若f(x)为区间I上的连续函数,且在区间I上有界,则f(x)在区间I上一致连续。请问这个命题是正确的吗?能不能证明一下,谢谢!

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1个答案
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支持者: 氪猩猩 非乌龟

额,昨晚把区间看成了闭区间,导致我给出的证明是对于闭区间,连续函数是一直连续的。因为证明需要用到开覆盖定理。

如果区间是开的,不妨设区间是,那么考虑类似于的函数,它就不是一致连续的。

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如果加上闭区间,那么这个结论是正确的。而且不需要知道函数闭区间上是有界的,因为连续函数在闭区间上存在最大值最小值,因此暗含了有界性。

证明可以使用开覆盖定理。

任意,对于任意,由连续,存在,使得对于

注意到的一个开覆盖,由开覆盖定理,存在有限个覆盖,于是取

这样,对于任意,就有,即是一致连续的,证毕。

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