这个 -1=1 的证明中问题出在什么地方?


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6个答案
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支持者: sh1044shaw mwei dy._.

@wugui 同学讨论了一下,感觉这个问题太深了。

我这个答案还不能够解决问题。所以更期待@wugui 同学等数学专业的人来给一个更加严谨的答案。

大家先 hold 一下。

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问题出在不声不响的扩展了数域。

第一个等号这里,

需要保证 都有意义。(这是我的疑问,为什么需要都有意义?因为乘方/法是可以交换的,所以才这样要求么?似乎理由不够充分。

这个被扩展到复数域上了, 那么根据提莫负定理的一个推论,1/n 次方有n 个结果。


$(r^n \cos\theta,r^n\sin\theta)^{1/n}=(r\cos(\theta + \frac{2k \pi}{n}),r\sin(\theta + \frac{2k\pi}{n}))$

具体到这里,

$(-1)^{2/2} = (\cos\pi,\sin\pi)^{2/2} = (\cos2\pi,\sin2\pi)^{1/2} = (\cos(\pi + \frac{2 k \pi}{2}),\sin(\pi + \frac{2 k \pi}{2})) =$

也就是

$(\cos(\pi + \frac{2 k \pi}{2}),\sin(\pi + \frac{2 k \pi}{2})) = (\cos((k+1)\pi),\sin((k+1)\pi))$

如果 k 是偶数,那么 上式的结果就是 (-1,0),如果 k 是奇数,那么上式的结果是 (1,0)。


题目的证明只是取了 k 为偶数的情况。


我不明白的地方有,
1. 为什么必须保证 (a^x)^y 和 (a^y)^x 都有意义?因为乘方/法是可以交换的,所以才这样要求么?维基上说了不能拆分成两个 1/2 方次,但似乎理由不够充分。
2. 这里从实数扩展到复数域,出现多值。是指数定义的问题么?定义失效了?
3. 棣莫弗定理该怎么用?里面的等号是什么意思?
例如有个疑问是,
如果我们认为棣莫弗定理像wikipedia说的对 1/n 成立(等号是等价),那么我们需要完全重新定义乘方。如果我们认为乘方的定义是被限制的,那么棣莫弗定理是什么意思?

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支持者: sh1044shaw mwei NAME生活


证毕。
对于幂运算,一定要注意它的运算规则:
在实数中,

也就是说,在实数中,当 a > 0 时,运算性质(2)才成立,
产生错误的原因是不记得幂运算的前提条件,
复数运算求解就不会出错了,a < 0 时,(2)在复数中是成立的。
参考:
《作为实数运算的幂运算和作为复数运算的幂运算》
http://www.doc88.com/p-487738251604.html

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孤獨的觀測者电影媒体人、中二程序猿

2013-07-15 11:15
支持者: sh1044shaw

2-3步丢根了

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支持者: sh1044shaw

问题大了,第二第三步骤根本就不等

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做平方乘方等是信息的丢失过程,所以熵增了,从0变为ln2。先开方,则保留了全部信息。

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