如何解释排中律作为公理的合法性?

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11个答案
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Ekoms数学/化学爱好者

2013-10-02 11:49

你要么接受排中律,要么不接受排中律。
====这是一个告诉你上面那句话是自指的句子====
====这是一个告诉你上面那句话是自指的句子====
====这是一个告诉你上面那个句子不是因为很重要才说了两遍的句子====
====这是一个告诉你自指到此结束的句子====


公理体系没有什么合法性不合法性的,只要自洽,你看哪个爽就用哪个而已。

就像欧式几何的第五公设,你不接受换另一个公设进来也可以。

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所谓一个领域的“公理”,一般是讲人们在经验上达成了共识,认为在探究(从事)该领域的问题(事务)时,可以不加论证且也不能加以论证的用来演绎和推理的命题。一般而言,一个领域的公理可以是一个或多个。若是多个,彼此之间必须是相容的。一般来说,做为公理的命题必须简洁明了,同时也要能从其中推出富有价值的其它更多的命题,或者能演绎出有意义的丰富有趣的结构。

排中律是传统逻辑的一个公理,所谓“是非之间(A是B或非B),必居其一”。其做为逻辑公理无疑是受过人们无数次的经验检验的(幼童都知道,玩两手藏球游戏时,球如果不在一只手里肯定就在另一只手里)。但是要理解排中律做为公理的合法性,个人觉得要分个层次才行:
公理的合法性应该源于其有效性(不合法也就“无效”了;反之,有效的被采纳才“合理合法”)。所谓有效,无非是说若某命题若被接受成为公理,则它在该领域内必须能够工作的出彩且不出差错(亦即“和经验相容”)。如果人们发现某公理有其适用的范围,则其即沦为某个子领域的公理,同时其自身往往也成为该子领域的一种指称或者定义。比如欧几里得第五公设只适用于欧几里得几何(不可用于非欧几何),在这种情况下,欧氏第五公设做为欧氏几何的一个公理同时也是它的定义的一部分(从而得以区别其它非欧几何)。
单对于排中律而言,如果不接受它为公理,则逻辑领域可以扩充(就像不接受所谓“普世价值”,社会类型可以被扩充一样)。在扩充了的逻辑领域里得到的命题未必满足排中律,这样排中律也就不具备了合法性(记得果壳网曾经有过类似介绍的帖子,可以搜搜看)。这样的例子偶尔也会遇到,比如在《金刚经》里面有大量违反排中律的命题。还有数学史上曾经有过流派不承认排中律,铤而走险来“发展”新的数学的,后来貌似演绎出来的结构体系太乏味了,潮流也就慢慢散了。
从物理经验上讲,量子力学的发展似乎提出了在传统描述中运用排中律的挑战。这里面有大量的有趣且生动的例子。不单有薛定谔的猫,粒子干涉中的路径选择等熟知的段子。更深刻的还有像“自由意志定理”这样有深度的命题的证明(其中用到了一些违反传统经验直觉(排中律)的量子力学命题。有兴趣的读者可以搜搜物理学家李淼对这一定理的科普文章,微博上有贴过)。

以上不少概念自己也没搞太懂,所以回答,只为训练下自己而已~~

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公理本身不必合法,它就是法。
要说公理之上还有什么?那就是你的信心和选择。
或者说归根结底,看似因为“真”所以你信的道理,其实是因为“信”而真。
所以说到底,公理体系也只是表面上合理,其实蛮不讲理的一种思维体系罢了。
一切对第一因的追问都会落入这个死结当中。

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支持者: 奇异点

排中律是一个宏观限制性设置,主客二分,然后,非彼既此。

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Syber_Lancaster师范专业的数学与应用数学在读本科生

2013-11-01 19:39
支持者: 拉普拉斯的眼泪

那请举出一个反例来。

举不出来,那么说明,现阶段就这么用着吧,因为遇到的情况都是符合这条公理的。

真举出来反例了,那么bingo,你开启了一个新的研究方向,这个时候欢迎你拿起纸和笔去折腾一个建立在不以排中律为公理的公理系统。

赞同王一南的回答,但是还有一些我想表达的,所以就回帖了(习惯性混小组……)

在我看来,公理,更应该被翻译为大前提。

一套公理系统是以一组公理为真而导出的命题,其内在含义是若公理真,则这些命题为真。

那么在两个系统中,二者公理相矛盾是可以接受的。

比如欧氏几何和黎曼几何的平行公理。

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卢瑟傅里叶想要改变世界,上帝没给我源代码

2013-11-06 13:54

也可以不接受排中律呀,非二值逻辑

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是否是XXX,很大程度上是要看参考系的,比如设大星体(A)是太阳,当与小的星球比太阳是大星体(A),但是和更大的恒星比太阳不是大星体(不是A)——所以我认为要看参考系:只要公理满足要讨论的参考系就行了。

公理满足参考系的例子:在参考系太阳系内,太阳是大星体。

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所谓要么是要么否其实是一个关于确定性的问题。其实并非所有的事情都是确定的,现在也提既是又不是这一概念,被薛定谔虐待的猫不是非死即生的,是可以即使死的也是生的

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传统理论,有他的适用范围,不具有普遍性。

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个人感觉排中律让问题变得简单化变得缺少“人情味”。我的意思是说,社会问题里面就没有排中律。我也是在说,有的问题冷冰冰的其实挺好的,跟人情冷暖牵扯到一起以后就变的善恶难分美丑难辨了。

排中律,非此即彼。可是黑和白中间总是有些灰色地带又当如何?

好吧,我是来砸场子的。

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