数学中公理怎样的来的?

推荐  (0) | 20人关注关注
8个答案
16 2

我的理解是:公理即模型
一个由公理建立起来的数学体系,实际上可以理解为你对现实世界的一种模型。
比如说我们看欧式几何。在几个简单的公理假设下,我们可以得到一系列的结论,很多是深刻的,甚至是反直觉的。
在建立这个模型之后,一个重要的问题就是我们需要几个公理来建立这个模型。比如欧式几何的每个公设是可以由其他公理得出的一个定理/结论?还是必须也是一个公理?
比如欧式几何里“过给定直线外一点,有且仅有一条直线与之平行”在很长时间内是不清楚它的位置的,后来发现对于欧式几何,你可以认为是这个体系的“公理”,只有认定它,才有后来的美妙结论。
没有它呢?那时你就进入了另一个模型,你会得到其他的美妙结论:)

所以,在不同的公理假设下,我们得到了不同的数学体系,以此为基础,我们就可以得到对现实和对数学本身的各种模型。这种公理化的一个好处是,当你觉得现在的数学模型并不适合现实,或者并不满足理论发展需要时,有可能只是你假设了太多的公理前提,换一套公理,换一套前提,你就能得到很不一样的数学体系,原本的困难可能就很容易解决了。

12 1

公理,指的是一些不证自明的的命题,是数学中很多逻辑推理的基础,由公理推出的命题叫定理。
不证自明性是公理的特点,这也是为什么数学家质疑欧几里得的第五公设——平行公理的原因,平行公理看起来并不象其他几条公理一样明白了当(比如第一条公设:任意两个点可以通过一条直线连接),而非欧几何的建立,也正说明了第五公设的不必要性。
从一方面说,公理也可以看作是对于一些一般经验的总结,这些总结是无可争议的正确的,还用第一公设说,“任意两个点可以通过一条直线连接”不管这直线如何定义,总之两点之间可以连出一条线(天知道在哪一维空间里就是一条直线叻?),这既符合直觉,也是简单明确的事实。
从数学逻辑的角度,要证明一个定理就要证明导出这个定理的定理,进而要证明导出导出这个定理的定理的定理.......这样一直往回走,我们需要证明一个定理串,如果这个过程无限回溯显然是不可接受的,必须要有一些“东西”作为这个定理串的源头,回溯的过程终止与这个源头,这个源头我们就说它是“公理”,当然如果这个源头与某条已知公理违背,则这一串就都是假命题了。
扯远了,回到公理上来,形式主义数学家如希尔伯特,就通过建立形式化公理体系,把数学带到了一个更加严密的世界中来了。每一套公理体系中的公理,必须互相独立,且相容,否则就有矛盾了。所以一个公理背后是一套公理体系,这样就构成了一套数学的基础。
数学的图景也没有那么统一的,一套非偶的公理体系,就一个非偶几何空间(当然希尔伯特老先生的几何公理体系吧几何学统一了.....可不可以不要这么强大嘛~~);一个连续统假设,分出两个数学的世界,
总之公理,公理体系,就是数学的的底桩。

9 0

公认为正确的定理——北师大版初二数学教材如是说
Ps:本人正在上初二尚无力提供更有深度的阐述只是尽一份绵薄之力望发扬光大此贴

【多谢了支持的呵

3 0

ZuoDashu应用数学博士

2013-06-28 04:13

公理是人们要进行某些推理的时候进行的第一步合理假设,不需要证明,有时候也不好证明。

公理往往看起来很显然,比如几何中的“两平行线永不相交”。

2 0
支持者: 官左匪右 氪猩猩

首先搬运:http://www.zhihu.com/question/19640824
然后自己回答:
1.为什么需要公理:先举个例子,每天太阳从东边升起,所以认为明天太阳也从东边升起,这个例子的推理用到了归纳演绎,假设“过去一直发生的未来也必将发生”,然后就可以得到命题们诸如“明天太阳会升起”“明天月亮会升起”“今晚睡着了明天我还会醒过来”etc. 如果没有之前的假设,之后的推理就无法进行,就必须要“假设明天早上太阳会升起””假设我晚上睡了早上还能醒“etc. 举出这个例子的意思是:公理是一些假设——为了在保证严谨的情况下为了得到更多的命题所作出的必要假设中最少最基本的。也许换一套公理可能得到同样的定理和推论,但是换的那套更复杂了。公认的奥卡姆剃刀原则是:最少的假设是最好的。因为假设越多,出现违反假设的可能就越大(这里说的是可能,存在无数的情况是多的假设和少的假设本质上是一套假设,但是要知道的是最初作出假设的时候不知道这一点,所以少的是更好的)
2.公理是怎么来的。以上回答的第一个问题和题主的问题息息相关,看完了上面的回答应该能知道题主问题的答案了,我在这里赘述两句。在需要判断一个命题是真假的时候,将其利用逻辑进行简化,简化到足够明显并且不能简化了,剩下的简单小命题就是公理,推导的过程也是公理。
ps个人觉得公设和公理没区别。
ps2从上面可以看出:只有提出问题才能找公理,没有目的的公理体系有很大的可能是瞎忙活(搞代数几何的那帮天才当然不算瞎忙活。。)

以上。

0 0

看到这个马上让我想起三体里 射手与农场主的故事..

0 0

冰火梦幻信息与计算科学学士,算法控,AI爱好者

2013-07-01 06:30

数学理论就是大量定理的堆积。数学家偶然发现规律,总结规律为猜想(也就是命题),证明猜想成为定理。
公理就是在一个理论内部用于证明理论中绝大多数(咳咳,哥德尔)命题所需的最小命题集合。当然了,这也是数学家整理出来的。前阵子那个西塔潘猜想也和这个“最小”有关。

所以公理并不是唯一的。几何学除了第五公设,前4个公设也可以修改。那样会提出比非欧几何更奇怪的几何学,只不过在现实中没什么用,所以数学家不会费力去研究而已。

一般说来,公理要含有尽可能少的概念,尽可能少的推理,才有“不证自明”的价值。我们当然可以把复杂命题比如哥德巴赫猜想订作数论公理,反正目前还没有证明出它,但这个命题包含太多东西,适用性太小,感觉不够“基本”。

0 0

公理,包括所有所谓《真理》都是一种假设。对某一公理修改,即成新系统,如非欧几何。

查看更多

添加回答

登录 后回答问题,你也可以用以下帐号直接登录

相关问答

关于我们 加入果壳 媒体报道 帮助中心 果壳活动 家长监控 免责声明 联系我们 移动版 移动应用

©果壳网    京ICP证100430号    京网文[2018] 6282-492号    新出发京零字东150005号     京公网安备11010502007133号

违法和不良信息举报邮箱:jubao@guokr.com    举报电话:18612934101    网上有害信息举报专区    儿童色情信息举报专区