学习量子力学需要什么样的数学和物理基础?

我看的是斯坦福的量子力学公开课。但一知半解。
我很害怕,最后发现,没有相关基础,自己花的时间完全没有意义。

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6个答案
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LePtC物理学博士生

2013-09-03 23:21

(初等)量子力学学习经验总结:

我把量子力学分为6个部分吧:薛定谔方程与波函数,势阱束缚态与势垒散射态,厄米算符与力学量,轨道与自旋角动量,氢原子与原子光谱,微扰论

各部分需要的必备先修知识如下(括号中的不必备但能让理解更方便):

  1. 薛方程:波动光学,常微分方程
  2. 势场:常微分方程,(数理方法)
  3. 算符:线性代数
  4. 角动量:线性代数
  5. 氢原子:数理方法,(高中化学)
  6. 微扰论:高等数学


好像都集中在数学... 经典物理对量子力学的帮助不是很大...
近代物理的帮助会比较大,很多学校都是先学近代物理再学量子力学

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bay618粒子物理博士

2013-09-03 20:56

不知道你的基础是什么
我看过前面几期, 这个课程是入门级的, 只需要一点简单的矩阵和微积分的基础就行了
量子力学入门重要的是概念的理解, 不要根据经典的或是科普书上的说法来理解, 而是按实验结果来理解

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不知道你的基础是什么,也不知道你学量子力学的目的是什么。


如果是为了高级科普,那就不要太在意计算的部分了,会很枯燥。

在这种情况下,其实不需要什么基础。数学上,看得懂微积分、对矩阵什么的有概念就可以了。例如碰到一个薛定谔方程,不必一定真得亲手去解,而只要能看得懂书上给出的解即可。物理上,不妨简单粗暴地无视掉“态”与“波函数”,或“矢量”与“列矩阵”,或“算符”与“厄米矩阵”之间的差别;多看看物理学史什么的,以便了解来龙去脉;或者多上网逛逛、多围观围观热心民科(此处无贬义)的讨论帖。


如果是为了从事研究,那就先把基本功练好,好好理解基本概念,比如上文所说的那些差别,还有全同性什么的。

也就是说,数学上,书上能解的方程你也要会解、线性代数要熟练;物理上,多辨析不同的概念。可以有各种奇怪的想法,但还是要避免太过于民科。

所谓“相关基础”的具体内容要看你的课程思路了。抱歉我没有看过斯坦福的量子力学公开课,所以不能有针对性地来说。我觉得目前主流的量子力学课思路有两条:一是从波动力学开始讲,二是从矩阵力学开始讲。

如果是波动力学的思路,那么这样的量子力学课程一般就会是“叫兽教你解薛定谔方程”的样子了。那么它的数学基础就是解!方!!程!!!这就要熟悉“数学物理方程”这方面的内容。当然不用学其中的全部,对于入门级的量子力学来说,搞定厄米多项式(谐振子里会用到),勒让德多项式连带勒让德函数球谐函数(氢原子里会用到,确切地说是球坐标系下几乎到处都是这些东西),贝塞尔函数球贝塞尔函数等等。所谓“搞定”指的是你必须知道它们是那一类方程的解,它们有什么递推性质,它们的积分怎么算等等。还有,傅里叶变换要会用,不过暂时不用太学仔细。
以上所说的是薛定谔方程可以精确求解时的情况。如果没有精确解或者很难求出精确解,那这时就会用到“微扰论”了。我个人认为所谓的“微扰论”只不过是求方程近似解的一种特定的数学手段罢了,不是什么物理内涵丰富的东西。“微扰论”其实也不过就是解微分方程,但是需要用到比较多的线性代数内容。就是说要对矩阵运算、矩阵的本征值与本征矢量、线性空间的不变子空间等等等等(没太大的把握说得很详尽)的概念很熟练。当然不熟也没事,只不过算东西会走弯路,增大计算量。举个例子,氢原子的Stark效应如果用笨办法硬算的话够你算三天了,但如果线性代数技巧过关的话一般20分钟出结果。
在波动力学的思路下当然也会涉及到一些矩阵力学的内容。那些的数学基础也是线性代数为主吧。

如果是矩阵力学的思路,那刚开始时会线性代数就够了,不过必须非常熟练。几乎不用解那些层出不穷的乱七八糟的方程了。当然最基本的微积分肯定不能少。后期可能会碰到一些群论的内容,但那不是所谓的“基础内容”了,一般书上都会对它将要用到的群论知识有所讲解,所以用到时再学即可,不必特地学完群论再来看量子力学。

以上是数学方面的内容,接下来说物理。
物理上,很多人都说波动力学更像经典力学,出于一些诸如“都是用微分方程解运动规律”之类的理由;而相比之下矩阵力学的框架体系与经典力学差的很远,所以难以上手。
我个人认为,这些理由根本都是扯。从我个人的经历与感受来看,要学就直接从矩阵力学开始学起。一旦接受了这种设定,它理解起来并不比波动力学困难;而且我觉得矩阵力学更深刻。当然我不清楚斯坦福的量子力学公开课是哪种思路,无论它用的是哪种思路想必都有其一定的合理性。

波动力学入门时要掌握的概念:波粒二象性波函数的统计解释(这两者在初学时挺不好理解的,但是一旦接受了这种设定之后就会觉得它们是很显然的废话),态叠加原理不确定原理力学量的算符表示,然后就可以有薛定谔方程了。

矩阵力学:希尔伯特空间(好吧这其实可以算是数学内容),力学量算符(好吧这也是数学)等等。矩阵力学的抽象化程度更高,也就更数学化一点。多辨析物理量与其表象之间的联系与区别,比如说要能分辨出“波函数不是态,而是坐标表象下态矢量与基矢的内积”这样的表述是对是错。
以上这些更多的是回到数学了。因为物理实质上矩阵力学与波动力学是相通的,所以需要的物理基础也是相同的,只不过用到的顺序不一定一样罢了。



最后想说我也只是上完量子力学课没多久的小同学一名,以上所说的全都是一家之言,层次很低。回答这个问题,与其说是为了帮楼主解惑,倒不如说是为自己整理了一下思路。可能并不能真正帮到楼主,甚至还可能有些误导。还是希望楼主能多看看楼上@LePtC @bay618 的回答吧。也希望大牛能对我的回答进行指正!

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阿尔吉农飞岛国语言专家

2013-09-05 05:38

Heroes in my heart里有个故事:著名数学家H.Whitney本科时候学的是音乐。他完成学业后到欧洲大陆去玩,大概是到了 哥廷根,当时有一个很牛的物理学家(不是海森堡就是薛定谔)正在做一个关于量子力学的讲座。等讲座结束之后,Whitney什么也没听懂感觉极其不爽,于是找到了那个主讲的人,说,先生,我觉得你做的讲座很不成功。主讲的教授很纳闷,就问他说为什么。Whitney回答说,我可是 Yale 大学的优等的毕业生,你讲的东西我竟然听不懂,这难道不是你讲的有问题么。那个教授继续问,你是读什么专业的。Whitney 回答说,我是学小提琴的.....

教授大大的分特了,说这个我也没有办法,你要想懂的这些东西的话你应该学一点基础的课,于是告诉他这个世界上还有数学分析和线性代数等等...

Whitney 回美国之后就开始发奋学习数学,据说半年之后就可以参加很高级的讨论班了。当然他是非常刻苦的。

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大一下学期的物理课里面就会有量子力学的内容了,所以需要的基础至多是高等数学和牛顿力学,麦克斯韦方程组,线性代数。

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量子力学需要全面的数学和物理的基础,即便你都有,学起来也依然不容易:

数学:高等数学、线性代数、复变函数(格林函数的计算)、数理方程(量子力学的薛定谔方程本质上就是一个偏微分方程)

物理:力学、热学(相对不那么重要)、光学、原子物理(虽然量子力学的处理思路与这些课程的完全不同,但是普物课程中有很多物理结论在量子力学中都能找到对应的结论,与经典力学的对应也是加深对量子力学的理解的重要方法)

理论力学、电动力学(理由同上,但是量子力学更加依赖这两门课,其核心理论很大程度上是这两门课里面部分理论的延伸,因此必须学好!)

以上课程能够完全理解了,你便具备了学习量子力学的基础。

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