乘法的本质是什么?

请问乘法的本质到底是什么?
整数乘法是5×6个鸡蛋这种的话。分数乘法是看被乘数的几分之几份的话?那么无理数的乘法呢?超越数的乘法呢?
到底这些计算代表着什么?面积么?那多个数相乘呢?多维空间?

突然感觉想不明白了。
引申一点,那e^pi这种计算到底代表什么呢?
求解惑。

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35个答案
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还是从头开始说吧。

我们最早学到的乘法是自然数的乘法。大概是二年级的时候吧。
对自然数来说,乘法的意思就是连加。或者说:

来看看课本上是怎么说的吧:

是啊,用乘法算式表示真简便!
如果你不满足于“连加”这种不够严谨的说法,我们可以把话说得更严谨一些,用递归的办法来定义乘法:

    比如说,按这个定义:

    所以说这个定义跟“连加”的定义是一样的。它还有一个好处:利用它可以用数学归纳法证明乘法的交换律、结合律、分配律这些性质。

    然后我们学到了小数的乘法。学小数的乘法时,最先学到的是小数乘自然数:

    小数乘自然数也可以用连加来定义。事实上,前面自然数乘法的定义,无论是连加的定义还是递归的定义,都可以原封不动地搬过来作为小数乘自然数的定义。
    分数乘自然数、无理数乘自然数甚至复数乘自然数都可以这样定义。

    然后到了小数乘小数,就有点麻烦了。1.2个3相加是什么意思啊?这样说肯定说不通。
    先看看课本是怎么说的:

    呃……课本耍赖皮,没给定义就直接开算。
    不要紧。有限小数不就是分母是十的整数次幂的分数吗?我们看分数:


    好像也没给定义啊……
    其实已经给了。就是:分子乘分子,分母乘分母。这确实就是分数乘法的定义。
    但这个定义看起来不够本质啊?
    那么,如果由我们自己来定义分数的乘法,我们会希望它是怎样的呢?
    首先它必须是一个二元运算。然后,它至少得有这些性质吧:

    1. 交换律
    2. 结合律
    3. 分配律
    4. 任何数乘1的积都是它本身
    5. 最重要的,当乘数是自然数的时候,这个乘法和前面定义的分数乘自然数的乘法一样(自然数就看作分母是1的分数)。

    很容易证明,通过“分子乘分子,分母乘分母”定义的分数乘法是满足这五条性质的。其中第四条可以用数学归纳法来证明。
    那么满足这五条性质的二元运算是不是只有“分子乘分子,分母乘分母”这么一种呢?
    算算看吧。让我门来计算:

    这里a、b、c、d都是自然数。
    首先,利用分数乘自然数的定义,用数学归纳法之类的手段,以及约分,可以证明:

    以及:

    所以有:

    又由结合律,有:





    所以就有:

    也就是前面说的“分子乘分子,分母乘分母”。
    当然,我们也可以直接把分数的乘法定义成“满足那五条性质的唯一的二元运算”(其实还用不到五条,这里的计算只用到结合律和第五条)。不过这样用起来就远没有“分子乘分子,分母乘分母”那么方便。

    然后,小学结束了。到了初中,我们学习了的负数,接触到负数的乘法。但万恶的人民教育出版社网站偏偏缺了这一部分的课本截图。反正,到了这一步,乘法的定义只需要加上“正正得正,正负得负,负正得负,负负得正”,以及和0有关的规则。当然,也可以把乘法定义成“满足那五条性质的唯一的二元运算”(同样也用不完五条)。这两种定义还是等价的。具体的我就不说了。

    然后……终于……到了无理数。
    课本上是这样说的:

    说得很模糊。这里说了“在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用”,因此实数的乘法也同样要满足前面说的那五条性质。但仅凭这些性质,还算不出,比如说,π乘e等于多少。
    课本上还说了“当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数曲代替无理数,再进行计算。”
    我们就试试近似计算吧。就算一算π乘e等于多少。





    …………
    π和e取的近似值与它们的精确值越接近,把它们乘起来得到的积的近似值也越来越趋向于一个数。
    这个叫啥来着?极限。
    于是,无理数的乘法就可以通过极限来定义。具体说来,是通过“极限的积等于积的极限”这条性质来定义。对于a、b两个数,分别取一个数列去逼近它们,比如说就取它们精确到n位的近似值组成的数列。把这两个数列对应的项乘起来,得到了一个新的数列。可以证明,这个新的数列是有极限的,而且极限不依赖于前面说的两个数列的选取。这个极限就叫做它们的积。
    不过看起来还是不够本质啊。
    那么,怎样为它搞一个“本质”一点的定义呢?
    仔细读读前面这个定义。想起了什么?
    连续函数?
    由这个定义,再加上某个说明函数极限与数列极限的关系的定理,确实可以证明,这样定义的乘法作为一个二元函数确实是连续的。
    而我们已经有了有理数的乘法的定义了。而任一个实数都可以用一串有理数去逼近(就用近似值),因此任一个定义在上的连续的二元函数,如果它在每一个有理点处都和前面定义的有理数的乘法一样,它就只能是乘法。
    于是实数的乘法干脆可以定义为满足这两条性质的唯一的上的二元函数:

    1. 它是连续的;
    2. 在有理点处它和前面定义的有理数的乘法一样。

    看起来是不是“本质”一点了呢?

    关于幂运算,也可以类似地推一遍,从自然数的自然数次幂开始。

    其实,说到乘法的本质,最本质的还是@Obliviou_s 的回答里说的:它是一个二元运算。别的性质都有可能会在推广中丢失:四元数没有交换律,八元数没有结合律;矩阵的乘法没有交换律,置换的乘法没有交换律和分配律,三维空间里向量的外积没有交换律和结合律;一般的环或者代数中的乘法只需要满足分配律和结合律,不需要有一个叫1的元;而有时候还会讨论非结合环、非结合代数,顾名思义,它们没有结合律。这些东西不是数学家无聊想出来玩的,很多这些东西都有明确的物理意义。
    而前面说的有理数的乘法和实数的乘法,其实和从整数扩充到有理数、从有理数扩充到实数的过程密切相关。有理数域是整数环的分式域,而实数域是有理数域的完备化。分式域是局部化的一个特例,而局部化和完备化这两个过程都很自然地保留了环的结构。

    至于面积什么的,可以参考“积测度”。
    物理方面,还可以参考“量纲分析”。
    还有组合数学里的“乘法原理”,中文维基上没有,这里的链接只好给英文的了 。
    笛卡尔积”也是值得看一看的,基数的乘法就是通过笛卡尔积来定义的。

    48 2

    乘法的本质一个二元函数:

    也就是说乘法将数对,映射到了一个数

    对于无理数的乘法,你就应该理解为满足运算规则的一个二元函数对应,例如:

    ,我们对于可以说,这个数比大,因为,因此

    至于函数,我建议你如下理解,这是一个一元函数:

    ,其中是一个无穷级数和。

    这样就定义出来了。

    2 0
    支持者: 春水涣涣 nlwt

    建议找一本近世代数教材一直看到“环”的概念
    小学低年级的时候,我们说的乘法主要是在非负整数范围内,到了小学高年级,扩展到有理数Q,再往上到了初中,我们知道这种对应关系在有理数R内也是封闭的,高中我们把乘法扩展到复数集C,发现对二维向量也有这么个叫做乘法的对应关系。这时候可能觉得乘法对于“数”都应该是成立的。
    很不幸,对于最简单的超复数四元数来说,不满足乘法交换律。
    简单总结一下,我们对乘法的认识应该是与所应用的范围是有点关系的。通常情况下,我们说的乘法就是一种满足结合、交换和分配率,有单位元和零元这5点要求的映射关系。
    你完全可以参照这5点对某个集合建立自己的乘法概念。

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    梦碎了IT 数学专业 软件控

    2013-06-26 19:10
    支持者: yaohappiness

    数学是一切理科的基础
    很多数学知识是纯粹的数学知识
    没有具体使用范畴也没有特定的现实意义
    不过后来发现那些所谓的没用的纯粹数学意外发现竟然可以解决一些问题
    就像最直观的例子 虚数
    特么根号 -1

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    物理中的“乘法”不都是建立在“改变”的基础上么?爱因斯坦说我们的世界不但有“长、宽、高”三个维度,还有一个“时间轴”。而事物的变化均依附于时间的进程——也就是说,物理里的乘法本质是该物理量在时间上的连加
    高中生的见解也就这样了,有错轻喷~

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    支持者: yaohappiness

    “上帝创造了自然数,其余的是人的工作”----克隆尼克(L.Kronecker,1823~1891)


    自然数的算术基本规律在有理数的范围内继续成立。
    ===============================================================

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    xzhou电子工程硕士,模拟电路工程师

    2013-06-25 18:00

    比如一个物理量可以受到两个互不相关的因素影响的话,往往就可以用到乘法,比如功率受到力和速度的影响(如果力和速度在一个方向上),功率的值=力X速度……。一块土地的面积受到东西和南北两个没有相关性的方向的影响,所以也可以用乘法。又比如一排有多少人和一列有多少人是分别安排的,不相关的两个事情的话总人数就是排X列

    0 0

    狭义乘法可以说是一种数字的计算关系,取得数字的积
    广义还有函数间的计算关系,如函数内积

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    乘法? =-= 多个什么东西? 5个菊花 5X* 一个菊花五个褶 5X(*X5) 五个菊花25个褶 不是这样的吗

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    学计算机的人就知道 是一种算法。。

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    。。。马甲哥威武。突然发现我的逻辑能力不是一般的差啊。

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    约定之守护泛物理学爱好者 凝聚态在读

    2013-06-27 01:25

    无理数可以拿有理数去逼近,超越数可以拿非超越数去逼近

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    查表,查表,查表,查表,查乘法表,除了小学一年级之外,我没乘过数

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    支持者: 萌在人间

    一个字。积。
    不积小流,无以成江海。

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    悉毅说电子工程、软件工程双硕

    2013-07-02 13:55

    从计算机科学的角度看,任何乘法的本质是二进制加法与位移。
    1011 (this is 11 in decimal)
    x 1110 (this is 14 in decimal)
    ======
    ______0000 (this is 1011 x 0)
    _____1011 (this is 1011 x 1, shifted one position to the left)
    ____1011 (this is 1011 x 1, shifted two positions to the left)
    __+ 1011 (this is 1011 x 1, shifted three positions to the left)
    =========
    10011010 (this is 154 in decimal)

    0 0

    乘法是一种算法,除了复数的乘法外,还有向量的点乘和叉乘……

    0 0

    乘法是加法的速算口诀(除法可视为减法速算法),电脑运算只有加减法。面积、体积是几何、物理参数。

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    这可能需要给他一个背景,最基本的就是连加啦。有兴趣去看看ABC猜想吧,也是一个关于乘法与加法关系的问题,不过他可是史诗级的

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    我觉得乘法的结果“积”,以及除法的结果“商”或者“比”可以从一个侧面反应一些问题的实质。
    在我看来,乘法是量之间的一种关系,这种关系不像除法是比较,而是一种类似“合作”的关系,也就是其中每一方都有责(所以其中一个为0的时候,积是0,因为各方当中的一方没有使劲)。而这样的合作和加法那种合作不同的地方也就在于此。
    举个例子:
    好比说A是西红柿,B是鸡蛋,C西红柿炒鸡蛋,那么这道菜滋味如何呢?
    这就不是加法能解决的问题,如果西红柿也好吃,鸡蛋也好吃,那这道菜C就比A+B或者说一边吃西红柿一边吃鸡蛋美味得多,C不等于A+B,;如果鸡蛋坏了(鸡蛋滋味为0)那么炒出来的C也为0,所以最终结果就近似于C=AXB这个关系。
    只是一点感性的认识,不一定能反映“本质”,不知道你问的是不是这个。

    0 0

    乘法有点积与叉积的区别,叉积是向量的乘法,遵循右手定则

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    乘法应该是定积分的一种特例。当定积分的积分函数取常数,且积分下限=0,上限=整数,就是小学乘法,上限取无理数、有理数等情形类似。

    0 1

    群的角度去理解乘法 ,感觉并不是其本质。尤其用乘法群来说明的,群只是一种把不同的运算用统一的语言解释了一番。就算解释的再好,也只是用一种新的形式概括了原有的问题,并没有涉及到本质什么的。 二元函数的说法也是从函数的角度把乘法看做一种特殊的形式,找到了更广阔的说法难道这就是其本质。。。额 ,“本质”并不是数学语言

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    从来都没搞明白乘法的本质是什么.
    在物理学上,一种状态*一种状态 = 一种状态,动量 = 质量 * 速度
    要从一种状态剥离一种状态的影响,使用除法 速度 = 质量 / 动量.

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    体系不同观点不同
    比如你可以吧乘法看做函数,一种对应关系

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    加减乘除本质都是一个:加法
    也包括微积分等

    0 2

    对e^2 只能理解为 e X e. 对2^e 强烈表示不懂。

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    真有意思啊。最少是两位数x,是由线到面;三位数x呢,到三维空间;四位数x呢?是否对应四维空间啦?

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    数学的东西,和现实没有什么关系,没有什么本质,只是一个按人为定义的规则作出的推理结果。

    比如无理数这种,在现实世界根本不存在,你又何必要为它们的乘法寻找一个现实意义呢?

    0 0

    八代火影活地图,文史天才,O(∩_∩)O哈哈~

    2013-06-27 11:31

    收藏了。

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