半径为无穷大的圆是什么?

我是一个文科生,还是艺术生。
高考前在家里做数学模拟卷的时候,画圆的时候想到了一个问题,一个圆的半径越大,这个圆的弯曲度(我不知道怎么表达,大概就是这个意思)就越来越小。
那半径无穷大的时候,圆的弯曲度就小到没有了不是吗。那不就是笔直的直线了。并且半径无穷大那圆的周长也变得无穷大了。那不就更是直线了吗
那两直线直线平行又是什么?两个圆怎么平行?
我想到这个问题第二天去问数学老师,老师笑了一下,说你先想想你高考的事情。我去问数学最好的同学,可是他完全不能理解我的意思。
求教各位理科生!

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115个答案

傅里叶变黄油猫软件工程师,应用数学专业

2013-07-03 00:34

高等数学有对“无穷大”有一个严格的定义。你题目里这样用“无穷大”是没有意义的。

你的问题和“除数为0”很相似:是否可以说1除以0等于“无穷大”?不对,1除以0仍然是没有意义的。但我们可以说函数f(x)=1/x,“当x趋向于0时,1/x无穷大”。

“无穷大”不是一个确切的值,它更应该被理解成一个过程。想象x越来越小时,1/x越来越大,只要x足够小,1/x就可以足够大以超过任何有限的数,但对于任意确切的x来说,1/x的值还是确切的,而对于x=0,1/x仍然是没有意义的。所以,某个圆的半径不能无穷大,但一系列圆或者说某个变化的圆的半径可以无穷大,例如:当一个圆的曲率趋向于0时(越来越直),那圆的半径趋向于无穷大【再次强调这是一个过程,这个过程中的任意一点都是确切的值,不存在某个点是无穷大,无穷大的只能是过程】。而直线不是半径无穷大的圆(至少在小学到大学教的数学是这样的),因为你找不到任何一个确切的点离直线上所有点距离相等,不符合圆的定义。所以你也不能问半径无穷大的圆是什么——不存在那么一个圆,那没有任何意义。

高等数学上,函数 f(x) 无穷大的定义看起来是这样的:对于任意M>0,都存在一个x0,当x>x0时,|f(x)|>M。是不是觉得罗罗嗦嗦、乱七八糟?提前给你的大学生涯一个心理准备(如果你要学高等数学的话)。

我们不妨用类似这种的数学语言来重新描述你的问题:半径为 r 的圆O,当 r 趋向于无穷大时,圆O是否趋向于一条直线?这将遭遇另外一个问题:如何定义一个圆趋向于一条直线?或者说如何定义一个图形趋向于另一个图形?如你所见数学非常强调严谨,这样说还是没有意义。

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可不可以这么想呀:

想象可以对应到一个挖了一个点的球面上去:

可以发现,任何一个圆都能对应到球面上的一个圆上去,这是一个一一对应。

因此当半径趋于无穷大的时候,这个对应的圆就越靠近最顶上的那个极点。

因此我们认为,任何一个圆心在上,半径为无穷大的圆,对应球面上的极点。

如果我们将加上一个理想的无穷远点,任何直线都通过这个相同的无穷远点,可以验证这样补充定义是well defined的。此时,得到一一对应是球面的缩写),由于半径无穷大的圆对应的是球面的极点,这个球面的极点对应到就是补充定义的无穷远点。

因此可以总结:圆心在上,半径为无穷大的圆是这个平面上的无穷远点

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我觉得这个问题再讨论下去的结果是:问问题的人,看不懂答案~

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方弦科学松鼠会成员,信息学硕士生

2013-07-03 04:08

其实应该说,如果一条曲线的曲率半径处处相等而且有限的话,那么就是一个圆;如果处处相等而且无限的话,那么就是直线。这种理解应该还是可以的。

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LZ同学,其实大多数人没有意识到你的描述中存在的根本问题。LZ实则在2个框架内讨论2套东西。

从LZ的背景可以知道LZ所理解的平行线是欧几里德几何,其中平行是以一条公设出现的。注意,这不是公理、定理、定义。因此,LZ所理解的平行线的概念只适用于欧式几何的框架,跳出欧式几何去讨论平行线,其实是没有意义的。同样的,欧式几何中并不存在平行圆的概念,因此LZ提出的问题本身就是无效的。

如果真要考虑所谓的平行圆,LZ可以想象2个圆一上一下,他们圆心的连线分别垂直于圆所在的平面。但 实际上这里是在说两个平面平行……

再来说说圆。

LZ的想法没有错,当圆的半斤趋向于正无穷大时,圆的曲率趋向于0。而直线的曲率为0。因此可以认为半径趋向于正无穷大的圆=直线。可以写作

但是,注意但是!由于引入了极限的概念,因此这里讨论的圆,已经不是欧式几何当中的圆了。在非欧几何框架,“平行线”是可以相交于无穷远的,直线是可以首尾相接的,过直线外一点可以做2条平行线的……

所以LZ的问题在于,问题所描述的事物处于不同的框架中,不同框架内的东西无法进行比较,因此别人当然没有办法回答了。
打个不恰当的比方,LZ去KFC买汉堡,却问收银员麦当劳的汉堡哪个好吃……

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正如@Ethan_Lau 所说,无穷大是个极限过程,取不同的极限过程看到的结果往往是不一样的。

所以,不严格滴说我们可以这么看:

如果你站在圆心,让圆的半径趋于无穷,圆周上的点就跑到无穷远去了,这时候,你可以认为你什么都看不见。如同@Obliviou_s 讲的,在黎曼球面上,你也可以认为他们跑到无穷远点去了。

另一方面,如果你站在圆周上一点,让圆心沿着一条直线跑到无穷远去,那么你会看到你附近的圆周的“弯曲程度”(曲率,曲率半径的倒数,局部坐标上的两阶导数)趋于零了。它慢慢的越变越直,变成直线了。
在这个时候,如果你观察旁边的一个同心圆,它的半径与你所在圆的半径的差在圆心运动时保持不变,比如说是一米。那么你会看到它也变直了,最后变成了一条与你所在的圆(现在是直线了)平行的直线。

如果你站在其他点,或者圆心的运动规律不是那么简单的,那么还有可能这个极限过程是“发散的”,不严格的说,你越看越看不到规律,或者这个规律给不出一个简单的极限描述。

为什么会这样呢?其实有一个原因是半径无穷大的圆在数学上是“不适定的”:一个圆由两个要素决定——它的圆心和半径,只给半径趋于无穷大是不够描述极限性质的。一旦你给定了圆心的运动规律,一切就明了了。

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shing_yu社會工程學 心理學 奇門遁甲 道教 周易

2013-07-04 14:05

還是圓,地球這麼大就夠用了 ..地面不是平的..貌似是平的

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这个问题有2种不同的视角可以回答。它们的答案都是否。
1.数学的视角
鉴于你是文科生,不说你表述的错误了。直接说你想要的结果:圆的半径趋于无穷大时候,其曲率是趋于无穷小的,确实越来越接近直线了。但直线的曲率却是严格的0 !严格的0和趋于无穷小是有本质区别的,虽然它们在量上的区别却又是无穷小的。为了说明这个本质的区别,用曲率半径的概念好理解一点:你的那个圆的曲率半径是无穷大,而直线是不存在曲率半径的。
2.超越数学的视角
超越数学的立场来看,半径的无限放大并不改变这个圆的“之所以成为圆的关键原因(比如极坐标下某个圆的方程ρ=a)”。好比笑林广记里的一则黄色笑话:某县令升官了,喜滋滋地告诉老婆,我升官了那东西肯定也大了今晚我肯定行。结果晚上还是一败涂地,后来两人苦思良久找到原因:官太太的地位随之而高,下面那地方同样大了!明白了吧?这两人的内在主要联系在于“夫妻关系”,官职变动未并改变这个主要联系的实质内容。

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首先,我认为你关心的是圆的半径和曲率之间的关系。所谓曲率,就是你所说的弯曲度的问题。
“一个圆的半径越大,这个圆的弯曲度(我不知道怎么表达,大概就是这个意思)就越来越小。”,你观察到的就是圆在某一点的曲率和圆的半径之间的直观关系。
那么,用公式表达的话,半径为r的圆的曲率K就是

……………………(1)

这个公式在应用的时候,要注意一个要点,就是K表示的是圆上“任意一点”的曲率,注意这个任意一点,接下来我的分析将与之有关。
现在我们来想象一个过程,首先在纸上画一个圆,然后在圆上任意选取一个点A,连结点A和圆心O,我们的到了半径OA,设它的长度是r.

好,现在可以轻易算出,A点处的曲率是1/r。那么随着r不断变大,A点处的曲率1/r会不断变小。当r趋向于正无穷的时候,A点处的曲率也将趋向于0。那就是A点没有弯曲度了,貌似圆要变成直线了,那么我们不妨假设一下,这条由圆变成的“直线”就是通过A点与圆相切的直线。这条相切的直线在半径r足够大的时候与圆重合了,我们在这条直线上在A点之外,任意选取一个点B,那么这条直线就叫做直线AB。
现在来看这个B点,B是在直线AB上的,同时,该点也在圆O上,因为我们已经假设了在半径r足够大的时候,圆和直线重合。既然在圆上,那么线段OB的长度就应该等于圆的半径r,也就是

……………………(2)

三角形OAB是一个直角三角形(因为直线AB是圆O的切线,线段OA与直线AB一定是垂直的——切线定理),直角三角形中就一定存在勾股定理

………………(3)

根据我们推导出的式子(2),就可以把式子(3)简化为

………………………………(4)

好了, 根据式子(4)我们可以得到线段AB的长度是0.但是我们之前选取点B的时候,是选取的不同于A的一个点,那么线段AB的长度就不可能为0.这样,我们就推翻了那个假设:在半径r足够大的时候,圆和通过圆上一点的切线重合。

结论:无论圆的半径如何变大,但是圆永远不会变成一条直线,只是圆上任意一点的曲率无限接近于0而已。说的通俗一点,半径无论怎样变大,圆还是那个圆,只是选取圆的一个部分观察的话,会发现这个部分随着半径的变大,变得越来越像一条线段了。

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就像从前因为地球曲率大有人认为地面是平的一样,再大的圆也有曲率,曲率只能无限接近零但是永远不可能为零,永远有圆心和等长的半径存在,曲率再小也是个正数不会为零。

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若宇物理学本科生

2013-11-28 12:29

我歪个楼,我一直在找楼主,不知道楼主看明白了没?

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看了楼上的答案,大家解释太过理科生了。
让猛哥来说两句。
楼主疑问的出发点是:一个圆的半径越大,这个圆的弯曲度)就越来越小。
然后推断半径无穷大的时候,弯曲度无限小,
这里就是楼主问题命题错误的地方了,无限小,那也是还有弯曲度的,所以不能等同于直线。因为直线没有弯曲度。
所以楼主下面的两条直线平行,应该改成两条接近于直线的曲线平行。
可是接近又又有多接近呢?这里我们让他差很多,就随便花俩圆吧(多大多小都没关系在,最好画在两张透明纸上)。
然后我们就想办法让两个圆的曲线平行吧。
我想只要不是傻子,都能想到。就是让俩圆的圆心重合。
至此可以完美解答楼主的问题:“那两直线直线平行又是什么?两个圆怎么平行?”;

两个圆平行就是同心圆。至于两直线平行,可以参考数学书上的定义。

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如果我没有理解错的话,在黎曼几何当中,直线就是一个"大圆"
我也不是学数学的,讲不太清楚,大概就是像沐浴冬日暖阳所说的那样无线延伸的直线绕宇宙转了一圈,就首尾相接了。

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Mem郎当学生

2013-07-03 12:06

好比当X为无穷小的时候,X>0 是绝对的,X只是不断地在向0靠近。。可以从1到0.1到0.01到0.001到0.0001到0.0000000000001一直下去,反正就是比0大。你随便说出一个比0大的数字,例如1*10^(-999),那么X可以是1*10^(-1000),只要你能说一个确切的比0大的数字,X就可以比它小。。
所以你说的问题里当半径无穷大的时候,弯曲度为无穷小,表面的弯曲度还在,比0大又比任何一个确切的大于零的数字都小。
这种感觉,就像是追妹子的时候不断靠近不断靠近不断靠近不断靠近,却始终追不到的感觉。。这种感觉你们懂咩T.T

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支持者: 泸左淬冰生

半径无穷大的圆,这个让我想到了天球(半径无穷大的球)。
没有无穷大这个数字,无穷大是一个过程。

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支持者: SONG_Kevin

这个在高等数学中有过解释
楼上的朋友也提到了
一条曲线的弯曲程度用曲率表示
曲率是曲线上任取2点做切线有个交点,这个交点处会和两切线形成一个夹角记为Δα
这2点所对应的弧长即为Δs
那么曲率k=Δa/Δs,用这个公式可以得到对于任意一个圆它的曲率k=1/R也就是半径的倒数
直线处处不存在转角所以Δα=0高数书上称作:“直线不弯”
这里问题就很好解决了
通过高数极限的定义就有当R趋向于无穷大有k等于0
简单的来说就是楼主说的直线可以看作半径为无穷大的圆
周长肯定无穷大,直线不存在长度因为可以两端无限延伸。
两直线平行也就是两条直线同时无限延伸始终没有交点(狭义上来说没交点广义上交与无穷远这个可以不用管)
平行一般只相对于直线来说
圆不存在平行

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支持者: arnorzhang Sin_Xu

无穷大 是一个相对的概念,实际中,一般大于10倍 基本就可以视作很大,试想下,现在周围只有你一个人,你感觉人很少,突然你周围围了10个人,这是人就很多,当圆半径无穷大 是相对一定程度的情况,这是可以认为你所见到圆的边缘是直线,但是当你人也是无穷大的时候,你就看到的是个圆。工程情况的近似 是可以的。

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支持者: 暖夏独临夜晓风

作为一个文科生,从题目的字面来看,我不得不说一个半径无穷大"的圆"仍然是个圆

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支持者: 金汞齐

我记得初中还是高中物理课上,有提到,匀速直线运动,相当于半径无限大的匀速圆周运动。所以我赞成你的观点,如果一个圆半径无限大,那么它确实和一个直线一样。

不过,最终还要听那帮学数学的怎么说!

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支持者: 奶牛和他的牛奶

我倒是在想题主去问数学老师时,一定是个很萌的样子。。。。。

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支持者: fay非非

在高中阶段的话,我觉得这个很好解释啊。
当圆的半径R无穷大时,曲率是趋近于零而永远不等于零,也就是说在取一段圆弧时,这段圆弧是无限趋近于直线但是永远不是一条直线的。

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宇智波桩渔天中心理学烈士。天文学爱好者。建筑学菜鸟。

2013-07-05 18:00
支持者: 暖夏独临夜晓风

直线=直径无穷大的圆。正解。

两直线平行,相交于无穷远的一点。


模型是抽象的存在。

看你自己的理性思维了。

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支持者: 火星萧瑟

你的想法里两个概念都是弄混了,你想的圆,其实是“弧”,你想的直线,其实是线段。你问的“
半径为无穷大的圆是什么?”其实是“半径为无穷大的弧是什么?”


看你想的内容,其实你是想了一个很短的线段(注意,是“线段”,不是直线)和圆的一部分比较,所以当圆越来越越大时,圆上的一小部分就越发接近这个短线段而已。

而直线本来就是无限长的,所以无论圆多大,也一点都不像直线。

而半径为无穷大的弧,也可以说是线段。

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支持者: 暖夏独临夜晓风

你纠结神马,作为一个艺术生来说,没有那么大的纸,怎么画那么大的圆。

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AS001为科学之美着迷 又贪恋人间灯红酒绿

2013-11-28 10:59
支持者: 格蕾特少尉

这样说LZ明白不,在欧式几何中,当圆半径趋向于正无穷时,圆周的曲率趋向于零。但圆周曲率趋向于零依旧是个圆周,直线的曲率是等于零的,两者不等。

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支持者: 暖夏独临夜晓风

首先为你点个赞!爱思考!
然后就是你问错人了,文科班就算数学最好的人应该对数学也没有真正的理解,他们只是会做题而已(无意冒犯数学好的文科生),你应该找理科班数学好的人。

回归正题,其实楼上其他人的说法已经可以回答你的问题了——本来就是半径越大的话曲率越小,很直接的一个例子就是地球,地球的半径已经相当大了,所以我们生活在地球上几乎感觉大地是平的。

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支持者: 暖夏独临夜晓风

和一个还在念高中的文科生讲极限的概念会不会太抽象了

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只能说是无限接近于直线,曲率无限接近于直线的曲率。所谓极限,本来就是永远也到不了的

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半径无穷大的圆在射影几何中就是直线

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无法讨论吧?欧式几何对圆的定义对半径的描述是用线段的,而若趋向于无穷大,那么半径不就变成射线了?直接就超出了欧式几何的讨论范围。

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MJ.R偏执狂汽车见习工程师

2013-07-03 22:23

你的得到的啥都没有。
圆能够首尾相接,直线可以么?

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1+1=2是绝对公理一样0不能当除数也是公理。
曲率公式:ρ=1/K。无穷大是一个概念,它的倒数为无穷小即0.曲率半径无穷大曲率为零,ρ=1/K=0,直线曲率为零。不存在某个数是无穷大,也就不存在具体的半径无穷大的圆。理解认为零就是无穷小,零不能当除数,这个圆就不存在,这也与它就是直线相符。

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无穷大只是研究数学的一个手段,不要当成真实了。正如网游中的角色,虽然荡气回肠一番,其实只是虚幻。

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曲线的曲率(curvature)就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。这就是你所谓的弯曲度,曲率的公式略复杂,不知道怎么写,不写了,你可以自行查一下。但是,直线的曲率K=0,而圆的曲率为1/r,当r→∞时,K→0,那么我认为此时趋近于直线。实话说我不知道该怎么回答LZ的问题,数学上,直线本来是一种特殊的曲线。而往往当我们要提出一个命题,你可以设法证明之,而你的问题:“圆周就是直线”,把它当成一个命题的话貌似不太严格,怎样定义“就是”这个词?所以你的问题本身并不严谨。
同样,你的第二个问题,“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”,这是平行线的定义,也是作为一条公理存在的(数学上“公理”这个词意思是大家都认可的东西,是不需要证明的,整个数学都建立在有限的几条公理之上,其他的各种定理都是基于公理推导出来的)
稍微扯远了,回到你的问题,如何定义“两个圆平行”?没有给出严格的定义,接下来的各种推导和证明都是没有意义的。

最后,LZ居然是文科生,这么有数学天赋~~早生几百年说不定是一个改写历史的人物!

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荒芜的茶田混挨踢的硬科幻死宅

2013-07-04 14:13

这无疑是一个哲学问题。

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我是个不合格的体育生、艺术生、文科生。。。好吧我是学城市规划的前体育生。。。以上是我那个学生物工程的媳妇儿笑话我的时候说的

所以,我就不扯那些数学的事儿了,反正我不懂。但是我倒是愿意站在这样一个科学门外汉的位置上去和楼主讨论这个问题。并不是讨论这个问题的答案,而是讨论楼主何以出此一问。
楼主观察到半径越大的时候圆的“弯度”越小,那么这个事儿的讨论范围,其实是一个相对固定的尺度上去观察这个圆,而非始终作为一个整体去观察这个圆。
楼主感到这个圆变大的时候越来越“直”了,只是因为自己的观察尺度相对这个圆越来越小了,而观察尺度内的一小段圆弧就会看起来越来越直,以至于直到让楼主认为它是直线,想要对这个圆弧套用直线的属性。
如果始终把一个圆作为整体来看,那么它就始终只是一个圆,多大都是圆。那么楼主那些想要解决的“无穷大圆如何套用直线的性质”的问题也就不存在了。

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你可以把圆定义为 一个人从一点出发 按有限固定的曲率走出来的一个轨迹
特点是可以走回起点 但如果你按为零的曲率走 最后走不回起点 就是一个直线
所以半径无穷大的圆不是圆 是直线 既然是直线 平行又何妨
最后最重要的一点 数学吧 你可以看成一种游戏 有时候游戏规则吧 自己定也可以
自己理解就成了

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如果你的假设不存在,那么答案也不存在。

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无穷大的圆无限接近于直线但是取任意两点作切线还是会相交的,举个栗子就是地球,大家都知道地球是圆的但是自己总觉得和周围的人是一条直线上的,其实大家都不在一条线上,作为文科生你此刻应该猛然觉得人参很寂寞了。

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虽然不知道你们在说什么,但是好NB的样子

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我觉得这有点像宏观上的弦理论。具体我也不知道怎么讲
弦理论用一段段“能量弦线”作最基本单位以说明宇宙里所有微观粒子如电子、质子及夸克都由这一维的“能量线”所组成。

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我只能说,圆必须闭合的。直线怎么闭合?平行。。。没懂

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还是回到最原始的定义看一下吧!
圆是在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合。
按照这个定义,半径是多少的圆都不是直线,因为平面上不存在一点到直线上各点的距离都相等。

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