关于全体实数集不可数的证明

最近在看R. Courant和H. Robbins写的《什么是数学》(复旦大学出版社,第三版),其中第2章数学中的数系第4节无限的数学分析里讲到了全体实数集不可数的证明,我拍了95页和96页部分的图


这个证明本身并不难理解。可我还是要弱弱地问一句,要是我用相似的方法把所有正整数都用十进制表示出来:

第一个数 ……a5a4a3a2a1
第二个数 ……b5b4b3b2b1
第三个数 ……c5c4c3c2c1

接着构造一个 z=……edcba,其中a不等于a1,b不等于b2,c不等于c3……为什么连整数也变成不可数的了,又或者小数可以这么证明整数不行?

一定有哪里出了问题,但我一直想不出来 |||捂脸

请教各位高人指点,多谢!

推荐  (0) | 7人关注关注
7个答案
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支持者: 马甲与小号

因为整数数位一定是有限的
即使再多,大到天文级别,它还是有限的

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支持者: ..._3403

简单的说。你得到的z不是数是无穷。小数可以是因为由于柯西准则极限存在。是一个新的小数。而整数不行就在此

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你构造的数z有问题,显然z->+∞
另外z本身也不一定能构造的好,比如一位整数怎么放也是个不大不小的问题

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一个集合的元素能像整数那样排列成一个序列,就称这个集合是可数的。你用整数来作为假设是不符合定义的,因为整数集合是用来判断其他集合可数的基础

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某人认为本来构造出不能一一对应的方法就一抓一大把,就像自然数和正偶数,很容易就使得自然数的奇数与正偶数对应不上,可能只有能建立出一个一一对应的关系就直接把不行的情况全部否决了吧。
不过老实说某人也不太认同康托尔的集合论关于无穷的论述,总觉得有毛病,可又说不出来。

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我自学时变函数论,看到这种证明方法后稍加思考也想到了楼主提的这个问题,特来交流,不知道楼主想明白了吗,可否给我讲讲

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呵呵,ls已经回答了,其实就2点,1整数有限位,2实数具有完备性。

lz把全体整数取倒数再来这么做,构造出的数是某数列的极限,犹豫全体整数的倒数不具有完备性,所以这个极限不一定是有理数,也就是不可能是某整数的倒数。手机码字有点乱。总之呢各位对数学如果感兴趣,请把数学专业的基础书先看好,实数完备性那几个等价定理啊,高数和线代不能代替数分和高代的。


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