y=x^x的反函数是什么?

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2个答案
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想从上面解出x用y的表达式的,不借助特殊函数是不行的,这种特殊函数就叫Lambert W-函数: http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

不是1-1没关系,一到复变看成主分支即可,或者限制
最后呢,反函数可以表示为

其中W便是这个Lambert W-函数。解析式写不出来(这就是特殊函数的tautological之处……其他的特殊函数例子比如什么正弦余弦除个x的反导数一类的),可以用级数展开毕竟,或者像Bessel那样是某个微分方程的解可以用有限元有限差分逼近之流。

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额,其实y = x^x 在并不是一个一一映射,因此反函数不存在。。。

有图为证:


绿色是y = x^x的图像。

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