如何证明一个数是无限不循环小数?

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7个答案
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一般而言,现阶段的十进制计数法,只能写出出有限小数和循环小数。

例如:

如果要表示,则需要用无限个小数来表示它,这在纸上、硬盘中,是无法保存的。

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至于如何证明一个数是无限不循环小数,也就是证明一个数是无理数,我们只需要证明它不是有理数就可以了,一半使用反证法,假设它是有理数,然后导出矛盾。

例如证明是无限不循环小数。

我们假设不是无限不循环小数,也就是假设它是有理数,于是存在整数(互质):



于是,是偶数,设,带入:


这导致也是偶数,这与矛盾。

类似。。。

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是无理数的证明:

众所周知,

假设是有理数,设,其中均为正整数。

于是

两边同时乘以



注意到是两个整数,他们的差小于,矛盾。

因此是无理数。@hanzr

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方程应用数学专业

2013-10-15 22:35

补充一个比较有趣的:
我们目前尚不知道对于非零整数是否为无理数;
我们也都无一般结论说明无理数之间四则运算结果是否为无理数;
我们也不知道是否为无理数;
——但我们至少知道是无理数,而且它们还是超越数。

理据是格尔丰德-施奈德定理(Gelfond–Schneider theorem)
如果α和β是代数数,其中α≠0且≠1,β不是有理数,那么任何的值一定是超越数
复分析里,使用欧拉公式,得,即得到为超越数。

更多请查阅维基字条
格尔丰德施奈德定理
无理数
超越数

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对于根号形式的无理数有很好的办法证明:

引理:整数的平方为整数,分数的平方为分数。
对于来说,,它大于1,小于2,所以如果是有理数只能是分数,不会是整数;
为分数,其平方却是整数,违背引理;
故其不是有理数,是无理数。


以上证明对于(P为质数)形式的无理数都有效,,

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支持者: 帝凡夏

貌似高中课本上就有关于根号2不是有理数的证明,作为文科生的人现在想想感觉太遥远了。。。

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初二学无理数那章就有说。
有理数包括整数和分数,只要证明它不是整数也不是分数就好了。

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