知道乌龟们到了最后会聚头,所以只考虑三只乌龟里的其中两只。
引用LZ的题目已知,线段连接其中两只乌龟,将速度分解成在线段上,容易知道两只乌龟在线段上的相对速度是3/2,而路程为1,则时间就是1/(3/2)=2/3

补充:我也在《物理难题200》里看到这题(大概的书名,现在只记得“200题”什么的)

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貌似可以用向量作?
轨迹方程可能需要微积分
可以看一下那本物理问题500问(貌似这个名字)
第一问就这道题

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呜呱星人黑吧猪甲专业

2013-05-25 18:06

这个问题向不明白好久。。后排观望,个人认为微分方程是必不可少的

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旺财85弱电工程师

2013-05-26 13:11

先证明,经过时间T后,三个点重新组成的三角形,与原三角形重心。
然后证明,三只乌龟转过的角度是一样的。
然后将三角形重心定为极坐标原点,可以将速度简单地分解为始终指向原点的速度,和始终垂直原点的速度。
然后可以证明这两个速度是不随时间变化的。

至此,可以知道。
1. 乌龟经过的路径是阿基米德螺旋线
2. 会合点是重心
3. 会合时间可以简单求得
4. 转过的角度也可以简单求得

以上

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建立一个旋转坐标系,这个好像是刚上高中时候遇到的问题了

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手书光年梦太美 路太远

2013-05-25 16:13

因为三聚氰胺…… 看成了“三聚龟头”…… 对不起我水了……

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支持者: 手书光年

楼主能改成三龟聚首吗?这个好容易看成三聚龟头啊。

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支持者: Senx

为什么我每次都看成 “三聚氰胺龟头” 问题……

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我也看成 “三聚龟头”了。。。

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支持者: 瞌睡王

其实我看成了“三龟头问题如何解”我会告诉你们吗?

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小日专攻材料学

2013-05-26 15:12

我还以为是性情的新文 ```` 看差了

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不光我一人看成“三龟头”啊~羞涩地果奔~

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超级坏猫喵星通信工程师

2013-05-27 09:42

好吧,,,处看到这个标题私以为应该送去性情组。。。。。我承认我节操碎了一地。

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支持者: 凤凰院麻由理

”汉字顺序不影响阅读“很正确,比如:我看标题的时候大脑就自动将“三聚”排列在一起了

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同楼上 好羞射

与诸位学术帝相比 我太三俗了。。。。

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